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第一章事件与概率1.1写出下列随机试验的样本空间及表示下列事件的样本点集合。(1)10件产品中有1件是不合格品，从中任取2件得1件不合格品。(2)一个口袋中有2个白球、3个黑球、4个红球，从中任取一球，(ⅰ)得白球，(ⅱ)得红球。解(1)记9个合格品分别为921,正正正,,⋯，记不合格为次，则,,,,,,,,,)()()(){(1913121次正正正正正正正⋯=Ω,,,,,,,,,)()()()(2924232次正正正正正正正⋯,,,,,,,)()()(39343次正正正正正⋯)}()()(9898次正次正正正,,,,,,⋯=A){(1次正,,,,)(2次正)}(9次正,,⋯(2)记2个白球分别为1ω，2ω，3个黑球分别为1b，2b，3b，4个红球分别为1r，2r，3r，4r。则=Ω{1ω，2ω，1b，2b，3b，1r，2r，3r，4r}(ⅰ)=A{1ω，2ω}(ⅱ)=B{1r，2r，3r，4r}1.2在数学系的学生中任选一名学生，令事件A表示被选学生是男生，事件B表示被选学生是三年级学生，事件C表示该生是运动员。(1)叙述CAB的意义。(2)在什么条件下CABC=成立？(3)什么时候关系式BC⊂是正确的？(4)什么时候BA=成立？解(1)事件CAB表示该是三年级男生，但不是运动员。(2)CABC=等价于ABC⊂，表示全系运动员都有是三年级的男生。(3)当全系运动员都是三年级学生时。(4)当全系女生都在三年级并且三年级学生都是女生时`。1.3一个工人生产了n个零件，以事件iA表示他生产的第i个零件是合格品（ni≤≤1）。用iA表示下列事件：(1)没有一个零件是不合格品；(2)至少有一个零件是不合格品；(3)仅仅只有一个零件是不合格品；(4)至少有两个零件是不合格品。解(1)∩niiA1=;(2)∪∩niiniiAA11===;(3)∪∩ninijjjiAA11)]([=≠=;(4)原事件即“至少有两个零件是合格品”，可表示为∪njijijiAA≠=1,；1.4证明下列各式：(1)ABBA∪=∪;(2)ABBA∩=∩(3)=∪∪CBA)()(CBA∪∪;(4)=∩∩CBA)()(CBA∩∩(5)=∩∪CBA)(∪∩)(CA)(CB∩(6)∪∩niiniiAA11===证明（1）—（4）显然，（5）和（6）的证法分别类似于课文第10—12页（1.5）式和(1.6)式的证法。1.5在分别写有2、4、6、7、8、11、12、13的八张卡片中任取两张，把卡片上的两个数字组成一个分数，求所得分数为既约分数的概率。解样本点总数为7828×=A。所得分数为既约分数必须分子分母或为7、11、13中的两个，或为2、4、6、8、12中的一个和7、11、13中的一个组合，所以事件A“所得分数为既约分数”包含6322151323××=×+AAA个样本点。于是14978632)(=×××=AP。1.6有五条线段，长度分别为1、3、5、7、9。从这五条线段中任取三条，求所取三条线段能构成一个三角形的概率。解样本点总数为1035=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛。所取三条线段能构成一个三角形，这三条线段必须是3、5、7或3、7、9或多或5、7、9。所以事件A“所取三条线段能构成一个三角形”包含3个样本点，于是103)(=AP。1.7一个小孩用13个字母TTNMMIIHECAAA,,,,,,,,,,,,作组字游戏。如果字母的各种排列是随机的（等可能的），问“恰好组成“MATHEMATICIAN”一词的概率为多大？解显然样本点总数为!13，事件A“恰好组成“MATHEMATICIAN”包含!2!2!2!3个样本点。所以!1348!13!2!2!2!3)(==AP1.8在中国象棋的棋盘上任意地放上一只红“车”及一只黑“车”，求它们正好可以相互吃掉的概率。解任意固定红“车”的位置，黑“车”可处于891109=−×个不同位置，当它处于和红“车”同行或同列的1789=+个位置之一时正好相互“吃掉”。故所求概率为8917)(=AP1.9一幢10层楼的楼房中的一架电梯，在底层登上7位乘客。电梯在每一层都停，乘客从第二层起离开电梯，假设每位乘客在哪一层离开电梯是等可能的，求没有两位及两位以上乘客在同一层离开的概率。解每位乘客可在除底层外的9层中任意一层离开电梯，现有7位乘客，所以样本点总数为79。事件A“没有两位及两位以上乘客在同一层离开”相当于“从9层中任取7层，各有一位乘客离开电梯”。所以包含79A个样本点，于是7799)(AAP=。1.10某城市共有10000辆自行车，其牌照编号从00001到10000。问事件“偶然遇到一辆自行车，其牌照号码中有数字8”的概率为多大？解用A表示“牌照号码中有数字8”，显然44109100009)(⎟⎠⎞⎜⎝⎛==AP，所以1)(=AP-4410911000091)(⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=−=AP1.11任取一个正数，求下列事件的概率：(1)该数的平方的末位数字是1；(2)该数的四次方的末位数字是1；(3)该数的立方的最后两位数字都是1；解(1)答案为51。(2)当该数的末位数是1、3、7、9之一时，其四次方的末位数是1，所以答案为52104=(3)一个正整数的立方的最后两位数字决定于该数的最后两位数字，所以样本空间包含210个样本点。用事件A表示“该数的立方的最后两位数字都是1”，则该数的最后一位数字必须是1，设最后第二位数字为a，则该数的立方的最后两位数字为1和3a的个位数，要使3a的个位数是1，必须7=a，因此A所包含的样本点只有71这一点，于是。1.12一个人把6根草掌握在手中，仅露出它们的头和尾。然后请另一个人把6个头两两相接，6个尾也两两相接。求放开手以后6根草恰好连成一个环的概率。并把上述结果推广到n2根草的情形。解(1)6根草的情形。取定一个头，它可以与其它的5个头之一相接，再取另一头，它又可以与其它未接过的3个之一相接，最后将剩下的两个头相接，故对头而言有135⋅⋅种接法，同样对尾也有135⋅⋅种接法，所以样本点总数为2)135(⋅⋅。用A表示“6根草恰好连成一个环”，这种连接，对头而言仍有135⋅⋅种连接法，而对尾而言，任取一尾，它只能和未与它的头连接的另4根草的尾连接。再取另一尾，它只能和未与它的头连接的另2根草的尾连接，最后再将其余的尾连接成环，故尾的连接法为24⋅。所以A包含的样本点数为)24)(135(⋅⋅⋅，于是158)135()24)(135()(2=⋅⋅⋅⋅⋅=AP(2)n2根草的情形和(1)类似得1.13把n个完全相同的球随机地放入N个盒子中（即球放入盒子后，只能区别盒子中球的个数，不能区别是哪个球进入某个盒子，这时也称球是不可辨的）。如果每一种放法都是等可能的，证明(1)某一个指定的盒子中恰好有k个球的概率为⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−−+nnNknknN12，nk≤≤0(2)恰好有m个盒的概率为⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛nnNmNnmN111，1−≤≤−NmnN(3)指定的m个盒中正好有j个球的概率为⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−−+−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−+nnNjnjnmNmjm1111，.0,1NjNm≤≤≤≤解略。1.14某公共汽车站每隔5分钟有一辆汽车到达，乘客到达汽车站的时刻是任意的，求一个乘客候车时间不超过3分钟的概率。解所求概率为53)(=AP1.15在ABC∆中任取一点P，证明ABCABP∆∆与的面积之比大于nn1−的概率为21n。解截取CDnDC1=′，当且仅当点P落入BAC′′∆之内时ABCABP∆∆与的面积之比大于nn1−，因此所求概率为22)(CDDCABCCBAAP′=∆′′∆=的面积有面积2221CDDCn′=21n=。1.16两艘轮船都要停靠同一个泊位，它们可能在一昼夜的任意时刻到达。设两船停靠泊位的时间分别为1小时与两小时，求有一艘船停靠泊位时必须等待一段时间的概率。解分别用yx,表示第一、二艘船到达泊位的时间。一艘船到达泊位时必须等待当且仅当10,20≤−≤≤−≤xyyx。因此所求概率为121.0242221232124)(2222≈×−×−=AP1.17在线段AB上任取三点321,,xxx，求：(1)2x位于31xx与之间的概率。(2)321,,AxAxAx能构成一个三角形的概率。解(1)31)(=AP(2)211213131)(=××−=BP1.18在平面上画有间隔为d的等距平行线，向平面任意地投掷一个三角形，该三角形的边长为cba,,（均小于d），求三角形与平行线相交的概率。解分别用321,,AAA表示三角形的一个顶点与平行线相合，一条边与平行线相合，两条边与平行线相交，显然.0)()(21==APAP所求概率为)(3AP。分别用bcacabcbaAAAAAA,,,,,表示边cba,,，二边bcacab,,与平行线相交，则=)(3AP).(bcacabAAAP∪∪显然)(aAP)()(acabAPAP+，=)(bAP)()(bcabAPAP+，=)(cAP)()(bcacAPAP+。所以21)(3=AP[+)(aAP+)(bAP)(cAP])(22cbad++=π)(1cbad++=π（用例1.12的结果）1.19己知不可能事件的概率为零，现在问概率为零的事件是否一定为不可能事件？试举例说明之。解概率为零的事件不一定是不可能事件。例如向长度为1的线段内随机投点。则事件A“该点命中AB的中点”的概率等于零，但A不是不可能事件。1.20甲、乙两人从装有a个白球与b个黑球的口袋中轮流摸取一球，甲先取，乙后取，每次取后都有不放回，直到两人中有一人取到白球时停止。试描述这一随机现象的概率空间，并求甲或乙先取到白球的概率。解1ω表示白，2ω表示黑白，3ω表示黑黑白，…白黑黑表示个���⋯bb1+ω，则样本空间=Ω{1ω，2ω，…，1+bω}，并且baaP+=})({1ω，1})({2−+⋅+=baababPω，211})({3−+⋅−+−⋅+=baababbabPω，…，)1()2()2(11})({−−+⋅−−+−−⋅⋅−+−⋅+=ibaaibaibbabbabPi⋯ωababaabPb⋯)1)((!})({1−++=+ω甲取胜的概率为})({1ωP+})({3ωP+})({5ωP+…乙取胜的概率为})({2ωP+})({4ωP+})({6ωP+…1.21设事件BA,及BA∪的概率分别为p、q及r，求)(ABP，)(BAP，)(BAP，)(BAP解由)()()()(ABPBPAPBAP−+=∪得rqpBAPBPAPABP−+=∪−+=)()()()(qrABPAPABAPBAP−=−=−=)()()()(，prBAP−=)(rBAPBAPBAP−=∪−=∪=1)(1)()(1.22设1A、2A为两个随机事件，证明：(1))()()(1)(212121AAPAPAPAAP+−−=;(2))()()()()()(121212121APAPAAPAAPAPAP+≤∪≤≤−−.证明(1)−=∪=1)()(2121AAPAAP)(21AAP∪=)()()(12121AAPAPAP+−−(2)由(1)和0)(21≥AAP得第一个不等式，由概率的单调性和半可加性分别得第二、三个不等式。1.23对于任意的随机事件A、B、C，证明：)()()()(APBCPACPABP≤−+证明)()()()]([)(ABCPACPABPCBAPAP−+=∪≥)()()(BCPACPABP−+≥1.24在某城市中共发行三种报纸：甲、乙、丙。在这个城市的居民中，订甲报的有45%，订乙报的有35%，订丙报的有30%，同时订甲、乙两报的有10%，同时订甲、丙两报的有8%，同时订乙、丙两报的有5%，同时订三种报纸的有3%，求下述百分比：(1)只订甲报的；(2)只订甲、乙两报的；(3)只订一种报纸的；(4)正好订两种报纸的；(5)至少订一种报纸的；(6)不订任何报纸的。解事件A表示订甲报，事件B表示订乙报，事件C表示订丙报。(1)))(()(ACABAPCBAP∪