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第五章近似方法典型例题分析5.1设哈密顿量在能量表象中的矩阵为12EbbEa⎛⎞⎜⎟+⎝⎠（1）用微扰法求能级至二级修正值。（2）求准确地能级值，与（1）的结果进行比较确定微扰法的准确度及适用条件。解题思路：解法1和解法2有一点区别H′是一样的，0H有一点点不同。（1）是利用非简并定态微扰论公式求得能级至二级修正值。（2）准确地求能级值ε，应从久期方程解出，再把它展开成多项式。解法1（1）体系的哈密顿量可写为0HHH′=+。取10200EHE⎛⎞=⎜⎟⎝⎠，00bHb⎛⎞′=⎜⎟⎝⎠为微扰项。有非简并定态微扰论公式体系能级的零级近似：(0)11Eε=，(0)22Eε=能级的一级修正：(1)1110Hε′==，(1)222Haε′==能级的二级修正：2212(2)11212HbEEEEε′==−−2221(2)22121HbEEEEε′==−−能级的二级近似为：21121bEEEε=−−22221bEaEEε=++−（1）（2）准确的能级值由方程：120EbbEaεε−⎛⎞=⎜⎟+−⎝⎠解出（其中ε为能量本征值）。从而得到：2122122114()()12()bEEaEEaEEaε⎡⎤=++±−++⎢⎥−+⎢⎥⎣⎦i（2）当21EEa−且21EEb−时，将2212214()1()bEEaEEa−++−+i展开2212214()1()bEEaEEa−++−+i221212()bEEaEEa=−+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅−+22212212122()()babEEaEEEE=−++++⋅⋅⋅⋅⋅⋅−−代入（2）式后221122121()babEEEEEε=−++⋅⋅⋅⋅⋅⋅−−222222121()babEaEEEEε=++−+⋅⋅⋅⋅⋅⋅−−（3）（3）式与（1）相比较可看出：准确度2221()abEEE∆≈−微扰法使用条件：211aEE−211bEE−解法2（1）取：10200EHEa⎛⎞=⎜⎟+⎝⎠，00bHb⎛⎞′=⎜⎟⎝⎠能级的零级近似：(0)11Eε=，(0)22Eaε=+能级的一级修正：(1)1110Hε′==，(1)2220Hε′==能级的二级修正：2212(2)11221HbEEaEaEε′==−−−+−2221(2)22121HbEaEEaEε′==+−+−所以2112122221bEEaEbEEaEεε=−+−=++−⎧⎪⎨⎪⎩（4）（2）当212EEab−+时，将（严格）解中2212214()1()bEEaEaE−+++−i展开：2212214()1()bEEaEaE−+++−i24213212122()()bbEEaEaEEaE=−++++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+−+−代入（1）式中24113212124223212122()22()bbEEaEEaEbbEEaEEaEεε=−++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+−+−=+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+−+−⎧⎪⎨⎪⎩（5）（5）式与（4）式比较：准确度43212()bEEaE∆≈+−使用条件为：211bEEa−+由上面可以看出，解法1较解法2的准确度低。5.2（1）试证明在定态变分法中，对任意尝试波函数()xΨ求得基态能量[]EΨ总是不低于实际的基态能量E。（2）设一维势场为4()Vxxλ=，今用变分法求粒子（质量为m）在其中运动的基态能量，问在下列尝试波函数中应选取哪一个？说明理由，并算出结果。（a）xeβ−（b）22/2xeα−（c）2/2axxe−（d）22/2()axaxbxe−+（e）2/2ikxaxee−（其中β,α,a,b,k等都是常数）解题思路：证（1）就是先把波函数按基态波函数展开，再应用一般的求平均值公式征得。（2）先判断出哪一个波函数为尝试波函数。一维势场4()Vxxλ=具有空间反射不变性，即ˆˆ,0Hp⎡⎤=⎣⎦，ˆp为宇称算符。所以能量本征态有确定的宇称，基态波函数应为偶函数。在所给尝试函数中（c），（d），（e）不满足此要求，不应取为尝试波函数。势场V(x)在有限区域内处处连续。(a)所示波函数在x=0处，一阶导数不连续，不满足此要求。由束缚态边界条件和连续性条件可取(b)为尝试波函数。然后再依据变分原理得到基态的能量。解（1）设体系的包括在内的一组力学量完全集的共同本征态为0Ψ，1Ψ，2Ψ，……相应的能量本征值为0E，1E，2E，……将任意尝试波函数()xΨ按其展开，得()()nnnxcxΨ=Ψ∑**ˆ[]/EHdxdxΨ=ΨΨΨΨ∫∫***ˆ()/nnnnnnnnnnnccHdxxccδ′′′=ΨΨΨ∑∑∫22220//nnnnnnnnncEcEcc=≥∑∑∑∑0E=所以0[]EEΨ≥（2）一维势场4()Vxxλ=具有空间反射不变性，即ˆˆ,0Hp⎡⎤=⎣⎦，ˆp为宇称算符。所以能量本征态有确定的宇称，基态波函数应为偶函数。在所给尝试函数中（c），（d），（e）不满足此要求，不应取为尝试波函数。势场V(x)在有限区域内处处连续。(a)所示波函数在x=0处，一阶导数不连续，不满足此要求。由束缚态边界条件和连续性条件可取(b)为尝试波函数。22/2()xxeα−Ψ=其中α为变分参数。222222/24/22()()2xxdEexedxmdxαααλ+∞−−−∞=−+∫222224224[()]/2xxxxedxedxmααααλ+∞+∞−−−∞−∞=−−+∫∫22222222400[(1)]/2xxxxedxedxmααααλ+∞+∞−−=−−+∫∫224113511()()()()222222mαλαα⎧⎫⎡⎤⎡⎤=Γ−Γ+ΓΓ⎨⎬⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎩⎭224344mαλα=+由()0Eαα∂=∂，得21326()mλα=代入的表达式求得基态能量2130236()8mEmλ=5.3一系统的哈密顿算符为0ˆˆˆHHV=+，已知(0)E为0ˆH的一个二重简并能级，当对应的本征态取为(0)1ψ和(0)2ψ时，微扰矩阵是：6223Vω⎛⎞=⎜⎟⎝⎠（1）求一级近似能量和正确的零级近似波函数。（2）设在0t=时刻，系统处于状态(0)1ψ，求在微扰作用下，某一时刻t跃迁到状态(0)2ψ中的几率。解法1（1）由简并微扰论公式，能量的一级修正(1)E满足久期方程：(1)(1)62023EEωωωω−=−解出(1)12Eω=，(1)27Eω=简并解除。所以一级近似能量为：(0)12EEω=+(0)27EEω=+设正确的零级近似波函数为：(0)abψ⎛⎞=⎜⎟⎝⎠在正确的零级近似波函数(0)ψ张成的两维子空间中，微扰矩阵V应是对角化的，其对角元即为能量的一级修正。(1)6223aaEbbω⎛⎞⎛⎞⎛⎞=⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎝⎠将(1)12Eω=代入，可求得：2ba=−，由归一化条件：(0)(0)1ψψ+=i，得到归一化的正确的零级近似波函数为：(0)11125ψ⎛⎞=⎜⎟−⎝⎠同样可解出：(1)27Eω=时：(0)22115ψ⎛⎞=⎜⎟⎝⎠（3）设t时刻体系的状态为：()()()cttdtψ⎛⎞=⎜⎟⎝⎠在由(0)1ψ和(0)2ψ为基矢张成的两维态空间中的体系的哈密顿算符为：(0)0(0)62ˆˆˆ23EHHVEω⎛⎞+=+=⎜⎟+⎝⎠所以，态()tψ满足的薛定谔方程和初值条件为：(0)(0)()06223(0)1(0)0ttcEcdidddEcdωψ=⎛⎞+⎛⎞⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠+⎝⎠⎛⎞⎛⎞==⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎧⎪⎨⎪⎩为简化方程，令00(6)11()()iEtctcedtdω−+⎛⎞⎛⎞=⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠代入薛定谔方程后可得到：{111112(23)ciddicdωω=−=−−解上述一阶微分方程组，得：41ititdAeBeωω−=+4122ititAcBeeωω−=−其中，A，B为待定常数。由初值条件(0)(0)110tψψ=⎛⎞==⎜⎟⎝⎠得1(0)1c=,1(0)0d=即{042ABBA+=−=解得25A=−，25B=所以04(6)44155()2255ititiEtititeeteeeωωωωωψ−−+−⎛⎞+⎜⎟=⎜⎟⎜⎟−⎜⎟⎝⎠而(0)(0)12()()()()()cttctdtdtψψψ⎛⎞==+⎜⎟⎝⎠因此，t时刻体系由(0)1ψ态跃迁到(0)2ψ态的几率为：224122()()5ititWdteeωω−→==−8(1cos5)25tω=−解法2由含时微扰论的跃迁几率公式：2/01()tikktkkkkWtHedtω′′′′→′′=∫将122Hω′=，120ω=代入得：222122124Wttωω−==(1)tω讨论：在解法1中，是严格求解含时间的薛定谔方程得到由(0)1ψ态跃迁到(0)2ψ态的几率。解法2是由微扰论的一级近似得到的由(0)1ψ态跃迁到(0)2ψ态的几率。但运用微扰近似处理时必须满足微扰近似的条件，这可以严格解的展开式中看出。128(1cos5)25Wtω−=−224825(5)11252!4!ttωω⎡⎤⎛⎞=−−++⋅⋅⋅⎢⎥⎜⎟⎝⎠⎣⎦22442543ttωω=−+⋅⋅⋅仅当是，略去高阶小量，保留到一级近似，其结果与微扰法相同。5.4在一维无限深势阱{00,0xaxaxV∞=中运动的粒子，受到微扰H′的作用，022abxabxaH−⎧′=⎨⎩讨论粒子在空间几率分布的改变。解题思路：首先把没有受到微扰H′的作用时的能量本征值和本征函数写出来，再根据微扰论修正公式得到波函数一级修正公式，从而得到粒子在空间几率分布的改变。解一维无限深势阱中的粒子能量本征值和本征函数是：222(0)22nnEmaπ=(0)2sin0nnxxaaaπψ=，其它的(0)0nψ=，其中m为粒子为质量，n=1,2,3,……。微扰论的波函数一级修正公式为：(1)(0)(0)(0)nkknnkkHnEEψψ≠′=−−∑计算矩阵元：202sinsinabkxnxkHndxaaaππ′=−∫22sinsinaabkxnxdxaaaππ+∫利用积分公式：212sinsinSSkxnxdxaaππ∫21sin()sin()()aknsknsknaaπππ⎡⎤=−−−⎢⎥−⎣⎦21sin()sin()()aknsknsknaaπππ⎡⎤−+−+⎢⎥+⎣⎦2sinsin22baknaknkHnaknknππ+−⎡⎤′=−⎢⎥+−⎣⎦当kn−为偶数时：0kHn′=kn−为奇数时：122(1)1(1)knbkHnknknππ−−⎡⎤−′=−−⎢⎥+−⎣⎦i122212224(1)()4(1)()kkbnknkbkknkππππ−−−−−−−−⎧⎪=⎨⎪⎩ii为奇，n为偶为偶，n为奇波函数的一级修正：122322212232228(1)2sin(n)()(1)8(1)2sin(n)()kkkkabnmkxaanknabmkkxaankππππππψ−−=−−=−−−−⎧∑⎪=⎨⎪∑⎩iiii奇偶为偶为奇一级近似的波函数为：1223222122322228(1)2sinsin()()28(1)2sinsin()()kkkknabnmkxxaaaanknnabmkxkxaaaankππππππππψ−−=−−=−+−−+−⎧∑⎪=⎨⎪∑⎩iiii奇偶n为偶n为奇所以粒子在空间几率分布的改变为：22(0)nnρψψ∆=−