对数与对数的运算

对数的运算仁寿中学吴旭东E-mail:[e-mail]高一数学多媒体课堂教学目的：（1）理解对数的概念，能够进行对数式与指数式互化；（2）掌握对数的运算性质；（3）掌握好积、商、幂、方根的对数运算法则，能根据公式法则进行数、式、方程的正确运算及变形，进一步培养学生合理的运算能力；教学重点：对数的定义、对数的运算性质；教学难点：对数的概念；要求学生掌握对数的换底公式，并能解决有关的化简、求值、证明问题。探索：把左右两列中一定相等的用线连起来NMaaloglogNMalognaMlog)(logMNaNMaaloglogMnalogNMaaloglog)log(NMNMaaloglog)log(NMnaM)(log对数的换底公式alogblogblogcca)0b),,1()1,0(c,a(证明：设由对数的定义可以得：,abx即证得,xbloga,alogblogxcc,alogxblogccalogblogxccalogblogblogcca这个公式叫做换底公式其他重要公式1:algblgbloga①alnblnblog②a其他重要公式2:blogmnblog①anam证明：设,logpNnam由对数的定义可以得：,)(pmnaN∴即证得NmnNanamloglogmpnaNpnmNalogpnmaNblogblog②anan其他重要公式3:alog1blog①ba),1()1,0(,ba证明:由换底公式取以b为底的对数得：还可以变形,得,1logbbalogblogblogccaabbbbalogloglogabbalog1logzlogzlogylog②xyxzlogylogzlogylogzlogylogxxxxyx问题：已知2x=3，如何求x的值？若已知log3x=0.5,如何求x的值？32log9log2789103lg32lg52lg33lg227lg32lg8lg9lg9103log3533log227log32log8log9log222222公式的运用：利用换底公式统一对数底数，即“化异为同”是解决有关对数问题的基本思想方法；解法:原式=解法:原式=例题2：计算37254954log31log81log2log的值1.分析：先利用对数运算性质法则和换底公式进行化简，然后再求值；2.解：原式=37lg32lg25lg23lg7lg23lg45lg2lg21,518,a9logb1845log36已知求的值（用a，b表示）ba5log,9log1818a12log18分析：已知对数和幂的底数都是18，所以先将需求值的对数化为与已知对数同底后再求解；解：，一定要求aba22log15log9log36log45log45log181818181836利用换底公式“化异为同”是解决有关对数问题的基本思想方法，它在求值或恒等变形中起了重要作用，在解题过程中应注意：（1）针对具体问题，选择好底数；（2）注意换底公式与对数运算法则结合使用；（3）换底公式的正用与逆用；1643tzyxyxz21111643tzyx6lglg4lglg3lglgtztytx，，yttttxz21lg24lglg2lglg3lglg6lg11例三、设求证：证：∵∴∴zyx6,4,32比较的大小。04lg3lg8164lglg4lg3lg81lg64lglg)4lg43lg3(lg43kkkyx∴yx4306lg2lg169lglg6lg2lg64lg36lglg)6lg64lg4(lg64kkkzy∴zy64∴zyx643)5lg1(p32lgp33lgp33log2q3lg5lg5log3)5lg1(33lg5lgpqqpqpq35lg)31(pqpq3135lg例四、若log83=p,log35=q,求lg5解：∵log83=p∴又∵∴∴∴2loglog8log4log4843m218lglg4lg8lg3lg4lgm3lg21lgm3m例六、若求m解：由题意：∴∴例1、解方程：（1）22x－1=8x解：原方程化为22x－1=23x2x－1=3xx=－1∴方程的解为x=－1（2）lgx－lg(x－3)=1解：原方程化为lgx=lg10+lg(x－3)lgx=lg10(x－3)x=10(x－3)310x310x经检验，方程的解为例2、解方程：（1）8×2x=923x解：原方程化为2x+3=923x(x+3)lg2=(x2－9)lg3(x+3)(xlg3－3lg3－lg2)=03lg2lg3lg33xx或3lg2lg3lg33xx或故方程的解为（2）log(2x－1)(5x2+3x－17)=2解：原方程化为5x2+3x－17=(2x－1)2x2+7x－18=0x=－9或x=2当x=－9时，2x－1＜0与对数定义矛盾，故舍去经检验，方程的解为x=2例3、解方程：（1）4)32()32(xx4)32(1)32(xx解：原方程化为xt)32(设则有t2–4t+1=032t32)32(32)32(xx或即∴x=1或x=－1故方程的解为x=1或x=－1.（2）log25x－2logx25=1解：原方程化为log25x－=1x25log2设t=log25x则有t2－t－2=0∴t=－1或t=2即log25x=－1或log25x=2∴x=或x=625251x=或x=625251经检验，方程的解为例4、解方程：log3(3x－1)×log3(3x－1－)=231解：原方程化为2)31331(log)13(log33xx2)]13(31[log)13(log33xx2)]13(log31[log)13(log333xx)13(log3xt令则t(t－1)=2022tt21tt或2)13(log1)13(log33xx或即9133113xx或103343xx或10log34log33xx或10log34log33xx或故方程的解为解法类型等价式a、b＞0且a、b≠1，a≠b，c为常量af(x)=ag(x)f(x)=g(x)logaf(x)=logag(x)af(x)=bg(x)f(x)lga=g(x)lgblogf(x)g(x)=cg(x)=[f(x)]cpa2x+qax+r=0plg2x+qlgx+r=0pt2+qt+r=0化同底法指对互表法换元法解对数方程应注意两个方面问题：(1)验根；(2)变形时的未知数的范围认可扩大不要缩小.学生练习：解方程1、lgx+lg(x－3)=12、3、4、lg2(x+1)－2lg(x+1)=35、262132254xxxx4)32()32(xx2)23(log)59(log121121xx答案：1、x=52、x=3、x=±24、x=999或x=5、x=22133109ylgxlg4lg3lg)y3x2lg()yxlg(.4已知例.yx的值求1、计算：(1)log535－2log5+log57－log51.837解：原式=log5(5×7)－2(log57－log53)+log57－log559=1+log57－2log57+2log53+log57－(log532－1)=1+2log53－2log53+1=2(2)lg25+lg2lg5+lg2解：原式=lg2+lg2lg+lg2210210=(1－lg2)2+lg2(1－lg2)+lg2=1－2lg2+lg22+lg2－lg22+lg2=12、已知lgx+lgy=2lg(x－2y)，求的值。yx2log4loglog2122yx故解：由题2)2lg()lg(0200yxxyyxyx22440200yxyxxyyxyx045020022yxyxyxyxyxyxyxyx40200或4yx222log2=4积、商、幂的对数运算法则：如果a0，a1，M0，N0有：)()()(3R)M(nnlogMlog2NlogMlogNMlog1NlogMlog(MN)loganaaaaaaa重要公式:blogmnbloganamalogblogblogcca)0b),,1()1,0(c,a(1alogblogba),1()1,0(b,a