狭义相对论推导详细计算过程

狭义相对论狭义相对论基本原理：1.基本物理定律在所有惯性系中都保持相同形式的数学表达式，因此一切惯性系都是等价的。2.在一切惯性系中，光在真空中的传播速率都等于c，与光源的运动状态无关。假设S系和S’系是两个相对作匀速运动的惯性坐标系，规定S’系沿S系的x轴正方向以速度v相对于S系作匀速直线运动，x’、y’、z’轴分别与x、y、z轴平行，两惯性系原点重合时，原点处时钟都指示零点。Ⅰ洛伦兹变换现假设，x’=k(x-vt)①，k是比例系数，可保证变化是线性的，相应地，S’系的坐标变换为S系，有x=k(x’+vt)②，另有y’=y，z’=z。将①代入②：x=k[k(x-vt)+vt’]x=k^2*(x-vt)+kvt’t’=kt+(1-k^2)x/kv两原点重合时，有t=t’=0，此时在共同原点发射一光脉冲，在S系，x=ct，在S’系，x’=ct’，将两式代入①和②：ct’=k(c-v)t得ct’=kct-kvt即t’=(kct-kvt)/cct=k(c+v)t’得ct=kct’+kvt’两式联立消去t和t’ct=k(kct-kvt)+kv(kct-kvt)/cct=k^2ct-k^2vt+k^2vt-k^2v^2t/cc^2=k^2c^2-k^2v^2k=22/11cv将k代入各式即为洛伦兹变换：x’=22/1cvvtxy’=yz’=zt’=222/1/cvcvxt或有x=k(x’+vt’)x’=k(x-vt)=k(1+v/c)x’=k(1-v/c)x两式联立，x’=k(1-v/c)k(1+v/c)x’k=22/11cvⅡ同时的相对性S中取A（x1,y,z,t1）和B（x2,y,z,t2），同时发出一光脉冲信号，即t1=t2，且x1≠x2。在S中，Δt=t1-t2=0在S’中，t1’=22211/1/cvcvxtt2’=22222/1/cvcvxt，Δt’=t1’-t2’=22212/1/)(cvcvxx，由于x1≠x2，则S’中，Δt’≠0。即在S系中不同位置同时发生的两个事件，在S’系中看来不是同时发生的。亦可说明时间和空间是相互联系的。Ⅲ时间延缓效应（时钟变慢）如Ⅱ中，对于S系同时发生的两事件，在S’系中出现了时间间隔，即时间膨胀或延缓。设S’系中的x0’处先后在t1’和t2’发生两事件，则Δt’=t2’-t1’。在S系中，Δt=t2-t1=22202/1/''cvcvxt-22201/1/''cvcvxt=22/1t'cv＞Δt’说明在S’系中，两事件的时间间隔小于在S系看来的间隔，即在S系看来，S’系中的时钟变慢了。（对于确定的两事件，时间间隔应相同，时间起点相同，S中观察到的间隔要长一些，便认为是S’系中的时钟变慢了。）Ⅳ长度收缩效应（尺缩）S’系中放置一沿x轴方向的长杆，设两端点的坐标是x1’和x2’，则静止长度ΔL’=ΔL0=x2’-x1’，称为固有长度。在S系中要测量长杆的长度，必须同时测出x1和x2，即t1=t2。由x1’=2211/1cvvtx和x2’=2222/1cvvtx得ΔL0=ΔL’=x2’-x1’=2212/1cvxx=22/1cvL则ΔL=ΔL022/1cv＜ΔL0即在S系中观察运动的杆时，其长度比静止时缩短了。Ⅴ速度变换法则设一质点在两惯性系中的速度分量为ux=dx/dtuy=dy/dtuz=dz/dt(S系)ux’=dx’/dtuy’=dy’/dtuz’=dz’/dt(S’系)由洛伦兹变换得dx’=22/1cvvdtdxdy’=dydz’=dzdt’=222/1/cvcvdxdt前三式分别除以第四式得ux’=2/1cvuvuxxuy’=222/1/1cvucvuxyuz’=222/1/1cvucvuxz相应地有，ux=2/1'cvuvuxxuy=222/1/1'cvucvuxyuz=222/1/1'cvucvuxz狭义相对论动力学Ⅵ质速关系设S系中的x0处有一静止粒子，因内力分裂为质量相等的A、B两部分，且分裂后mA以速度v沿x轴正方向移动，mB以速度-v沿x轴负方向移动。则在S’系看来mA静止，即vA’=0。而vB’=2/)(1cvvvv=22/12cvv，则v=-c^2/vB’[1-22/'1cvB]③。同时质心仍在x0处未移动，有v0’=-v。由于动量守恒，（mA+mB）=mAvA’+mBvB’，而vA’=0，则-v=mBvB’/（mA+mB）mB/mA=-v/(vB’+v)=vB’/(vB’+v)-1将③代入上式mB/mA=1/'1''222222cvccvvBBB=222222222/'1'/'1cvccvcvccBBBVBA·mVVSS’=22/'11cvB得mB=22/'1cvmBA，在S系中二者以相同的速度沿相反方向运动，而在S’系中，mA静止，可看做静质量（m0）。mB以速率vB’运动，可视为运动质量，称相对论质量。则运动物体的质量与其静质量的一般关系即m=220/1cvmⅦ相对论动力学基本方程相对论动量p=mv=220/1cvvm（p、v均为矢量）物体受力F=dp/dt=d220/1cvvm/dt(F、p、v均为矢量)当vc时，即为牛顿第二定律，pmv=FΔtⅧ质能关系由Ⅶ知，F=dp/dt=d(mv)/dt=vdm/dt+mdv/dt。另有dx=vdt经典力学中，质点动能增量即合力做的功，应用的相对论中，Ek=Fdx=dxmdtdvvdtdm)(=)(2dmvmvdv④对质速方程m=220/1cvm求微分有dm=dvcvm)'/1(220=dvcvcvm)'/1()'/11(22220=dvcvcvm32220)/1(将上式与220/1cvm代入④式，Ek=dvcvcvmcvvm))/1(/1(322230220=dvcvcvmcvccvvcm))/1()/1()/1((32223032222220=dvcvcvmc322202)/1(（dm代入此式）=dmc2=mc^2+C其中C为积分常量，知v=0时，m=m0,Ek=0，代入求得C=-m0c^2。则Ek=mc^2-m0c^2=m0c^2(1/1122cv)⑤当vc时对22/11cv作泰勒展开，得22/11cv=1+v^2/2c^2+3v^4/8c^4+……取前两项有Ek=m0c^2（1+v^2/2c^2-1）=m0v^2/2，即经典力学动能表达式。而⑤式可改写为mc^2=Ek+m0c^2，m0c^2是物体静止时的能量，称物体的静能，而mc^2为物体的总能量。将总能量用E表示，写作E=mc^2=2220/1cvcm即相对论质能关系。泰勒展开：根据泰勒公式的简单形式，即迈克劳林公式，有f(x)=f(0)+f’(0)x+f’’(0)x^2/2!+……+fn(0)x^n/n!。对于f(v)=22/11cvf’(v)=3222)/1(21*2cvcv=3222)/1(cvcvf’’(v)=25222*)/1(23*2cvcvcv+3222)/1(1cvc=52242)/1(3cvcv+3222)/1(1cvcf3(v)=427222*)/1(25*6cvcvcv+45222*)/1(23cvcv+252221*)/1(23*2ccvcv=72263)/1(15cvcv+5224)/1(9cvcvf4(v)=639222*)/1(2105*2cvcvcv+627223*)/1(215cvcv+47222*)/1(215*2cvcvcv+5224)/1(6cvc+47222*)/1(215*2cvcvcv+5224)/1(3cvc=92284)/1(105cvcv+72262)/1(90cvcv+5224)/1(9cvc此处，f(v)=f(0)+f’(0)v+f’’(0)v^2/2!+f3(v)v^3/3!+f4(v)v^4/4!+……=1+0+v^2/2c^2+0+3v^4/8c^4+……=1+v^2/2c^2+3v^4/8c^4+……Ⅸ能量-动量关系将p=mv=220/1cvvm中的v^2解出，得v^2=220222cmpcp，代入质能方程，得E=)/(12202220cmppcm=220222020cmpcmcm=2202cmpc则E^2=p^2c^2+m0^2c^4即相对论能量-动量关系。同时可知，对于静质量为零的粒子，如光子，有E=pc，则p=mc^2/c=mc，与p=mv比较可得，静止质量为零的粒子总以光速c运动。结合普朗克的理论，由E=mc^2=hν可得到光子的相对论质量m=hν/c^2。h为普朗克常量，ν为光的频率。