§1.4.2不等式的证明(第2课时)-分析法

XX一、教学目标：1.通过不等式的性质及常用的证明方法分析法使学生较灵活的运用常规方法(即通性通法)证明不等式的有关问题．2.通过揭示问题本质特征，使得难解性问题转化为可解性问题，从而培养学生的分问题、解决问题的能力并提高逻辑推理能力．二、教学重点：重点是较灵活运用常规方法证明不等式教学难点：选择适当的证明方法三、教学方法：启发式四、教学过程不等式的证明（2)—分析法证明不等式时，有时可以从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件，把证明这个不等式的问题转化为判定这些条件是否具备的问题。如果能够肯定这些条件都已具备，那么就可以断定所求证的不等式成立。这种证明方法通常叫做分析法。用分析法论证“若A则B”这个命题的格式是：欲证命题B为真，只需证命题B1为真，只需证命题B2为真，……只需证命题Bn为真，只需证命题A为真，令已知命题A为真，故命题B为真。用简要的形式写为：BB1B2……BnA结论（寻求不等式成立的充分条件）条件分析法的思路是：“执果索因”，未知已知即从求证的不等式出发，不断地用充分条件来代替前面的不等式，直至找到已知的不等式为止。例1.已知,,abm都是正数，并且,ab求证amabmb证明：∵,,abm都是正数，本题的结论反映了分式的一个性质：若,,abm都是正数，当ab时，;amabmb当ab时，;amabmb为了要证明bambma只需证明()()ambabmabbmabam即bmam即因此，只需证明baamabmb所以成立ba而已知成立，例2.求证：.37253725证明：因为和都是正数，所以为了证明3725只需证明22(37)(25)展开得102212022110,即215,21252125因为成立，2237(25)所以（）成立，3725即证明了例2.求证：.3725证明:372522(37)(25)展开得102212022110,即215,21252125因为成立，2237(25)所以（）成立，3725错误证法例3.证明：当周长相等时，圆的面积比正方形的面积大。证明：设周长为,L依题意，圆的面积为2,2L正方形的面积为24L所以本题只需证明2224LL为了证明上式成立，只需证明222164LL11,4即证因此只需证明4上式是成立的，所以2224LL这就证明了，如果周长相等，那么圆的面积比正方形的面积大。例4:已知a＞b＞0，求证aba8)(2＜abba2＜bba8)(2证明：只需证aba4)(2＜2)(ba＜bba4)(2只需证aba4)(2＜＜bba4)(21∵a＞b＞0aba4)(2aaa4)(2＜＝1∴bba4)(2bbb4)(2＞＝1即aba4)(2bba4)(2＜1＜∴aba8)(2＜abba2＜bba8)(2aba8)(2＜abba2＜bba8)(2欲证练习1求证：2222dcbabdac证明：22222dcbabdac02222dcba0bdac若02222dcba不等式显然成立原不等式即证2222222222222cbdadbcaabcddbca即证22222cbdaabcd即证02bcad即证成立2222dcbabdac若ac+bd≤0,练习2：已知C＞1，求证：ccc211证明：∵C＞1∴C+1＞0C-1＞022112CCC要证原不等式只需证CCCC411212即证CC12即证即证-1＜0而此式显然成立成立原不等式CCC211例7：若a、b、c是不全相等的正数求证：lg＋lg＋lg＞lga+lgb+lgc2ba2cb2ac要证lg＋lg＋lg＞lga+lgb+lgc2ba2cb2ac只需证lg＞lgabc222accbba只需证＞abc222accbba∵a、b、c是正数2ac∴2ba＞0，ab≥2cb＞0，bc≥＞0ca≥∵a、b、c不全相等∴＞••＝abcabbcca222accbba∴lg＋lg＋lg＞lga+lgb+lgc2ba2cb2ac证明:常用已证过的不等式：1°a20（aR）2°a0（aR）3°及其变形222()22abab),(Rbaabba222ab2ab2ba22ab4baba21ba2222)(,)(abba24°（a0，b0）及其变形)(),(0ab2baab0ab2baab