12.6 数系的扩充与复数的引入

§12.6数系的扩充与复数的引入要点梳理1.复数的有关概念(1)复数的概念形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数，其中a,b分别是它的和.若，则a+bi为实数,若，则a+bi为虚数,若，则a+bi为纯虚数.(2)复数相等:a+bi=c+di(a,b,c,d∈R).实部虚部b=0b≠0a=0且b≠0a=c且b=d基础知识自主学习(3)共轭复数:a+bi与c+di(a,b,c,d∈R).(4)复平面建立直角坐标系来表示复数的平面，叫做复平面.叫做实轴，叫做虚轴.实轴上的点都表示；除原点外，虚轴上的点都表示；各象限内的点都表示.(5)复数的模向量的模r叫做复数z=a+bi的模，记作或，即|z|=|a+bi|=.a=c,b=-dx轴y轴实数纯虚数非纯虚数|z||a+bi|OZ22ba2.复数的几何意义(1)复数z=a+bi复平面内的点Z(a,b)(a,b∈R).(2)复数z=a+bi(a,b∈R).3.复数的运算(1)复数的加、减、乘、除运算法则设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),则①加法:z1+z2=(a+bi)+(c+di)=;②减法:z1-z2=(a+bi)-(c+di)=;③乘法:z1·z2=(a+bi)·(c+di)=;一一对应一一对应OZ平面向量(a+c)+(b+d)i(a-c)+(b-d)i(ac-bd)+(ad+bc)i④除法:=.(c+di≠0)(2)复数加法的运算定律复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z1、z2、z3∈C,有z1+z2=,(z1+z2)+z3=.i)i)((i)i)((ii21dcdcdcbadcbazz22i)()(dcadbcbdacz2+z1z1+(z2+z3)基础自测1.(2009·北京)在复平面内,复数z=i(1+2i)对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析∵z=i(1+2i）=-2+i,∴复数z在复平面内对应的点为Z（-2，1），该点位于第二象限.B2.下列命题正确的是()①(-i)2=-1;②i3=-i;③若ab,则a+ib+i;④若z∈C，则z20.A.①②B.①③C.②③D.①②④解析虚数不能比较大小，故③错误；若z=i,则z2=-10,故④错误.A3.（2008·浙江）已知a是实数，是纯虚数，则a等于()A.1B.-1C.D.-解析因为该复数为纯虚数，所以a=1.i1ia2i)1(1i)1i)(1(i)1i)((i1iaaaai,2121aaA224.（2009·山东）复数等于()A.1+2iB.1-2iC.2+iD.2-i解析i1i322i1ii23i)1i)(1(i)1i)(3(i1i3.i22i24C5.设为复数z的共轭复数，若复数z同时满足z-=2i，=iz，则z=.解析=iz,代入z-=2i，得z-iz=2i,z-1+izzz.i1i1i2zz题型一复数的概念及复数的几何意义已知复数试求实数a分别取什么值时，z分别为：（1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数.根据复数z为实数、虚数及纯虚数的概念,利用它们的充要条件可分别求出相应的a值.解【例1】).i()65(16722Raaaaa2az思维启迪,167065,)1(222有意义则有为实数时当aaaaaz.,6,6,161为实数时即或zaaaaa题型分类深度剖析（2）当z为虚数时，∴a≠-1且a≠6且a≠±1.∴a≠±1且a≠6.∴当a∈(-∞,-1)∪(-1,1)∪(1,6)∪(6,+∞)时，z为虚数.（3）当z为纯虚数时，有∴不存在实数a使z为纯虚数.,167065222有意义则有aaaaa.661,0167065222aaaaaaaa且(1)本题考查复数集中各数集的分类，题中给出的复数采用的是标准的代数形式，否则应先化为代数形式，再依据概念求解.(2)若复数的对应点在某些曲线上，还可写成代数形式的一般表达式.如：对应点在直线x=1上，则z=1+bi（b∈R）;对应点在直线y=x上，则z=a+ai(a∈R)，在利用复数的代数形式解题时经常用到这一点.探究提高知能迁移1已知m∈R，复数-3)i,当m为何值时,(1)z∈R；(2)z是纯虚数；(3)z对应的点位于复平面第二象限；(4)z对应的点在直线x+y+3=0上.解(1)当z为实数时,则有m2+2m-3=0且m-1≠0解得m=-3,故当m=-3时，z∈R.（2）当z为纯虚数时,则有解得m=0或m=2.∴当m=0或m=2时，z为纯虚数.mmmmm2(1)2(2z.032,01)2(2mmmmm（3）当z对应的点位于复平面第二象限时,解得m-3或1m2，故当m-3或1m2时，z对应的点位于复平面的第二象限.（4）当z对应的点在直线x+y+3=0上时,∴当m=0或m=-1±时，z对应的点在直线x+y+3=0上.032.01)2(2mmmmm则有,510,01)42(,03)32(1)2(22mmmmmmmmmmm或解得即则有5题型二复数相等已知集合M={(a+3)+(b2-1)i，8}，集合N={3i,(a2-1)+(b+2)i}同时满足M∩NM，M∩N≠，求整数a、b.解依题意得（a+3）+（b2-1）i=3i①或8=(a2-1)+(b+2)i②或a+3+(b2-1)i=a2-1+(b+2)i③由①得a=-3,b=±2,经检验，a=-3,b=-2不合题意，舍去.【例2】思维启迪判断两集合元素的关系列方程组分别解方程组检验结果是否符合条件∴a=-3，b=2.由②得a=±3,b=-2.又a=-3,b=-2不合题意.∴a=3,b=-2.由③得此方程组无整数解.综合①、②、③得a=-3,b=2或a=3,b=-2.两复数相等的充要条件是：实部与实部相等，虚部与虚部相等.构建方程，解方程组体现了方程的思想.本题中，复数与集合的知识相结合,体现了题目的灵活性.0304,21132222bbaabbaa即探究提高知能迁移2已知复数z的共轭复数是，且满足·z+2iz=9+2i.求z.解设z=a+bi(a,b∈R)，则=a-bi,∵z·+2iz=9+2i，∴（a+bi）（a-bi）+2i（a+bi）=9+2i即a2+b2-2b+2ai=9+2i由②得a=1代入①得b2-2b-8=0解得b=-2或b=4.∴z=1-2i或z=1+4i.zzzz229222abba②①题型三复数的代数运算计算(1)利用复数的运算法则及特殊复数的运算性质求解.【例3】;i)31(i)22(54.i23i32)i1i1)(3(;)i12(i321i32)2(60102思维启迪解i)31(i)31(i)1(16)1(44原式.i31i3144i)31(16i)31(i)31(464i)31(i)322(i)2(16222.i2iiiiii)i22(i)i12(i321i)321i()2(125140051005100512原式（3）方法一2262)2()3(i)23i)(32(2i)1(原式.i156i3i26i6方法二（技巧解法）.i1i32ii)32(iii)23(ii)32(2i)1(662原式复数代数形式的运算是复数部分的重点，其基本思路就是应用运算法则进行计算.复数的加减运算类似于实数中的多项式的加减运算（合并同类项），复数的乘除运算是复数运算的难点，在乘法运算中要注意i的幂的性质，区分(a+bi)2=a2+2abi-b2与(a+b)2=a2+2ab+b2;在除法运算中，关键是“分母实数化”（分子、分母同乘以分母的共轭复数），此时要注意区分(a+bi）(a-bi)=a2+b2与(a+b)(a-b)=a2-b2,防止实数中的相关公式与复数运算混淆，造成计算失误.探究提高知能迁移3计算：.i)3(i31)4(i)1(i1i)1(i1)3(;i2i)1(3i)21()2(;ii)2i)(1()1(22223；解.i31ii3ii)2i)(1()1(3.i52515i)2i(i2ii2i33i43i2i)1(3i)21()2(2.12i12i1i2i1i2i1i)1(i1i)1(i1)3(22.i43414i)3i)((i3ii)3(i)i)(3(i)3(i31)4(22题型四复数的几何意义(12分)如图所示,平行四边形OABC，顶点O，A，C分别表示0，3+2i,-2+4i，试求：(1)所表示的复数；(2)对角线所表示的复数;(3)求B点对应的复数.结合图形和已知点对应的复数，根据加减法的几何意义，即可求解.【例4】BC、AOCA思维启迪解.i23,)1(所表示的复数为AOOAAO.i23,所表示的复数为BCAOBC.i25i)42(i)23(,)2(所表示的复数为CAOCOACA.i61i,61i)42(i)23(,)3(点对应的复数为即表示的复数为BOBOCOAABOAOB4分8分12分根据复平面内的点、向量及向量对应的复数是一一对应的，要求某个向量对应的复数,只要找出所求向量的始点和终点,或者用向量相等直接给出结论.探究提高知能迁移4设复数z的共轭复数为，且4z+2=3+i,ω=sinθ-icosθ,复数z-ω对应复平面内的向量为求z的值和的取值范围.解设z=a+bi(a,b∈R)，则=a-bi,由4z+2=3+i得4(a+bi)+2(a-bi)=3+i，即6a+2bi=3+i,根据复数相等的充要条件有zz3.OM||OMzz333i,2123,21,23,12,336zbaba].2,0[||i,21232||0,4)6πsin(220,1)6πsin(1.)6πsin(22cossin32)cos21()sin23(||i,)cos21()sin23()cosi(sini)2123(22的取值范围是故所求的即OMOMOMzz思想方法感悟提高方法与技巧1.复数的代数形式的运算主要有加、减、乘、除及求低次方根.除法实际上是分母实数化的过程.2.在复数的几何意义中，加法和减法对应向量的三角形法则的方向是应注意的问题，平移往往和加法、减法相结合.3.要记住一些常用的结果，如i、的有关性质等可简化运算步骤提高运算速度.i2321失误与防范1.判定复数是实数，仅注重虚部等于0是不够的，还需考虑它的实部是否有意义.2.对于复系数（系数不全为实数）的一元二次方程的求解，判别式不再成立.因此解此类方程的解，一般都是将实根代入方程，用复数相等的条件进行求解.3.两个虚数不能比较大小.4.利用复数相等a+bi=c+di列方程时，注意a,b,c,d∈R的前提条件.5.z20在复数范围内有可能成立，例如:当z=3i时z2=-90.一、选择题1.（2009·陕西）已知z是纯虚数，是实数，那么z等于()A.2iB.iC.-iD.-2i解析设z=bi(b∈R,b≠0),i12zi12ii12bzi)1i)(1(i)1)(2i(bi22222i)2(2bbbb.i2,2,02,z所以所以是实数bbD定时检测2.