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专题二力的合成与分解知识自主·梳理一、力的合成1．合力与分力：如果几个力同时作用时产生的与某一个力单独作用时的相同，则这一个力为那几个力的合力，那几个力为这一个力的．从实质上讲，合力与分力是一种关系，二者的作用效果完全相同．效果效果分力等效2．共点力：几个力都作用在物体的，或者它们的交于一点．3．力的合成：求几个力的的过程．4．平行四边形定则：求互成角度的两共点力的合力，可以用表示这两个力的线段为邻边作，这两个相邻边之间的就表示合力的和．同一点作用线合力平行四边形对角线大小方向二、力的分解1．力的分解：求一个力的的过程，力的分解与力的合成互为．2．遵从原则：定则．3．矢量运算普遍遵从的法则：(1)平行四边形定则(2)三角形定则：把两个矢量的顺次连结起来，第一个矢量的首端到第二个矢量的尾端的为合矢量．分力逆运算平行四边形首尾有向线段♦重点辨析(1)合力不是两个力直接的数学加减，它可能大于分力，也可能小于分力，还可能等于分力，合力与分力的大小关系如同三角形邻边的边长关系．(2)力的合成与分解只适于同一物体上的力，否则没有意义．方法规律·归纳一、合力的取值范围及合成常用方法1.两力的合力范围：(1)合力F与两分力F1、F2夹角θ间的关系：在两分力大小一定的情况下，θ越大，F越小，θ越小，F越大，当θ＝0°时，F最大(Fm＝F1＋F2)，当θ＝180°时，F最小(Fmin＝|F1－F2|)．(2)合力大小范围：|F1－F2|≤F≤|F1＋F2|.2.三个共点力的合力范围：首先要看这三个力的大小是否符合三角形的性质(a＋bc，a－bc)(1)若有这样的性质则其范围为0≤F≤F1＋F2＋F3；(2)若不符合三角形的性质则其最小值为|F1－(F2＋F3)|，其中F1≥F2≥F3.3．合力计算的两种特殊情况(1)相互垂直的两个力的合成如图甲：F＝F21＋F22，方向tanθ＝F2F1.(2)夹角为θ的大小相同的两个力的合成，如图乙．作出的平行四边形为菱形，F＝2F1cosθ2，方向与F1夹角为θ2.二、力的分解常见的两种方法及具有确定值的条件1.按力的效果分解法(1)根据力的实际作用效果确定两个实际分力的方向；(2)再根据两个实际分力方向画出平行四边形；(3)最后由平行四边形知识求出两分力的大小．2.正交分解法(1)定义：把一个力分解为相互垂直的分力的方法．(2)优点：把物体所受的不同方向的各个力都分解到相互垂直的两个方向上去，然后再求每个方向上的分力的代数和，这样就把复杂的矢量运算转化成了简单的代数运算，最后再求两个互成90°角的力的合力就简便多了．(3)运用正交分解法解题的步骤①正确选择直角坐标系，通常选择共点力的作用点为坐标原点，直角坐标x、y的选择可按下列原则去确定：尽可能使更多的力落在坐标轴上．沿物体运动方向或加速度方向设置一个坐标轴．若各种设置效果一样，则沿水平方向、竖直方向设置两坐标轴．②正交分解各力，即分别将各力投影到坐标轴上，分别求x轴和y轴上各力投影的合力Fx和Fy，其中Fx＝F1x＋F2x＋F3x＋…；Fy＝F1y＋F2y＋F3y＋…③求Fx与Fy的合力即为共点力的合力(如图)合力大小：F＝F2x＋F2y，合力的方向与x轴夹角：θ＝arctanFyFx.3．力的分解具有确定值的条件(1)已知合力和两个分力的方向，可求得两个分力的大小．(2)已知合力和一个分力的大小、方向，可求得另一个分力的大小和方向．(3)已知合力和两个分力的大小，可求得两个分力的方向．(4)已知合力F，一个分力F1的大小以及另一个分力F2的方向，求一个分力F1的方向和另一个分力F2的大小、有以下几种可能：①F1Fsinθ，无解．②F1＝Fsinθ，有一组解．③若FsinθF1F，有两组解．④若F1≥F，有一组解．♦特别提醒(1)不能凭空想象分力的方向，确定分力的方向要依据力所产生的实际效果．(2)在高考中力的分解尤其是正交分解考查较多，常与其他知识综合考查．一、力的合成必须遵循“同物性”和“同时性”的原则“同物性”是指待合成的诸力是作用在同一物体上的力．“同时性”是指待合成的诸力是同时出现的力．二、合力和分力具有“等效性”和“替代性”1．等效性是指力的相互代替要保证力的作用效果不变，替代性是指力被各分力或合力代替之后，不能再进行计算，否则将造成重复，不能得出正确的结论．2.合力是一种“等效”力．从力对物体的作用效果上看，合力F对物体作用所产生的效果和两个分力F1和F2共同作用所产生的效果是相同的；从解题的角度来看，有时要用合力F来代替分力F1和F2，有时又需要用分力F1和F2来代替合力F.3．在物理学中，运用“等效”概念研究问题是一种重要方法，在解力学问题时，要注意利用力的等效合成概念，使问题便于解决．但在分析物体受力情况时，我们只能分析物体实际所受到的力，不能加上“合力”这样的等效力．如当物体沿光滑斜面下滑时，我们只能说，物体受到重力和斜面弹力的作用，而不能说还受到一个下滑力，因为下滑力是重力和弹力的合力，是“等效”力．三、用力的矢量三角形定则分析力的最小值1．当已知合力F的大小、方向及一个分力F1的方向时，另一个分力F2取最小值的条件是两分力垂直．如图所示，F2的最小值为：F2min＝Fsinα.2.当已知合力F的方向及一个分力F1的大小、方向时，另一个分力F2取最小值的条件是所求分力F2与合力F垂直．如图所示，F2的最小值为：F2min＝F1sinα.3．当已知合力F的大小及一个分力F1的大小时，另一个分力F2取最小值的条件是已知大小的分力F1与合力F同方向，F2的最小值为|F－F1|.四、斜面上物体重力的分力的性质由于斜面上物体的重力有促使物体压紧斜面的效果和促使物体沿斜面下滑的效果，所以按效果分解得到的这两个力有时被误称为“正压力”和“下滑力”，即垂直于斜面的分力的性质易与物体对斜面的压力相混淆．重力的分力就其性质来讲还是重力，这是因为其产生原因与重力的产生原因相同；而物体对斜面的压力是由于物体与斜面相接触表面的形变而引起的，属于弹力的范畴；虽然二者在垂直于斜面方向无加速度时大小及方向均相同，但并非同一力，应注意区分．重力常见情况分解列表：质量为m的物体静止在斜面上，其重力产生两个效果：一是使物体沿斜面下滑，相当于分力F2的作用；二是使物体压紧斜面，相当于分力F1的作用．F2＝mgsinα，F1＝mgcosα质量为m的光滑小球被竖直挡板挡住静止于斜面上时，其重力产生两个效果：一是使球压紧板，相当于分力F1的作用；二是使球压紧斜面，相当于分力F2的作用．F1＝mgtanα，F2＝mg/cosα质量为m的光滑小球被悬挂靠在竖直墙壁上，其重力产生两个效果：一是使球压紧竖直墙壁，相当于分力F1的作用；二是使球拉紧悬线，相当于分力F2的作用．F1＝mgtanα，F2＝mg/cosαA、B两点位于同一水平面上，质量为m的物体被AO、BO两线拉住，其重力产生两个效果：一是拉紧AO线，相当于分力F2的作用；二是拉紧BO线，相当于分力F1的作用．F1＝F2＝mg/2sinα质量为m的物体被支架悬挂而静止，其重力产生两个效果：一是拉伸AB，相当于分力F1的作用；二是压缩BC，相当于分力F2的作用．F1＝mgtanα，F2＝mg/cosα请在掌握的“规律方法”后打“√”1．确定合力或分力的关键是求解矢量三角形()2．力的分解常按力的效果分解或按问题的需要分解()3．物体受多个不共线的共点力作用而求合力时，常采用正交分解法，即先“分”后“合”的思想()请在走过的“思维误区”后打“！”1．误认为合力一定大，分力一定小．不能正确确定多个力的合力范围()2．错误确定力的效果，将某一力随意分解()3．正交分解时不能根据力的特点合理建立坐标系，也常因作图不规范而漏力()真题典例·探究题型1根据力的实际效果分解【例1】如图所示，轻杆HG一端用铰链固定在竖直墙上，杆与墙的夹角为30°.另一端通过轻质细绳EG拉住，EG与墙的夹角为60°，轻杆的G点用细绳GF拉住一质量为m的物体A.试求细绳EG的张力大小．【解析】(1)物体A受力如何？请作出受力分析图．答A受力分析如右图所示，知细绳GF对物体A的拉力T1＝mg.(2)细绳GF对G点向下的拉力T2与对物体A向上的拉力T1是否相等？答相等，这是由轻质绳决定的，T1＝T2＝mg.(3)绳EG的张力T3沿什么方向？轻杆HG对G点的弹力T4又沿什么方向？答绳EG的拉力T3沿绳收缩的方向；轻杆HG处于压缩状态，故对G点的弹力T4由H指向G.(4)以轻杆的G点作为研究对象，请作出G点受力分析图，用什么方法可以简捷地求出轻绳EG的张力？答受力分析如右图所示，由力的三角形法则(或平行四边形定则)，构建力的矢量三角形得，T3＝T2sin30°＝12mg.♦思维拓展(1)若将轻杆HG的H端改为直接固定在竖直墙壁上、G端换成如图所示的光滑定滑轮装置C，且用轻绳ED跨过滑轮C端后再悬挂质量为m的物体A.试求轻绳EC的张力.【答案】因为同一段轻绳拉力处处相等，且不计定滑轮摩擦，则TEC＝TCD＝mg.(2)在问题(1)中，滑轮C点受到绳子的作用力F为多少？【答案】滑轮C点所受的绳的作用力是两段绳拉力TEC和TCD的合力．利用平行四边形定则作图，如下图所示，显然，合力大小F＝mg，方向与竖直方向的夹角为60°.【方法归纳】根据力的实际效果分解力的思维路线：【备选例题1】(广东高考)如图所示，质量为m的物体悬挂在轻质支架上，斜梁OB与竖直方向的夹角为θ.设水平横梁OA和斜梁OB作用于O点的弹力分别为F1和F2，以下结果正确的是()A．F1＝mgsinθB．F1＝mgsinθC．F2＝mgcosθD．F2＝mgcosθ【解析】由于物体m静止时对O点的作用力等于物体的重力，其产生的效果是对AO的拉力FAO、对BO的压力FBO，所以物体m对O点的拉力F可分解为两个分力FAO和FBO，由三角函数得F1＝FAO＝mg·tanθ，F2＝FBO＝mgcosθ，故只有D项正确．【答案】D题型2力的合成与分解问题中的图象处理【例2】合力F与两个共点力F1、F2之间的夹角θ的关系如图所示(两个共点力F1、F2大小不变)，则合力F大小的变化范围是多少？【解析】(1)当θ＝π时，两力的合力为多大？并列出关系式．答θ＝π时，F合＝1N，即F1—F2＝1N(2)当θ＝π2时，两力的合力为多大？并列出关系式．答θ＝π2时，F合＝5N，即：F21＋F22＝5N(3)由(1)(2)两问中的关系式可得F1、F2分别为多大？答F1＝4N，F2＝3N(4)θ角为多大时，F1、F2的合力最大或最小？答当θ＝π时，F1、F2的合力最小，即Fmin＝1N当θ＝0时，F1、F2的合力最大，即Fmax＝7N【答案】1N≤F≤7N♦思维拓展上题中，图象为什么是对称的？【答案】因为当两力夹角等于0和等于2π时，合力等大，故图线关于θ＝π对称．【方法归纳】用图象来描述物理规律是解决物理问题中的常用手段，在近几年高考中对图象的考查也较为频繁．在本题中抓住图象的特征(对称)，取特殊值进行计算．【备选例题2】作用在一个物体上的两个共点力的合力的大小随两力之间的角度变化的关系如图所示，则有()A．这两个力的合力的最大值为30NB．这两个力的合力的最小值为10NC．由该图象可确定两个分力大小值D．只能确定两分力值的范围，不能确定具体值【解析】不妨设分力F1F2，由图可知，当θ＝0或2π时，分力F1、F2在一条直线上，同向，故有Fmax＝F1＋F2＝30N当θ＝π时，分力F1、F2在一条直线上，反向，故有Fmin＝F1—F2＝10N②联立①②可得F1＝20N，F2＝10N，故选A、B、C.【答案】ABC题型3用图解法分析力的最小值【例3】如图所示，用长为L的轻绳悬挂一质量为m的小球，对小球再施加一个力，使绳和竖直方向成β角并绷紧，小球处于静止状态，此力最小为()A．mgsinβB．mgcosβC．mgtanβD．mgcotβ【解析】(1)画出小球的受力图(所加力F)．答如图所示(2)T与F的合力与mg