九年级数学下册 6.2二次函数的图象和性质教材深度解析

６．２　二次函数的图象和性质学习目标导航１．会用列表描点法画二次函数y＝ax２＋bx＋c的图象．２．会用待定系数法确定二次函数的关系式．３．能根据二次函数的二次项系数判断函数图象的开口方向,并能从图象上认识二次函数的性质．４．会用配方法确定二次函数图象的顶点坐标和对称轴．５．会用平移变换解释二次函数y＝ax２＋k、y＝a(x＋m)２、y＝a(x＋m)２＋k的图象与二次函数y＝ax２的图象的位置关系．教材知识详析要点１　二次函数y＝ax２(a≠０)的图象及其特点一般地,二次函数y＝ax２(a≠０)的图象是顶点在原点,对称轴与y轴重合的抛物线．当a＞０时,抛物线开口向上,顶点位于抛物线的最低点处,抛物线在x轴的上方(除顶点外);当a＜０时,抛物线开口向下,顶点位于抛物线的最高点处,抛物线在x轴的下方(除顶点外)．　　例１　已知二次函数y＝ax２(a≠０)的图象经过点(－２,－８)．(１)求a的值,并写出这个二次函数的关系式;(２)说出这个二次函数图象的开口方向、顶点坐标、对称轴;(３)当x为何值时,y随x的增大而减小?(４)当x＝２时,求函数y的值．精析:理解二次函数y＝ax２的概念、图象、性质是解决本题的关键,采用代入法求a的值．解答:(１)把x＝－２,y＝－８代入y＝ax２中,得－８＝a×(－２)２,解得a＝－２．∴　这个二次函数的关系式为y＝－２x２．(２)二次函数y＝－２x２的图象是抛物线,∵　a＝－２＜０,∴　抛物线开口向下,对称轴是与y轴重合的直线,顶点坐标为(０,０)．(３)当x＞０时,y随x的增大而减小．(４)当x＝２时,y＝－２×２２＝－８．要点２　二次函数y＝ax２(a≠０)的性质(１)如果a＞０,那么当x＜０时,函数值y随着自变量x的增大而减小;当x＞０时,函数值y随着自变量x的增大而增大;当x＝０时,函数y的值最小,最小值是０．(２)如果a＜０,那么当x＜０时,函数值y随着自变量x的增大而增大;当x＞０时,函数值y随着自变量x的增大而减小;当x＝０时,函数y的值最大,最大值是０．例２　已知a＜―１,点(a－１,y１),(a,y２),(a＋１,y３)都在函数y＝x２的图象上,则(　　)．A．y１＜y２＜y３B．y１＜y３＜y２C．y３＜y２＜y１D．y２＜y１＜y３精析:本题考查的是二次函数y＝ax２的图象及其性质,运用的数学方法是数形结合的方法,关键是要画出y＝ax２的大致图象,然后确定a－１,a,a＋１在x轴上的位置,它的正确答案是C．解答:C．要点３　二次函数y＝ax２＋c(a≠０)的图象及其性质二次函数y＝ax２＋c的图象与二次函数y＝ax２的图象的形状相同,只是位置不同,可看作由抛物线y＝ax２沿y轴向上(c＞０)或向下(c＜０)平移|c|个单位而得,它的顶点坐标是(０,c)．若a＞０,则当x＝０时,二次函数y＝ax２＋c有最小值,y最小值＝c;若a＜０,则当x＝０时,二次函数y＝ax２＋c有最大值,y最大值＝c．例３　将二次函数y＝x２的图象向下平移一个单位,则平移以后的二次函数的解析式为(　　)．A．y＝x２－１B．y＝x２＋１C．y＝(x－１)２D．y＝(x＋１)２精析:由“上加下减”的原则可知,将二次函数y＝x２的图象向下平移一个单位,则平移以后的二次函数的解析式为y＝x２－１．解答:A．要点４　二次函数y＝a(x－h)２(a≠０)的图象及其性质二次函数y＝a(x－h)２的图象与二次函数y＝ax２的图象的形状相同,只是位置不同,可看作由抛物线y＝ax２沿x轴向右(h＞０)或向左(h＜０)平移|h|个单位而得,它的顶点坐标是(h,０),对称轴是过顶点(h,０)且与y轴平行的直线．若a＞０,则当x＝h时,二次函数y＝a(x－h)２有最小值,y最小值＝０;若a＜０,则当x＝h时,二次函数y＝a(x－h)２有最大值,y最大值＝０．例４　如图６．２Ｇ１,在Rt△OAB中,∠OAB＝９０°,O为坐标原点,边OA在x轴,OA＝AB＝１个单位长度,把Rt△OAB沿x轴正方向平移１个单位长度后得△AA１B１．图６．２Ｇ１(１)求以A为顶点,且经过点B１的抛物线;(２)若(１)中的抛物线与OB交于点C,与y轴交于点D,求点D、C的坐标．精析:本题考查点的坐标的意义和识图能力．由题意确定A、A１、B１三点的坐标,点A是抛物线的顶点,设抛物线的解析式为y＝a(x－１)２,把点B１的坐标代入y＝a(x－１)２求出a即可;(２)点D的坐标很容易求解,点C是抛物线y＝a(x－１)２与直线OB的交点．解答:(１)由题意,得A(１,０),A１(２,０),B１(２,１)．设抛物线解析式为y＝a(x－１)２,∵　抛物线经过点B１(２,１),∴　１＝a(２－１)２,解得a＝１．∴　抛物线解析式为y＝(x－１)２．(２)令x＝０,y＝(０－１)２＝１,∴　点D的坐标为(０,１)．∵　直线OB在第一、三象限的角平分线上,∴　直线OB的解析式为y＝x．根据题意得y＝x,y＝(x－１)２,{解得x１＝３＋５２,y１＝３＋５２,ìîíïïïïx２＝３－５２,y２＝３－５２．ìîíïïïï∵　x１＝３＋５２＞１(舍去),∴　点C的坐标为３－５２,３－５２æèçöø÷．要点５　二次函数y＝a(x―h)２＋k与y＝ax２＋bx＋c的图象及其性质函　数y＝a(x―h)２＋ky＝ax２＋bx＋c图象特征开口方向a＞０⇔开口向上a＞０⇔开口向上a＜０⇔开口向下a＜０⇔开口向下顶点坐标(h,k)－b２a,４ac－b２４a()对称轴过顶点(h,k)且与y轴平行的直线过顶点(－b２a,４ac－b２４a)且与y轴平行的直线函数的最大(小)值a＞０,当x＝h时,y最小值＝ka＞０,当x＝－b２a时,y最小值＝４ac－b２４aa＜０,当x＝h时,y最大值＝ka＜０,当x＝―b２a时,y最大值＝４ac－b２４a　　例５　已知抛物线y＝－x２＋２x＋２．(１)该抛物线的对称轴是　　　　,顶点坐标为　　　　　　　　;(２)选取适当的数据填入下表,并在图中直角坐标系内描点画出该抛物线的图象;x􀆺􀆺y􀆺􀆺图６．２Ｇ２(１)(３)若该抛物线上两点A(x１,y１),B(x２,y２)的横坐标满足x１＞x２＞１,试比较y１与y２的大小．精析:(１)代入对称轴公式x＝－b２a和顶点公式－b２a,４ac－b２４a()即可;(３)结合图象可知这两点位于对称轴右侧,图象随着x的增大而减少,因此y１＜y２．解答:(１)x＝１　(１,３)(２)x􀆺－１０１２３􀆺y􀆺－１２３２－１􀆺　　图６．２Ｇ２(２)(３)因为在对称轴x＝１右侧,y随x的增大而减小,又x１＞x２＞１,所以y１＜y２．要点６　用待定系数法确定二次函数的关系式二次函数的一般式:y＝ax２＋bx＋c(a,b,c为常数,且a≠０)．当已知函数图象上三个点的坐标(横坐标相当于自变量的值,纵坐标相当于函数值)时,可以设出函数的一般式,代入可得关于a,b,c的三元一次方程组,从而求出a,b,c的值．顶点式:y＝a(x－h)２＋k(a,h,k是常数,且a≠０),此时抛物线的顶点坐标是(h,k),对称轴是直线x＝h．当已知抛物线的顶点坐标、对称轴或最大(小)值时,可利用这种形式求出未知系数．两点式:如果已知抛物线与x轴的两个交点的坐标为(x１,０),(x２,０)(这时关于x的一元二次方程ax２＋bx＋c＝０有两个实数根x１,x２,根的判别式b２－４ac≥０),这时可将抛物线的函数关系式设成y＝a(x－x１)(x－x２)求解．特殊顶点式:若抛物线的顶点在原点,可设为y＝ax２求解;若顶点在y轴上,可设为y＝ax２＋k求解;若顶点在x轴上,可设为y＝a(x－h)２求解．关键提醒:(１)确定二次函数的关系式时,必须先确定函数关系式中的待定系数,根据不同的条件选择合适的形式进行求解;(２)两点式要在确定抛物线与x轴有交点的情况下使用．例６　已知二次函数y＝３４x２＋bx＋c,其图象的对称轴为直线x＝１,且经过点２,－９４()．(１)求此二次函数的解析式;(２)设该图象与x轴交于B、C两点(点B在点C的左侧),请在此二次函数x轴下方的图象上确定一点E,使△EBC的面积最大,并求出最大面积．精析:(１)根据抛物线的对称轴直线x＝－b２a求出b的值,把点２,－９４()代入y＝３４x２＋bx＋c求出c的值;(２)利用数形结合思想求出最大面积．解答:(１)由已知条件得－b２×３４＝１,３４×２２＋２b＋c＝－９４,ìîíïïïï解得b＝－３２,c＝－９４．∴　此函数的解析式为y＝３４x２－３２x－９４．(２)∵　３４x２－３２x－９４＝０,∴　x１＝－１,x２＝３．∴　B(－１,０),C(３,０)．∴　BC＝４．∵　点E在x轴下方,且△EBC面积最大,∴　点E是抛物线的顶点,其坐标为(１,－３)．∴　△EBC面积＝１２×４×３＝６．例７　已知抛物线y＝a(x＋h)２的对称轴方程为x＝－１,且经过点A(１,－４)．求此抛物线所对应的函数解析式．精析:由对称轴为x＝－１,可知h＝１,然后利用点A(１,－４)求出a的值．解答:∵　抛物线y＝a(x＋h)２的对称轴为x＝－１,∴　h＝１．∴　抛物线的解析式为y＝a(x＋１)２．∵　此抛物线经过点A(１,－４),∴　－４＝a(１＋１)２,解得a＝－１．∴　此抛物线的解析式为y＝－(x＋１)２＝－x２－２x－１．抛物线的函数关系式(解析式)一般写成其一般式:y＝ax２＋bx＋c(a,b,c是常数,且a≠０)．例８　抛物线y＝x２＋bx＋c经过坐标原点,并与x轴交于点A(２,０)．(１)求此抛物线的解析式;(２)写出顶点坐标及对称轴;(３)若抛物线上有一点B,且S△OAB＝３,求点B的坐标．精析:(１)直接把(０,０),(２,０)代入y＝x２＋bx＋c中,列方程组求b,c的值即可;(２)将二次函数解析式写成顶点式,可求顶点坐标及对称轴;(３)设点B的坐标为(a,b),根据三角形的面积公式求b的值,再将纵坐标b代入抛物线解析式求a的值,确定点B的坐标．解答:(１)把(０,０),(２,０)代入y＝x２＋bx＋c,得c＝０,４＋２b＝０,{解得b＝－２,c＝０,{所以解析式为y＝x２－２x．(２)∵　y＝x２－２x＝(x－１)２－１,∴　顶点为(１,－１),对称轴为直线x＝１．(３)设点B的坐标为(a,b),则１２×２|b|＝３,解得b＝３或b＝－３．∵　顶点纵坐标为－１,－３＜－１(或x２－２x＝－３中,x无解),∴　b＝３．∴　x２－２x＝３,解得x１＝３,x２＝－１．所以点B的坐标为(３,３)或(－１,３)．流关键是将抛物线上两点的坐标代入解析式,列方程组求解析式,将抛物线解析式写成顶点式,可求顶点坐标及对称轴．拉分典例探究综合应用例１　(要点１)二次函数y＝x２的图象如图６．２Ｇ３所示,请将此图象向右平移１个单位,再向下平移２个单位．(１)画出经过两次平移后所得到的图象,并写出函数的解析式;(２)求经过两次平移后的图象与x轴的交点坐标,指出当x满足什么条件时,函数值大于０．图６．２Ｇ３精析:本题考查的是二次函数图象的平移,平移后只改变其位置,不改变其开口方向及大小,在平移时只注意顶点位置的变化即可．解答:(１)画图如图６．２Ｇ３所示．依题意,得y＝(x－１)２－２＝x２－２x＋１－２＝x２－２x－１．∴　平移后图象的解析式为y＝x２－２x－１．(２)当y＝０时,x２－２x－１＝０,解得x１＝１－２,x２＝１＋２．∴　平移后的图象与x轴两交点的坐标分别为(１－２,０)和(１＋２,０)．由图可知,当x＜１－２或x＞１＋２时,二次函数y＝(x－１)２－２的函数值大于０．分析􀅰对比:注意二次函数图象的平移可看作是抛物线顶点的移动．例２　(要点１)已知二次函数图象的顶点是(－１,２),且过点０,３２()．图６．２Ｇ４(１)(１)求该二次函数的关系式,并在图６．２Ｇ４(１)中画出它的图象;(２)求证:对任意实数m,点M(m,－m２)都不在这个二次函数的图象上．精析:本题考查二次函数的关系式及图象．判