第一节第2讲 抛体运动 极坐标和自然坐标

InnerMongoliaUniversityRongJHoxy0vmaxymaxx0000cossinxyvvvvgaayx0而抛体运动：从地面上某点向空中抛出的物体在空中所做的运动称为抛体运动。以抛射点为坐标原点建立坐标系，水平方向为x轴，竖直方向为y轴。设抛出时刻t=0的速率为v0，抛射角为，则初速度分量分别为：(2)抛体运动InnerMongoliaUniversityRongJH0000cos,sinxyvvvva=ggj物体在空中任意时刻的速度为00(cos)(sin)vvivgtj物体的运动学方程为20001(cos)(sin)2trvdtvtivtgtj抛体运动是由沿x轴的匀速直线运动和沿y轴的匀变速直线运动叠加而成的。抛体运动方程的矢量形式oxy0vmaxymaxxInnerMongoliaUniversityRongJH运动学方程可改写为2001(cossin)2rvtivtjgtj即这就是说，抛体运动还可看作由沿初速度方向的匀速直线运动和沿竖直方向的自由落体运动叠加而成。0vxy221tgrt0vPO矢量的另一种分解方法2012rvtgt2001(cos)(sin)2rvtivtgtjInnerMongoliaUniversityRongJH020cos1sin2xvtyvtgt00dcosddsindxyxvvtyvvgtt任意时刻的速度运动方程讨论：略去抛体在运动过程中空气的阻力作用，求抛体运动的轨迹方程、抛体在空中运动所需时间、最大射程以及上升最大高度。2001(cos)(sin)2rvtivtgtj00(cos)(sin)vvivgtjInnerMongoliaUniversityRongJH物体在空中飞行回落到抛出点高度时所用的时间为:gvTsin20飞行的射程（即回落到与抛出点的高度相同时所经过的水平距离）为:gvx2sin20max运动方程消去时间参数t，得到抛体运动的轨迹方程为：2202cos21tanvgxxyInnerMongoliaUniversityRongJH若，则，此时为平抛运动；00maxy若，则，此时射程最大；4gvx20max若，则，此时为竖直抛体运动。20maxx飞行的射高（即高出抛射点的距离）为gvy2sin220max实际飞行曲线空气阻力、风向和风速InnerMongoliaUniversityRongJHOA(,)P取参考系上一固定点O作为极点，过极点所作的一条固定射线OA称为极轴。于是点P的位置可用两个量（ρ，θ）来表示，这两个量就称为点P的极坐标。连线OP称为点P的极径，用ρ表示。自OA到OP所转过的角称为点P的极角。2、平面极坐标系径向速度和横向速度InnerMongoliaUniversityRongJH平面极坐标系中质点的位矢可表示为：ρ()()()rttetρddd()()dddevteettt式中ddet是ρe的方向随时间的变化率。θθ00ddlimlimddtteeeeetttt进而得：ρθddddveett径向速度横向速度ρe()t是极径方向的单位矢量。质点的速度表示为：O()et()etteAB如右图所示：进而得：θvveveInnerMongoliaUniversityRongJH※根据加速度的定义，质点运动的加速度可以表示为2222dd()ddddddddddddddddddvavevetteeeeetttttttt00ddlimlimddtteeeetttt其中ddddeett结合22222ddddd[()][2]dddddaeettttt得InnerMongoliaUniversityRongJH说明：弧长s称为平面自然坐标。根据原点与正方向的规定，s可正可负。POs()sst自然坐标系中，质点运动学方程为：建立在已知轨迹上的坐标系，称为平面自然坐标系。3、自然坐标系切向加速度和法向加速度（1）自然坐标系InnerMongoliaUniversityRongJH使用自然坐标对矢量进行正交分解Pnete①沿曲线切线且指向自然坐标增加的方向的切向单位矢量，用et表示。②沿曲线法线且指向曲线凹侧的法向单位矢量，用en表示。注意：沿轨迹上各点，自然坐标轴的方位是不断变化着的。InnerMongoliaUniversityRongJH在自然坐标系中，速度可以表示为t()()()vtvtet加速度dddd()ddddtttevvaveevtttt切向加速度法向加速度切向加速度：ddttvaet由于速度大小变化所引起的加速度分量，大小等于速率的变化率，方向沿轨道的切向。其物理意义：InnerMongoliaUniversityRongJH加速度法向加速度：ddtneavt由速度方向变化所引起的加速度分量,指向法向单位矢量。ne其物理意义：dddd()ddddtttevvaveevtttt切向加速度法向加速度InnerMongoliaUniversityRongJH一般曲线运动中，质点的加速度矢量表示为即与同向，所以ned,ttee因为ddtneeddddtneettddtneavtBRdAvdvvtdetetedBRdAvdvvddddtnvaevettInnerMongoliaUniversityRongJH（2）圆周运动圆周运动法向加速度ddnetddnnavetddddnsestnveR2nnvaeR2n2taaa大小ntaaatn1tanaaθ方向一般圆周运动加速度vtenexyoatanaAInnerMongoliaUniversityRongJHOxR1v2vΔsABtAΔtt+Δqq+B角位移沿逆时针转动，角位移取正值沿顺时针转动，角位移取负值角位置角速度角加速度0dlimdttt单位：rad/s220ddlimddtttt单位：rad/s2圆周运动的角量描述InnerMongoliaUniversityRongJH线量和角量的关系ABRdsddRsRtRtsddddvd22nRRavRtRtaddddtvxyo2tnaReRωeInnerMongoliaUniversityRongJH1、匀速率圆周运动讨论：t02nt0raa，n2nnerωeaa常量，如时,0t0故，tdd由有，tdd可得：0，InnerMongoliaUniversityRongJH2、匀变速率圆周运动ddωttωdd如时,0t00，常量，2ntrara，故20021ttθθt0)(20202可得：，tddInnerMongoliaUniversityRongJH与匀变速率直线运动类比20021ttθθt0)(20202匀变速率圆周运动at0vv20021attssv)(00ssa222vvInnerMongoliaUniversityRongJHoABAvBvr例一歼击机在高空点A时的水平速率为1940km·h-1,沿近似圆弧曲线俯冲到点B，其速率为2192km·h-1,经历时间为3s,设的半径约为3.5km,AB飞机从A到B过程视为匀变速率圆周运动，不计重力加速度的影响，求：(1)飞机在点B的加速度；(2)飞机由点A到点B所经历的路程。InnerMongoliaUniversityRongJH解（1）tta0tddBAvvvtaABvvt1hkm9401Av1hkm1922Bvra2Bvn而B点m105.3s33rt，解得：2n2tsm106sm3.23aa，oABAvBvratanaInnerMongoliaUniversityRongJH22n2tsm109aaaont4.12arctanaa（2）矢径所转过的角度r221ttAm7221212ttatrsAvoABAvBvratanaInnerMongoliaUniversityRongJH例1-4质点以初速度沿半径为R的圆周运动，已知其加速度方向与速度方向的夹角α恒量，求质点速率与时间的关系。0v解：质点的切向加速度和法向加速度的大小分别为2d,dtnvvaatR2dtandntavtaRv分离变量2ddtanvtvR020ddtanvtvvtvRtan110RtvvInnerMongoliaUniversityRongJH例题1-5汽车在半径为200m的圆弧形公路上刹车，刹车开始阶段的运动学方程为（m）。求汽车在t=1s时的加速度。32.020tts222ddntvsaaRt2d200.6dsvtt故解：质点的加速度公式22(200.6)ntaR1.2tat21.88m/s,21.2m/s2222.23m/s,ntaaatan1.5677ntaa331220InnerMongoliaUniversityRongJH物体运动的轨迹依赖于观察者所处的参考系三、相对运动InnerMongoliaUniversityRongJH考虑两个参照系K和K’(即Oxyz和Ox’y’z’)，它们相对作匀速直线运动。在t=0时刻两坐标系重合。任意时刻同一质点P在两个参照系中对应的位矢满足：（1）伽利略坐标变换Rrrtvr成立的条件:空间两点距离的测量与参照系的选择无关——空间绝对性。InnerMongoliaUniversityRongJHP点在K系和K'系的空间坐标、时间坐标的对应关系为ttvtxxyyzztt——伽利略(坐标)变换式。OxyzvO'x'y'z'PrrRrrtvrInnerMongoliaUniversityRongJH分别表示质点在两个坐标系中的速度、KvKvtddKrvd()drRtvvKtddrvvvKK即（2）速度变换与加速度变换为了便于记忆，通常把速度变换式写成下面的形式：KKKKvvvInnerMongoliaUniversityRongJH绝对速度trddv相对速度trddv牵连速度uuvvuvv伽利略速度变换'aatu0dd若加速度关系tuttdddddd'vv注意：当物体运动速度接近光速时，速度变换不成立。绝对速度牵连速度相对速度InnerMongoliaUniversityRongJH例1-6一执行空投任务的飞机，以速度水平飞行。以地面为参考系，求空投物对地面坐标系的位矢、速度和加速度（不考虑空投物与空气的相互作用）。0v解：选地面为静止参考系，飞机为运动参考系，水平飞行方向为x轴正向，竖直向下为y轴正向21j2rgt相物体相对飞机的运动为相对运动，其位矢为：InnerMongoliaUniversityRongJH飞机对地面的运动为牵连运动，其位矢为0rvti物体对地面的运动为绝对运动，其位矢为201ij2rrrvtgt绝相牵对上式求导，得物体对地面的速度为0dijdr