镜像法6题

1．一个半径为a的接地导体球，在球外与球心O相距d1的P点有一个点电荷q。试用镜像法求球外任一点的电位函数；如果导体球不接地，球外任一点电位分布有什么变化？解：(1)当点电荷q置于导体附近时，导体球表面感应出负电荷，球外一点的电位应由点电荷q和感应电荷共同产生。采用镜像法求解时，为不改变导体球外的电荷分布，镜像必须取在导体球内。又因球对称性，镜像电荷q1必定和点电荷q及球心在同一直线上P1点。这时镜像电荷q1代替导体表面的感应负电荷。在球外任一点的电位可等效为q与1q共同产生，但满足边界条件：在球面上电位为0。aor1qqd2r1r1daop1qq2p1pd2R1R1d边界条件：044)(201102RqRqp（P2为球面上任一点）121RRqq求q1的位置d，d使121RRqq=常数，则op2p1~op2paddaRR112，12dadqdaqRRq1121球外一点的电位)1(444)(121021010drarqrdaqrqr（2）若球面不接地，即电位不为0，则球面上感应净电荷为0，为满足该条件，在球面内靠近q处距球心d处放q1，且再需放入12qq，因为球面电位为一常数，所以2q放在球心。rqrqrqr0220110444)()1(412110rdardarq球面电位为100244)(dqaqa其中，cos212211rdrdr，cos2222drrdr2．为a的导体球带电量为Q，在球外与球心O的相距d1的P点有一个点电荷q。试用镜像法求球外任一点的电位函数；如果导体球接地，球外任一点电位分布有什么变化？解：设用球内一镜像电荷q代替球面上的感应电荷对球外空间电场的作用，q与q在球面处电位为0，再设想在球心放置一电荷Qq，使球面为等电位面，且保证由球面发出的总电通量为Q保持不变。aorqqpdrR1d1aqqd，21add（1）01()()4QqqqrrrR（2）)(41)(0Rqrqr其中，2222112cos,2cosrdrdrRdrdr3．一导体球壳，内半径为a，外半径为b，在距球心为h（ha）处有一点电荷q。导体球壳接地，试求：空间任一点的电位以及q受到的电场力。解：由于点电荷位于导体球壳内，无论导体球壳是否接地，在内表面上分布着总电量为q的感应电荷，并且可用位于hah2处的像电荷haqq来代替，且q与点电荷q在半径为a的球面上的总电位为零电位。baoqhbaorpqqhhRR设球壳接地时，外表面上没有电荷，空间任意一点的电位为：)(}]cos2[1]cos2[1{4)(021242212201arrhaarhrhhrqar4．一导体球壳，内半径为a，外半径为b，在距球心为h（ha）处有一点电荷q。导体球壳不接地，且带有总电荷量为Q的电荷。试求：空间任一点的电位以及q受到的电场力。解：由于点电荷位于导体球壳内，无论导体球壳是否接地，在内表面上分布着总电量为q的感应电荷，并且可用位于hah2处的像电荷haqq来代替，且q与点电荷q在半径为a的球面上的总电位为零电位。baorpqqhhRR设球壳接地时，外表面上没有电荷，空间任意一点的电位为：)(}]cos2[1]cos2[1{4)(021242212201arrhaarhrhhrqar若导体电荷不接地且带有总电荷Q时，在球壳外表面上有均匀分布的电荷Q+q，baoqh此电荷在球壳外的空间产生的电位为rqQ024（rb）并且使球壳内的电位增加bqQ04)(，即bqQ024（rb）所以，总的电位)(4}]cos2[1]cos2[1{4)(402422122002121arbqQrhaarhrhhrqbrrqQ但电荷（Q+q）对点电荷q不产生作用力，所以总的作用力同球壳接地情况，仅为q与点电荷q之间的作用力，222024ahahqF5．一导体球壳，内半径为a，外半径为b，在距球心为h（hb）处有一点电荷q。导体球壳接地，试求：空间任一点的电位以及q受到的电场力。解：由于点电荷位于导体球壳外，所以感应电荷分布在球壳的外表面上。又因导体球壳接地，用位于hbh2处的像电荷hbqq来代替感应电荷，空间任一点的电位：][41400rhqbQhhRqbRqbhqbQhbrbr式中2122]cos2[rhhrR，212222]cos)(2)([hbrhbrR。点电荷q受到的静电力等于q对q的作用力，因此有baoqhbaorqqphRRh][4220hqhhqqF6．一导体球壳，内半径为a，外半径为b，在距球心为h（hb）处有一点电荷q。导体球壳不接地，且带有总电荷量为Q的电荷。试求：空间任一点的电位以及q受到的电场力。解：由于点电荷位于导体球壳外，所以感应电荷分布在球壳的外表面上。又因导体球壳不接地且带有总电荷Q，除用位于hbh2处的像电荷hbqq来代替感应电荷外，球面上还有电荷qQ。由于导体球壳的表面是等电位，故可用位于球心处的等量电荷qQq来代替。空间任一点的电位：][41400rhqbQhhRqbRqbhqbQhbrbr式中2122]cos2[rhhrR，212222]cos)(2)([hbrhbrR。点电荷q受到的静电力等于q和q对q的作用力，因此有][4220hqhhqqF=]2[422222320bhhqhbbQhqbaoqhbaorqqphRRh