正态分布附其经典习题与答案

1/84321-1-4-2242125.3正态分布【知识网络】1、取有限值的离散型随机变量均值、方差的概念；2、能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题；3、通过实际问题，借助直观（如实际问题的直观图），认识正态分布、曲线的特点及曲线所表示的意义。【典型例题】例1：（1）已知随机变量X服从二项分布，且E（X）=2.4，V（X）=1.44，则二项分布的参数n，p的值为（）A．n=4，p=0.6B．n=6,p=0.4C．n=8，p=0.3D．n=24，p=0.1答案：B。解析：4.2npXE，44.1)1(pnpXV。（2）正态曲线下、横轴上，从均数到的面积为()。A．95%B．50%C．97.5%D．不能确定（与标准差的大小有关）答案：B。解析：由正态曲线的特点知。（3）某班有48名同学，一次考试后的数学成绩服从正态分布，平均分为80，标准差为10，理论上说在80分到90分的人数是（）A32B16C8D20答案：B。解析:数学成绩是X—N(80,102)，80809080(8090)(01)0.3413,480.3413161010PXPZPZ。（4）从1，2，3，4，5这五个数中任取两个数，这两个数之积的数学期望为___________。答案：8.5。解析：设两数之积为X，X23456810121520P0.10.10.10.10.10.10.10.10.10.1∴E(X)=8.5.（5）如图，两个正态分布曲线图：1为)(1,1x，2为)(22x，则12，12（填大于，小于）答案：＜，＞。解析：由正态密度曲线图象的特征知。例2：甲、乙两人参加一次英语口语考试，已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6题，乙能答对其中的8题.规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进行测试，至少答对2题才算合格.（Ⅰ）求甲答对试题数ξ的概率分布及数学期望；（Ⅱ）求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率.答案：解：（Ⅰ）依题意，甲答对试题数ξ的概率分布如下：甲答对试题数ξ的数学期望Eξ=5961321210313010.（Ⅱ）设甲、乙两人考试合格的事件分别为A、B，则ξ0123P30110321612/8P(A)=310361426CCCC=321202060，P(B)=15141205656310381228CCCC.因为事件A、B相互独立，方法一：∴甲、乙两人考试均不合格的概率为45115141321BPAPBAP∴甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为454445111BAPP答：甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为4544．方法二：∴甲、乙两人至少有一个考试合格的概率为454415143215143115132BAPBAPBAPP答：甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为4544.例3：甲、乙两名射手在一次射击中得分为两个相互独立的随机变量X和Y，其分布列如下：（1）求a,b的值；（2）比较两名射手的水平.答案：（1）a=0.3,b=0.4;（2）23.034.023.01,3.26.031.023.01EYEX6.0,855.0DYDX所以说甲射手平均水平比乙好，但甲不如乙稳定.．例4：一种赌博游戏：一个布袋内装有6个白球和6个红球，除颜色不同外，6个小球完全一样，每次从袋中取出6个球，输赢规则为：6个全红，赢得100元；5红1白，赢得50元；4红2白，赢得20元；3红3白，输掉100元；2红4白，赢得20元；1红5白，赢得50元；6全白，赢得100元.而且游戏是免费的.很多人认为这种游戏非常令人心动，现在，请利用我们学过的概率知识解释我们是否该“心动”.。答案：设取出的红球数为X，则X—H（6，6，12），666612()kkCCPXkC，其中k=0,1,2,…,6设赢得的钱数为Y，则Y的分布列为X1005020—100P146267775154100231∴1675100()100502010029.4446277154231EY，故我们不该“心动”。【课内练习】Ｘ１２３Ｐａ0.10.6Y123P0.3b0.33/81．标准正态分布的均数与标准差分别为()。A．0与1B．1与0C．0与0D．1与1答案：A。解析：由标准正态分布的定义知。2．正态分布有两个参数与，()相应的正态曲线的形状越扁平。A．越大B．越小C．越大D．越小答案：C。解析：由正态密度曲线图象的特征知。3．已在n个数据nxxx,,,21，那么niixxn121是指A．B．C．2D．2（）答案：C。解析：由方差的统计定义知。4．设),(~pnB，12E，4V，则n的值是。答案：4。解析：12npE，4)1(pnpV5．对某个数学题，甲解出的概率为23，乙解出的概率为34，两人独立解题。记X为解出该题的人数，则E（X）=。答案：1712。解析：11121145(0),(1),3412343412PXPX231(2)342PX。∴15117()012212212EX。6．设随机变量服从正态分布)1,0(N，则下列结论正确的是。(1))0)(|(|)|(|)|(|aaPaPaP(2))0(1)(2)|(|aaPaP(3))0)((21)|(|aaPaP(4))0)(|(|1)|(|aaPaP答案：(1),(2),(4)。解析：(||)0Pa。7．抛掷一颗骰子，设所得点数为X，则V（X）=。答案：3512。解析：1(),1,2,,66PXkk，按定义计算得735(),()212EXVX。8．有甲乙两个单位都想聘任你，你能获得的相应的职位的工资及可能性如下表所示：根据工资待遇的差异情况，你愿意选择哪家单位并说明理由。答案：由于E（甲）=E（乙），V（甲）V（乙），故选择甲单位。解析：E（甲）=E（乙）=1400，V（甲）=40000，V（乙）=160000。9．交5元钱，可以参加一次摸奖。一袋中有同样大小的球10个，其中有8个标有1元钱，2个标有5元钱，甲单位1200140016001800概率0.40.30.20.1乙单位1000140018002200概率0.40.30.20.14/8摸奖者只能从中任取2个球，他所得奖励是所抽2球的钱数之和（设为），求抽奖人获利的数学期望。答案：解：因为为抽到的2球的钱数之和，则可能取的值为2，6，10.4528)2(21028CCP，4516)6(2101218CCCP，451)10(21022CCP51845162451104516645282E设为抽奖者获利的可能值，则5，抽奖者获利的数学期望为5755185)5(EEE故，抽奖人获利的期望为-75。10．甲乙两人独立解某一道数学题，已知该题被甲独立解出的概率为0.6，被甲或乙解出的概率为0.92.（1）求该题被乙独立解出的概率；（2）求解出该题的人数的数学期望和方差.答案：解：（1）记甲、乙分别解出此题的事件记为A、B.设甲独立解出此题的概率为P1，乙为P2.则P（A）=P1=0.6,P(B)=P2012P0.080.440.4800.0810.4420.480.440.961.4E，222()(01.4)0.08(11.4)0.44(21.4)0.480.15680.07040.17280.4V，或利用22()()()2.361.960.4VEE。【作业本】1212122222()1()1(1)(1)0.920.60.60.920.40.320.8(6)(2)(0)()()0.40.20.08(1)()()()()0.60.20.40.80.44(2)()()0.60.80.48:PABPABPPPPPPPPPPPPAPBPPAPBPAPBPPAPB则即分的概率分布为5/8A组1．袋中装有5只球，编号为1，2，3，4，5，从中任取3球，以X表示取出球的最大号码，则E（X）等于（）A、4B、5C、4.5D、4.75答案：C。解析：X的分布列为X345P0.10.30.6故E（X）=30.1+40.3+50.6=4.5。2．下列函数是正态分布密度函数的是（）A．2221)(rxexfB．2222)(xexfC．412221)(xexfD．2221)(xexf答案：B。解析：选项B是标准正态分布密度函数。3．正态总体为1,0概率密度函数)(xf是（）A．奇函数B．偶函数C．非奇非偶函数D．既是奇函数又是偶函数答案：B。解析：221()2xfxe。4．已知正态总体落在区间,2.0的概率是0．5，那么相应的正态曲线在x时达到最高点。答案：0.2。解析：正态曲线关于直线x对称，由题意知0.2。5．一次英语测验由40道选择题构成，每道有4个选项，其中有且仅有一个是正确的，每个选对得3分，选错或不选均不得分，满分120分，某学生选对一道题的概率为0.7，求该生在这次测验中的成绩的期望为；方差为。答案：84；75.6。解析：设X为该生选对试题个数，η为成绩，则X～B（50，0.7），η=3X∴E(X)=40×0.7=28V(X)=40×0.7×0.3=8.4故E(η)=E(3X)=3E(X)=84V(η)=V(3X)=9V(X)=75.66．某人进行一个试验，若试验成功则停止，若实验失败，再重新试验一次，若试验三次均失败，则放弃试验，若此人每次试验成功的概率为32，求此人试验次数X的分布列及期望和方差。解：X的分布列为X123P232919故22113()1233999EX，22211338()149()399981VX。7．甲、乙两名射击运动员，甲射击一次命中10环的概率为0.5，乙射击一次命中10环的概率为s，若他们独立的射击两次，设乙命中10环的次数为X，则EX=34，Y为甲与乙命中10环的差的绝对值.求s的值及Y的分布列及期望.答案：解：由已知可得),2(~sBX，故32,342ssEX所以．有Y的取值可以是0，1，2.6/8甲、乙两人命中10环的次数都是0次的概率是361)31()21(22，甲、乙两人命中10环的次数都是1次的概率是92)32313132)(21212121(，甲、乙两人命中10环的次数都是2次的概率是91)3232)(2121(所以36139192361)0(YP；甲命中10环的次数是2且乙命中10环的次数是0次的概率是361)31()21(22，甲命中10环的次数是0且乙命中10环的次数是2次的概率是91)3232)(2121(所以36591361)2(YP，故21)2()0(1)1(YPYPYP所以Y的分布列是Y123P361321365所以Y的期望是E（Y）=97。8．一软件开发商开发一种新的软件，投资50万元，开发成功的概率为0.9，若开发不成功，则只能收回10万元的资金，若开发成功，投放市场前，召开一次新闻发布会，召开一次新闻发布会不论是否成功都需要花费10万元，召开新闻发布会成功的概率为0.8，若发布成功则可以销售100万元，否则将起到负面作用只能销售60万元，而不召开新闻发布会则可能销售75万元.（1）求软件成功开发且成功在发布会上发布的概率.（2）求开发商盈利的最大期望