二重积分的换元法

第三讲二重积分的换元法•内容提要1.二重积分的换元积分公式；2.极坐标系下二重积分的计算。•教学要求1.掌握二重积分的换元积分公式；2.熟练掌握极坐标系下二重积分的计算。D复习：二重积分在直角坐标系下的计算Dyxf),(1.在直角坐标系下二重积分Dyxf),(dxdyd2.二重积分在直角坐标系下的计算：Ddxdyyxf),()()(21),(xxdyyxfbadx)()(21),(yydxyxfxdxxydyyddcdy型X型Yxyorrl为邻边的矩形和近似地看成以rlrl即rr扇环的面积的近似公式：)(:.2rr曲线的极坐标方程ox)(rr预备知识：1.如图:1.二重积分的换元法(1)在直角坐标系下计算二重积分时，2222byxa如积分区域为oxy必须化为四个小区域来计算，因此，有必要学习在其他坐标系下如极坐标系下计算二重积分.这就需要进行变量代换，有如下定理.下非常烦琐，相当麻烦。在某些情况.),()],(),,([),(:)3(;0),(),(),()2(),(),,()1(),(),,(:),(DDdudvvuJvuyvuxfdxdyyxfDDTvuyxvuJDDvuyvuxDxoyDuovvuyyvuxxTDxoyyxf是一对一的，则有变换上雅可比式在；上具有一阶连续偏导数在且满足，平面上的变为平面上的闭区域将连续，变换上平面上的闭区域在设定理DoDf)(.为圆心的圆弧进行划分以出发的射线和用从将区域OODrrr则rrd于是面积微元ddrrDdyxf),(故sin,cosrrrrrddr.),()],(),,([),(:)3(;0),(),(),()2(),(),,()1(),(),,(:),(DDdudvvuJvuyvuxfdxdyyxfDDTvuyxvuJDDvuyvuxDxoyDuovvuyyvuxxTDxoyyxf是一对一的，则有变换上雅可比式在；上具有一阶连续偏导数在且满足，平面上的变为平面上的闭区域将连续，变换上平面上的闭区域在设定理)()(21)sin,cos(rrdrrrfDddrrrrf)sin,cos(二重积分化为二次积分时，根据积分区域D的特征，可分为以下三种情况：（1）极点O在区域D的外部)()(21rrrDo)(2rr)(1rr:DrdoD)(0)sin,cos(rdrrrf（2）极点O在区域D的边界上)(0rrDddrrrrf)sin,cos()(rr:Dr（3）极点O在区域D的内部Do)(rr:D)(0rr20Dddrrrrf)sin,cos()(0)sin,cos(rdrrrfrd20d计算dxdyyxD)1(22例1.122yxD为其中积分区域oxy1解drdrrD)1(2sincosryrx1r圆的极坐标方程为2010:rD故由直角坐标化极坐标公式dxdyyxD)1(2210220)1(rdrrd10320)(drrrd201042]4121[drr2041d2Daa解dxdyeDyx22arrdred0202).1(2aeoxysincosryrxar圆的极坐标方程为200:arD故arrded0220)(2200221dear由直角坐标化极坐标公式计算dxdyeDyx22.222ayxD为其中积分区域21练习计算dyxD22例2.)(222ayaxD为其中积分区域cos20:arD故222)(ayaxcos2ar解oxydyxD22cos20222adrrd2233cos38da2033cos316da2023sincos316da3932a22例3计算dxdyyxD)(22，其D为由圆yyx222，yyx422及直线yx30，03xy所围成的平面闭区域.解63sin4rsin2rdxdyyxD)(2236sin4sin22rdrrd).32(15yyx422yyx22203xy03yxoxyyyx222yyx42203yx03xy2.二重积分的换元法（2）.sin,cosryrx间的关系为坐标与极坐标之平面上同一个点，直角的一种变换，坐标平面到直角标平面上式可看成是从直角坐xoyro换是一对一的．，且这种变平面上的一点成，通过上式变换，变面上的一点平即对于),(),(yxMxoyrMro例1解所围成的闭区域．线轴和直轴、由其中计算2,yxyxDdxdyeDxyxy,,xyvxyu令.2,2uvyuvx则,DDDxyo2yxDuvovuvu2v.22;0;0vyxvuyvux即),(),(vuyxJ,2121212121DvuDxyxydudvedxdye21故vvvuduedv2021201)(21vdvee.1ee例2解所围成的闭区域．椭圆为其中计算1,122222222byaxDdxdybyaxD.20,0,0,0rba其中,sin,cosbryarx作广义极坐标变换},20,10),{(rrDD在这变换下.),(),(abrryxJ故换元公式仍成立，处为零，内仅当在0rDJdrdabrrdxdybyaxDD2222211.32ab小结一般地，当积分区域为圆形、扇形、环形区域，而被积函数中含有的项时，22yx二重积分在极坐标下的计算公式Drdrdrrf)sin,cos()()(21)sin,cos(rrrdrrrfd)(0)sin,cos(rrdrrrfd)(020)sin,cos(rrdrrrfd采用极坐标计算往往比较方便.的形式．同时也兼顾被积函数的形状，于积分区域．作什么变换主要取决),(1yxfD基本要求:变换后定限简便，求积容易．.),(),(1),(),(.2yxvuvuyxJ（在积分中注意使用对称性）计算deyxyyxD2)(，其中D：1yx，0x和0y所围成.思考题令yvyxu,vyvux雅可比行列式1),(),(vuyxJ,变换后区域为思考题解答oxy1yxDouvvuDdeyxyyxD2)(DdudvJvuf||),(dveuvduuu2010dueuu2102).1(41eD：1yx1u0x0vu0y0v