历年考研数学二历年真题

2012年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题:1-8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上.(1)曲线221xxyx+=−的渐近线条数()(A)0(B)1(C)2(D)3(2)设函数2()(1)(2)()xxnxfxeeen=−−−，其中n为正整数,则(0)f′=()(A)1(1)(1)!nn−−−(B)(1)(1)!nn−−(C)1(1)!nn−−(D)(1)!nn−(3)设1230(1,2,3),nnnanSaaaa==++++，则数列{}nS有界是数列{}na收敛的()(A)充分必要条件(B)充分非必要条件(C)必要非充分条件(D)非充分也非必要(4)设20sind,(1,2,3),kxkIexxkπ==∫则有()(A)123III(B)321III(C)231III(D)213III(5)设函数(,fxy）为可微函数，且对任意的,xy都有(,)(,)0,0,xyxyxy∂∂∂∂则使不等式1122(,)(,)fxyfxy成立的一个充分条件是()(A)1212,xxyy(B)1212,xxyy(C)1212,xxyy(D)1212,xxyy(6)设区域D由曲线sin,,12yxxyπ==±=围成，则5(1)ddDxyxy−=∫∫()(A)π(B)2(C)-2(D)-π(7)设1100c=α,2201c=α,3311c=−α,4411c−=α,其中1234,,,cccc为任意常数，则下列向量组线性相关的为()(A)123,,ααα(B)124,,ααα(C)134,,ααα(D)234,,ααα(8)设A为3阶矩阵，P为3阶可逆矩阵，且1100010002PAP−=.若()123,,P=ααα，()1223,,Q=+αααα则1QAQ−=()(A)100020001(B)100010002(C)200010002(D)200020001二、填空题：9-14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上.(9)设()yyx=是由方程21yxye−+=所确定的隐函数，则202xdydx==.(10)22222111lim12nnnnnn→∞+++=+++.(11)设1ln,zfxy=+其中函数()fu可微，则2zzxyxy∂∂+=∂∂.(12)微分方程()2d3d0yxxyy+−=满足条件11xy==的解为y=.(13)曲线()20yxxx=+上曲率为22的点的坐标是.(14)设A为3阶矩阵，=3A，*A为A伴随矩阵，若交换A的第1行与第2行得矩阵B，则*BA=.三、解答题：15-23小题,共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)(本题满分10分)已知函数()11sinxfxxx+=−，记()0limxafx→=，(I)求a的值;(II)若0x→时，()fxa−与kx是同阶无穷小，求常数k的值.(16)(本题满分10分)求函数()222,xyfxyxe+−=的极值.(17)(本题满分12分)过(0,1)点作曲线:lnLyx=的切线,切点为A,又L与x轴交于B点,区域D由L与直线AB围成,求区域D的面积及D绕x轴旋转一周所得旋转体的体积.(18)(本题满分10分)计算二重积分dDxyσ∫∫，其中区域D为曲线()1cos0rθθπ=+≤≤与极轴围成.(19)(本题满分10分)已知函数()fx满足方程()()2()0fxfxfx′′′+−=及()()2xfxfxe′′+=,(I)求()fx的表达式;(II)求曲线220()()dxyfxftt=−∫的拐点.(20)(本题满分10分)证明21lncos112xxxxx++≥+−,(11)x−.(21)(本题满分10分)(I)证明方程1xxx++=nn-1+()1n的整数，在区间1,12内有且仅有一个实根；(II)记(I)中的实根为nx，证明limnnx→∞存在，并求此极限.(22)(本题满分11分)设100010001001aaAaa=，1100β−=(I)计算行列式A；(II)当实数a为何值时，方程组Axβ=有无穷多解，并求其通解.(23)(本题满分11分)已知1010111001Aaa=−−，二次型()()123,,TTfxxxxAAx=的秩为2，(I)求实数a的值；(II)求正交变换xQy=将f化为标准形.2011年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题:1-8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上.1.已知当0x→时，函数是等价无穷小，则与kcxxxxf3sinsin3)(−=Ak=1,c=4Bk=a,c=-4Ck=3,c=4Dk=3,c=-42.=−==→3320)(2)(,0)0(0)(limxxfxfxfxxfx则处可导，且在已知A)0(2f′−B)0(f′−C)0(f′D03.函数)3)(2)(1(ln)(−−−=xxxxf的驻点个数为A0B1C2D34.微分方程的特解形式为)0(2+=−′−λλλλxxeeyyA)(xxeeaλλ−+B)(xxeeaxλλ−+C)(xxbeaexλλ−+D)(2xxbeaexλλ−+5设函数)(xf具有二阶连续导数，且0)0(,0)(′fxf，则函数)(ln)(yfxfz=在点（0，0）处取得极小值的一个充分条件A0)0(,1)0(′′ffB0)0(,1)0(′′ffC0)0(,1)0(′′ffD0)0(,1)0(′′ff6.设∫∫∫===444000cosln,cotln,sinlnπππxdxKxdxJxdxI的大小关系是、、则KJIAIJKBIKJCJIKDKJI7.设A为3阶矩阵，将A的第二列加到第一列得矩阵B，再交换B的第二行与第一行得单位矩阵。记,010100001,01001001121==PP则A=A21PPB211PP−C12PPD112PP−8设),,,(4321αααα=A是4阶矩阵，*A是A的伴随矩阵，若T)0,1,0,1(是方程组0=Ax的一个基础解系，则0*=xA的基础解系可为A31,ααB21,ααC321,,αααD432,,ααα二填空题9.=+→xxx10)221(lim____________10.微分方程===+′−yyxeyyx的解满足条件0)0(cos____________11.曲线)40(tan0∫≤≤=xxtdtyπ的弧长s=____________12.设函数{0,)(0,0,0=≤−λλxxxf，则=∫+∞∞−dxxxf)(13.设平面区域D由y=x,圆yyx222=+及y轴所组成，则二重积分∫∫=Dxyda________14.二次型3231212322213212223),,(xxxxxxxxxxxxf+++++=，则f的正惯性指数为________________三解答题15.已知函数αxdttxFx∫+=02)1ln()(，设0)(lim)(lim0==+→+∞→xFxFxx，试求α的取值范围。16.设函数y=y(x)有参数方程++=+−=3131313133ttxtty，求y=y(x)的数值和曲线y=y(x)的凹凸区间及拐点。17.设))(,(xygxyfz=，其中函数f具有二阶连续偏导数，函数g(x)可导，且在x=1处取得极值g(1)=1,求1,12==∂∂∂yxyxz18.设函数y(x)具有二阶导数，且曲线l:y=y(x)与直线y=x相切于原点，记α是曲线l在点（x,y)外切线的倾角dxdydxd=α，求y(x)的表达式。19.证明：1）对任意正整数n，都有nnn1)11ln(11++2）设),2,1(lnn1211…=−+…++=nnan,证明}{na收敛。20.一容器的内侧是由图中曲线绕y旋转一周而成的曲面，该曲面由)21(1),21(22222≤=+≥=+yyxyyyx连接而成。（1）求容器的容积。（2）若从容器内将容器的水从容器顶部全部抽出，至少需要多少功？（长度单位：m；重力加速度为2/sgm；水的密度为33/10mkg）21.已知函数f(x,y)具有二阶连续偏导数，且f(1,y)=0,f(x,1)=0,∫∫=Dadxdyyxf),(，其中}10,10),{(≤≤≤≤=yxyxD，计算二重积分dxdyyxxyIDxy),(″=∫∫∫。23.A为三阶实矩阵，2)(=AR，且−=−101101101101A求A的特征值与特征向量；（2）求A2010年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题:1-8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上.2009年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.（1）函数()3sinxxfxnx−=的可去间断点的个数，则（）()A1.()B2.()C3.()D无穷多个.（2）当0x→时，()sinfxxax=−与()()2ln1gxxbx=−是等价无穷小，则（）()A11,6ab==−.()B11,6ab==.()C11,6ab=−=−.()D11,6ab=−=.（3）设函数(),zfxy=的全微分为dzxdxydy=+，则点()0,0（）()A不是(),fxy的连续点.()B不是(),fxy的极值点.()C是(),fxy的极大值点.()D是(),fxy的极小值点.（4）设函数(),fxy连续，则()()222411,,yxydxfxydydyfxydx−+=∫∫∫∫（）()A()2411,xdxfxydy−∫∫.()B()241,xxdxfxydy−∫∫.()C()2411,ydyfxydx−∫∫.()D.()221,ydyfxydx∫∫（5）若()fx′′不变号，且曲线()yfx=在点()1,1上的曲率圆为222xy+=，则()fx在区间()1,2内（）()A有极值点，无零点.()B无极值点，有零点.()C有极值点，有零点.()D无极值点，无零点.（6）设函数()yfx=在区间[]1,3−上的图形为：则函数()()0xFxftdt=∫的图形为（）1()fx-2023x-1O()A.()B.()C.()D.（7）设A、B均为2阶矩阵，**AB，分别为A、B的伴随矩阵。若A=2B=3，，则分块矩阵00AB的伴随矩阵为（）()A.**0320BA()B.**02B3A0()C.**03A2B0()D.**02A3B0（8）设AP，均为3阶矩阵，TP为P的转置矩阵，且T100PAP=010002，若P=Q=+ααααααα1231223（，，），（，，），则QAQT为（）()A.210110002()B.110120002()C.200010002()D.100020002二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.()fx023x1-2-11()fx023x1-11()fx023x1-2-11()fx023x1-2-11（9）曲线2221-x=0ln(2)uteduytt−=−∫