1实变函数

第一节集合及其运算第一章集合及其基数1.集合的基本概念及运算}:{\BxAxxBABA但或差：不一定成立ABBA)(AB注：书中用表示包含或真包含关系cBABA注：ASACs余：（其中S为全集）,简记为Ac2.集簇的交和并}:{BxAxxBA或},:{AxxA使为指标为指标集，注：当时，如何？集簇的并}{}|{AA或集簇：}{nA特别当时，称集簇为集列，记为N}:{BxAxxBA且},:{AxxA有集簇的交注：当时，如何？例注：在本书中我们未把0包含在N内,+∞不在Ｎ中,},11:{11NnxxAnnn设]0,1[1nnA)1,2(1nnA((])-2-1-1/n-101-1/n1例][1][1nafnafEE则记设},)(:{,:][axfExEREfaf([a-1/na),(),[11nnaa)(][11nafnE)),[(11nna([([[a-1/n-1a-1/na-1/n+1a例则记设},)(:{,:][axfExEREfaf][1][1nafnafEE([aa+1/n)),((11nna)(][11nafnE),[),(11nnaa},:),{(BbAabaBA},,,2,1,:),,,,{(211niAxxxxAiinii},,2,1,:),,,{(211niAxxxxAiinnii笛卡尔乘积思考：如何定义任意多个集合的笛卡尔乘积？3.集合的运算性质ccAA)(ccAA)(DeMorgan公式注：通过取余集，使A与Ac，∪与∩互相转换},,:{nAxNnNx使是一个集合序列设,,,,21nAAA4.上、下极限集(){:}{:}limsuplimnnnnnnnAAxxAxAxA或属于无限多个集合存在无限多个，使上极限集1NNnnANB例：设A2n=[0,1]A2n+1=[1,2];则上极限集为[0,2］下极限集(){:}{:}limliminfnnnnnnAAxxAxnxA或除去有限个集外，有当充分大时，有1NNnnA例：设A2n=[0,1]A2n+1=[1,2];则上极限集为[0,2],下极限集为{1}11limlimnnnnnnnnAAAA1},,:{NNnnnAAxNnNx使上极限集(){:}limsuplimnnnnnAAxxA或属于无限多个集合},,:{nAxNnNx有NB如果集列的上极限集与下极限集相等，即}{nAAAAnnnnlimlim极限集则称集列收敛，称其共同的极限为集列的极限集，记为：AAnnlim}{nA}{nA单调增集列极限;}{),(}{1为单调减少则称满足若集列nnnnANnAAA;}{),(}{1为单调增加则称满足若集列nnnnANnAAA定理9：单调集列是收敛的.}{)21limnnnnnAAA单调减少，则若;,}{)11limnnnnnAAA则单调增加若单调增集列极限分析1},,:{NNnnnAAxNnNx使)(suplimlimnnnnAA1},,:{NNnnnAAxNnNx有)(inflimlimnnnnAA111nnNNnnnnNnnAAAA当An为单调增加集列时11NNNNnnNNnnAAAA单调减集列极限分析1},,:{NNnnnAAxNnNx使)(suplimlimnnnnAA1},,:{NNnnnAAxNnNx有)(inflimlimnnnnAA11NNNNnnNNnnAAAA当An为单调减小集列时111nnNNnnnnNnnAAAA则设,),,(),11,11(212NnnnAnnAnn例),(limnnA1},,:{NNnnnAAxNnNx使)(suplimlimnnnnAA1},,:{NNnnnAAxNnNx有)(inflimlimnnnnAA(((）))-n-1012n]1,1(limnnA则设,],1,[],4,[1121112NnAAnnnnnn例]1,0(limnnA[0,4)limnnA[[]]-1012341},,:{NNnnnAAxNnNx有)(inflimlimnnnnAA1},,:{NNnnnAAxNnNx使)(suplimlimnnnnAA例111}|)()(:|{)}()(lim:{kNNnknnnxfxfxxfxfxknknnxfxfNnNxfxf11|)()(|,,1,1:)()(lim有},:{AxxA有},:{AxxA使例111})(:{})(:{)()(limkNNnknnnaxfxaxfxxfxf，则设knkkaxfNnNaxf111)(,,1,)(,1有利用极限的保号性知，使得从而aaxfnaxfNnNkknk111)()(,,1,1取极限，则两边关于有则，若111})(:{kNNnknaxfxx,)()(lim},)({axfxfaxfxxnn即：反之若aa+1/kf(x)实变函数论第二节集合的基数定义1：设X,Y是两个非空集合，若依照对应法则f，对X中的每个x，均存在Y中唯一的y与之对应，则称这个对应法则f是从X到Y的一个映射，记作f:X→Y或：设X,Y是两个非空集合，f是X×Y的子集，且对任意x∈X，存在唯一的y∈Y使(x,y)∈f，则f是从X到Y的一个映射注：集合，元素，映射是一相对概念略：像，原像，像集，原像集，映射的复合，单射，满射，一一映射（双射）１映射的定义[]例注：模糊集：参见：《模糊集合、语言变量及模糊逻辑》，L.A.Zadeh]1,0[:Xf2、实数的加法运算+:R×R→R(群,环,域)ba1、定积分运算为从[a,b]上的可积函数集到实数集的映射(函数,泛函,算子,变换)AxAxAx10)(}1,0{:XA3、集合的特征函数（集合A与特征函数互相决定）称为集A的特征函数，1:,,,(){():}(),1)()();2)()()(),()();3)()()(),()();fXYABAXfxxAAfAABfAfBfABfAfBfAfAfABfAfBfAfA定理：设是的子集，称为的像集，记作则有：一般地有：一般地有：证明的过程略为单射等号成立当且仅当如常值映射，一般不成立fBfAfBAf,)()()(2集合运算关于映射的性质（像集）11111111111112:,,,,(){:()}()()1)()();2)()()(),()();3)()()(),()();fXYAXCDCYxfxCCfCfCDfCfDfCDfCfDfCfCfCDfCfDfCfC定理：设是的子集，称为的原像集，记作不一定有逆映射，则有：一般地有：一般地有：集合运算关于映射的性质（原像集）注：6），7）一般不能使等号成立，6）等号成立当且仅当f为单射，7）等号成立当且仅当f为满射证明的过程略;)]([)7)];([)6;)]([)()5);(\)()\()41111111CCffAffACfCfDfCfDCfcc;~~,~)3;~~)2;~)1)2CACBBAABBAAA传递性：对称性：自反性：性质3对等与势1）设A,B是两非空集合，若存在着A到B的一一映射（既单又满），则称A与B对等,注：称与A对等的集合为与A有相同的势（基数），记作势是对有限集元素个数概念的推广ABA~~记作约定ZNNN~~~)1偶数奇数1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,...1,3,5,7,9,11,13,15,...2,4,6,8,10,12,14,16...n2n-12n0,1,-1,2,-2,3,-3,4,-4,...…,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,...例),(~)1,1)(2)2(:xtgxf),(~}){3去掉一个点的圆周有限集与无限集的本质区别：无限集可与其某个真子集合有相同多的元素个数（对等）且一定能做到，而有限集则不可能。例Galileo在17世纪最先考虑自然数与自然数平方的多少,1870Cantor开始系统考虑.；则称若BABA,~)1基数的大小比较(1,1)~(1,1)(,)如：12)~,ABBABABBA若则称；相当于：到有一个单射，也相当于到有一个满射3),ABABABAB若且，则称注：不能用与的一个真子集对等描述.~,~,~,****BABABBABAABA则，使的子集及，使的子集是两个集，若有设.),,BAABBA则即：若4Bernstein定理单射。又满的映射转化找两个；从而我们把找既单，只需找一个单射即可而要证射；间找一个既单又满的映与，需要在注：要证BABABA例：由可知，试问如何构造两者间的既单又满的映射。]1,1[~)1,1()1,1(~),(]1,1[)1,1(Bernstein定理的证明么：中的集合两两不交，那两两不交中的集合而且指标集，又是一个是两个集族，引理：设}:{,}:{,~,,}:{}:{BABABABA~ABfλBernstein定理的证明.,**gABfBA上的一一映射到以及上的一一映射到根据题设，存在证明:ABgf*B*ABernstein定理的证明AB*B*A1A*1\AAA令2Ag)(12BgA3Ag)(23BgA3Bf)(33AfB2Bf)(22AfB1B)(11AfB令fAB*B*A1A1Bf2A3A2B3Bgffg不交与，故而知由21*1*12*\,)()(AAAAAABgAABg不交的象在从而2121,,BBfAA不交下的象在3221,,AAgBB两两不交故不交与知由32131*3,,,,AAAAAAA123123,,,,AAAfBBB从而在下的象也两两不交，Bernstein定理的证明Bernstein定理的证明11321321~),,2,1(~,,,,,,,nnfnnnfnBAnBABBBAAA所以而且也两两不交两两不交从而1111~(1,2,),~ggkkkkkkBAkBA另外由可知**111~,\~\ggkkkkBABBAA又所以111111*\\)\(\kkkkkkAAAAAAA11\~\kkkkAABBBBBBAAAAkkkkkkkk)()\(~)()\(1111此处都是关于映射g,如果不是同一映射,则不一定成立.第三节可数集合第一章集合及其基数注：A可数当且仅当A可以写成无穷序列的