y专题二 利用导数研究函数的性质

专题利用导数研究函数的性质数学（理）1．f′(x)0在(a，b)上成立是f(x)在(a，b)上是增加的的条件．2．f(x)在(a，b)上是增加的的充要条件是，且f′(x)＝0在有限个点处取到．3．对于可导函数f(x)，f′(x0)＝0并不是f(x)在x＝x0处有极值的充分条件对于可导函数f(x)，x＝x0是f(x)的极值点，必须具备①f′(x0)＝0，②在x0两侧，f′(x)的符号为异号．所以f′(x0)＝0只是f(x)在x0处有极值的条件，但并不．4．如果连续函数f(x)在区间(a，b)内只有一个极值点，那么这个极值点就是最值点．基础知识·自主学习要点梳理充分不必要f′(x)≥0必要充分例1：设函数f(x)＝x(ex－1)－ax2.(1)若a＝12，求f(x)的单调区间；(2)若当x≥0时，f(x)≥0，求a的取值范围．题型分类·深度剖析解(1)a＝12时，f(x)＝x(ex－1)－12x2，f′(x)＝ex－1＋xex－x＝(ex－1)(x＋1)．当x∈(－∞，－1)时，f′(x)0；当x∈(－1,0)时，f′(x)0；当x∈(0，＋∞)时，f′(x)0.故f(x)的单调递增区间为(－∞，－1)，(0，＋∞)，单调递减区间为(－1,0)．题型分类·深度剖析(2)f(x)＝x(ex－1－ax)，令g(x)＝ex－1－ax，g′(x)＝ex－a.若a≤1，则当x∈(0，＋∞)时，g′(x)0，因此g(x)在此区间上是增加的，而g(0)＝0，从而当x≥0时，g(x)≥0，即f(x)≥0.若a1，则当x∈(0，lna)时，g′(x)0，因此g(x)在此区间上是减少的，而g(0)＝0，从而当x∈(0，lna)时，g(x)0，即f(x)0.综合得a的取值范围为(－∞，1]．例1：设函数f(x)＝x(ex－1)－ax2.(1)若a＝12，求f(x)的单调区间；(2)若当x≥0时，f(x)≥0，求a的取值范围．例2：已知f(x)＝ax2(a∈R)，g(x)＝2lnx.(1)讨论函数F(x)＝f(x)－g(x)的单调性；(2)若方程f(x)＝g(x)在区间[2，e]上有两个不等解，求a的取值范围．解(1)F(x)＝ax2－2lnx，其定义域为(0，＋∞)，∴F′(x)＝2ax－2x＝2ax2－1x(x0)．①当a0时，由ax2－10，得x1a.由ax2－10，得0x1a.故当a0时，F(x)在区间1a，＋∞上是增加的，在区间0，1a上是减少的．②当a≤0时，F′(x)0(x0)恒成立．故当a≤0时，F(x)在(0，＋∞)上是减少的．(2)原式等价于方程a＝2lnxx2＝φ(x)在区间[2，e]上有两个不等解．题型分类·深度剖析∵φ′(x)＝2x1－2lnxx4在(2，e)上是增加的，在(e，e)上是减少的，则φ(x)max＝φ(e)＝1e，而φ(e)＝2e2φ(2)＝2ln24＝ln22＝φ(2)．∴φ(x)min＝φ(e)，如图当f(x)＝g(x)在[2，e]上有两个不等解时有φ(x)min＝ln22，a的取值范围为ln22≤a1e.例2：已知f(x)＝ax2(a∈R)，g(x)＝2lnx.(1)讨论函数F(x)＝f(x)－g(x)的单调性；(2)若方程f(x)＝g(x)在区间[2，e]上有两个不等解，求a的取值范围．过关检测1.函数f(x)＝x3－6bx＋3b在(0,1)内有最小值，实数b的取值范围是()A．(0,1)B．(－∞，1)C．(0，＋∞)D.0，122.曲线y＝f(x)＝x3－x＋3过点(1,3)的切线方程为．3．已知函数f(x)＝mx3＋nx2的图像在点(－1,2)处的切线恰好与直线3x＋y＝0平行，若f(x)在区间[t，t＋1]上是减少的，则实数t的取值范围是__________．[－2，－1]4．函数f(x)＝x(x－m)2在x＝1处取得极小值，则实数m＝________.D15.设f(x)＝13x3＋ax2＋5x＋6在区间[1,3]上为单调函数，则实数a的取值范围为()A．[－5，＋∞)B．(－∞，－3]C．(－∞，－3]∪[－5，＋∞)D．[－5，5]C2x-y+1=0或x+4y-13=0B组专项能力提升6．(2011·湖南)设直线x＝t与函数f(x)＝x2，g(x)＝lnx的图像分别交于点M，N，则当|MN|达到最小时t的值为()A．1B.12C.52D.22D由题意画出函数图像如图所示，由图可以看出|MN|＝y＝t2－lnt(t0)．y′＝2t－1t＝2t2－1t＝2t＋22t－22t.当0t22时，y′0，可知y在此区间上是减少的；当t22时，y′0，可知y在此区间上是增加的．故当t＝22时，|MN|有最小值．过关检测