1第一章部分课后习题参考答案2345616设p、q的真值为0;r、s的真值为1,求下列各命题公式的真值。(1)p∨(q∧r)0∨(0∧1)0(2)(p↔r)∧(﹁q∨s)(0↔1)∧(1∨1)0∧10.(3)(p∧q∧r)↔(p∧q∧﹁r)(1∧1∧1)↔(0∧0∧0)07(4)(r∧s)→(p∧q)(0∧1)→(1∧0)0→0117.判断下面一段论述是否为真:“是无理数。并且,如果3是无理数,则2也是无理数。另外6能被2整除,6才能被4整除。”答:p:是无理数1q:3是无理数0r:2是无理数1s:6能被2整除1t:6能被4整除0命题符号化为:p∧(q→r)∧(t→s)的真值为1,所以这一段的论述为真。19.用真值表判断下列公式的类型:(4)(p→q)→(q→p)(5)(p∧r)(p∧q)(6)((p→q)∧(q→r))→(p→r)答:(4)pqp→qqpq→p(p→q)→(q→p)0011111011011110010011110011所以公式类型为永真式(5)公式类型为可满足式(方法如上例)(6)公式类型为永真式(方法如上例)第二章部分课后习题参考答案83.用等值演算法判断下列公式的类型,对不是重言式的可满足式,再用真值表法求出成真赋值.(1)(p∧q→q)(2)(p→(p∨q))∨(p→r)(3)(p∨q)→(p∧r)答:(2)(p→(p∨q))∨(p→r)(p∨(p∨q))∨(p∨r)p∨p∨q∨r1所以公式类型为永真式(3)Pqrp∨qp∧r(p∨q)→(p∧r)000001001001010100011100100100101111110100111111所以公式类型为可满足式4.用等值演算法证明下面等值式:9(2)(p→q)∧(p→r)(p→(q∧r))(4)(p∧q)∨(p∧q)(p∨q)∧(p∧q)证明(2)(p→q)∧(p→r)(p∨q)∧(p∨r)p∨(q∧r))p→(q∧r)(4)(p∧q)∨(p∧q)(p∨(p∧q))∧(q∨(p∧q)(p∨p)∧(p∨q)∧(q∨p)∧(q∨q)1∧(p∨q)∧(p∧q)∧1(p∨q)∧(p∧q)5.求下列公式的主析取范式与主合取范式,并求成真赋值(1)(p→q)→(q∨p)(2)(p→q)∧q∧r(3)(p∨(q∧r))→(p∨q∨r)解:(1)主析取范式(p→q)→(qp)(pq)(qp)(pq)(qp)(pq)(qp)(qp)(pq)(pq)(pq)(pq)(pq)320mmm∑(0,2,3)主合取范式:(p→q)→(qp)(pq)(qp)(pq)(qp)10(p(qp))(q(qp))1(pq)(pq)M1∏(1)(2)主合取范式为:(p→q)qr(pq)qr(pq)qr0所以该式为矛盾式.主合取范式为∏(0,1,2,3,4,5,6,7)矛盾式的主析取范式为0(3)主合取范式为:(p(qr))→(pqr)(p(qr))→(pqr)(p(qr))(pqr)(p(pqr))((qr))(pqr))111所以该式为永真式.永真式的主合取范式为1主析取范式为∑(0,1,2,3,4,5,6,7)11121314151617第三章部分课后习题参考答案14.在自然推理系统P中构造下面推理的证明:18(2)前提:pq,(qr),r结论:p(4)前提:qp,qs,st,tr结论:pq证明:(2)①(qr)前提引入②qr①置换③qr②蕴含等值式④r前提引入⑤q③④拒取式⑥pq前提引入⑦¬p(3)⑤⑥拒取式证明(4):①tr前提引入②t①化简律③qs前提引入④st前提引入⑤qt③④等价三段论⑥(qt)(tq)⑤置换⑦(qt)⑥化简⑧q②⑥假言推理⑨qp前提引入⑩p⑧⑨假言推理(11)pq⑧⑩合取15在自然推理系统P中用附加前提法证明下面各推理:(1)前提:p(qr),sp,q结论:sr证明①s附加前提引入②sp前提引入③p①②假言推理19④p(qr)前提引入⑤qr③④假言推理⑥q前提引入⑦r⑤⑥假言推理16在自然推理系统P中用归谬法证明下面各推理:(1)前提:pq,rq,rs结论:p证明:①p结论的否定引入②p﹁q前提引入③﹁q①②假言推理④¬rq前提引入⑤¬r④化简律⑥r¬s前提引入⑦r⑥化简律⑧r﹁r⑤⑦合取由于最后一步r﹁r是矛盾式,所以推理正确.第四章部分课后习题参考答案3.在一阶逻辑中将下面将下面命题符号化,并分别讨论个体域限制为(a),(b)条件时命题的真值:(1)对于任意x,均有错误!未找到引用源。2=(x+错误!未找到引用源。)(x错误!未找到引用源。).(2)存在x,使得x+5=9.其中(a)个体域为自然数集合.(b)个体域为实数集合.解:F(x):错误!未找到引用源。2=(x+错误!未找到引用源。)(x错误!未找到引用源。).G(x):x+5=9.(1)在两个个体域中都解释为)(xxF,在(a)中为假命题,在(b)中为真命题。(2)在两个个体域中都解释为)(xxG,在(a)(b)中均为真命题。4.在一阶逻辑中将下列命题符号化:(1)没有不能表示成分数的有理数.(2)在北京卖菜的人不全是外地人.解:(1)F(x):x能表示成分数H(x):x是有理数20命题符号化为:))()((xHxFx(2)F(x):x是北京卖菜的人H(x):x是外地人命题符号化为:))()((xHxFx5.在一阶逻辑将下列命题符号化:(1)火车都比轮船快.(3)不存在比所有火车都快的汽车.解:(1)F(x):x是火车;G(x):x是轮船;H(x,y):x比y快命题符号化为:)),())()(((yxHyGxFyx(2)(1)F(x):x是火车;G(x):x是汽车;H(x,y):x比y快命题符号化为:))),()(()((yxHxFxyGy9.给定解释I如下:(a)个体域D为实数集合R.(b)D中特定元素错误!未找到引用源。=0.(c)特定函数错误!未找到引用源。(x,y)=x错误!未找到引用源。y,x,yD错误!未找到引用源。.(d)特定谓词错误!未找到引用源。(x,y):x=y,错误!未找到引用源。(x,y):xy,x,yD.说明下列公式在I下的含义,并指出各公式的真值:(1))),(),((yxFyxGyx(2))),()),,(((yxGayxfFyx答:(1)对于任意两个实数x,y,如果xy,那么xy.真值1.(2)对于任意两个实数x,y,如果x-y=0,那么xy.真值0.10.给定解释I如下:(a)个体域D=N(N为自然数集合).(b)D中特定元素错误!未找到引用源。=2.(c)D上函数错误!未找到引用源。=x+y,错误!未找到引用源。(x,y)=xy.(d)D上谓词错误!未找到引用源。(x,y):x=y.说明下列各式在I下的含义,并讨论其真值.(1)错误!未找到引用源。xF(g(x,a),x)(2)错误!未找到引用源。x错误!未找到引用源。y(F(f(x,a),y)→F(f(y,a),x)答:(1)对于任意自然数x,都有2x=x,真值0.(2)对于任意两个自然数x,y,使得如果x+2=y,那么y+2=x.真值0.2111.判断下列各式的类型:(1)错误!未找到引用源。(3)错误!未找到引用源。yF(x,y).解:(1)因为1)()(pqppqp为永真式;所以错误!未找到引用源。为永真式;(3)取解释I个体域为全体实数F(x,y):x+y=5所以,前件为任意实数x存在实数y使x+y=5,前件真;后件为存在实数x对任意实数y都有x+y=5,后件假,]此时为假命题再取解释I个体域为自然数N,F(x,y)::x+y=5所以,前件为任意自然数x存在自然数y使x+y=5,前件假。此时为假命题。//错误的吧此公式为非永真式的可满足式。13.给定下列各公式一个成真的解释,一个成假的解释。(1)错误!未找到引用源。(F(x)错误!未找到引用源。(2)错误!未找到引用源。x(F(x)错误!未找到引用源。G(x)错误!未找到引用源。H(x))解:(1)个体域:本班同学F(x):x会吃饭,G(x):x会睡觉.成真解释F(x):x是泰安人,G(x):x是济南人.(2)成假解释(2)个体域:泰山学院的学生F(x):x出生在山东,G(x):x出生在北京,H(x):x出生在江苏,成假解释.F(x):x会吃饭,G(x):x会睡觉,H(x):x会呼吸.成真解释.第六章部分课后习题参考答案5.确定下列命题是否为真:(1)真(2)假(3)}{真(4)}{真(5){a,b}{a,b,c,{a,b,c}}真(6){a,b}{a,b,c,{a,b}}真(7){a,b}{a,b,{{a,b}}}真(8){a,b}{a,b,{{a,b}}}假226.设a,b,c各不相同,判断下述等式中哪个等式为真:(1){{a,b},c,}={{a,b},c}假(2){a,b,a}={a,b}真(3){{a},{b}}={{a,b}}假(4){,{},a,b}={{,{}},a,b}假8.求下列集合的幂集:(1){a,b,c}P(A)={,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c}}(2){1,{2,3}}P(A)={,{1},{{2,3}},{1,{2,3}}}(3){}P(A)={,{}}(4){,{}}P(A)={,{1},{{2,3}},{1,{2,3}}}14.化简下列集合表达式:(1)(AB)B)-(AB)(2)((ABC)-(BC))A解:(1)(AB)B)-(AB)=(AB)B)~(AB)=(AB)~(AB))B=B=(2)((ABC)-(BC))A=((ABC)~(BC))A=(A~(BC))((BC)~(BC))A=(A~(BC))A=(A~(BC))A=A18.某班有25个学生,其中14人会打篮球,12人会打排球,6人会打篮球和排球,5人会打篮球和网球,还有2人会打这三种球。已知6个会打网球的人都会打篮球或排球。求不会打球的人数。解:阿A={会打篮球的人},B={会打排球的人},C={会打网球的人}|A|=14,|B|=12,|AB|=6,|AC|=5,|ABC|=2,|C|=6,CAB如图所示。25-(5+4+2+3)-5-1=25-14-5-1=5不会打球的人共5人21.设集合A={{1,2},{2,3},{1,3},{}},计算下列表达式:(1)A(2)A(3)A(4)A23解:(1)A={1,2}{2,3}{1,3}{}={1,2,3,}(2)A={1,2}{2,3}{1,3}{}=(3)A=123=(4)A=27、设A,B,C是任意集合,证明(1)(A-B)-C=A-BC(2)(A-B)-C=(A-C)-(B-C)证明(1)(A-B)-C=(A~B)~C=A(~B~C)=A~(BC)=A-BC(2)(A-C)-(B-C)=(A~C)~(B~C)=(A~C)(~BC)=(A~C~B)(A~CC)=(A~C~B)=A~(BC)=A-BC由(1)得证。第七章部分课后习题参考答案7.列出集合A={2,3,4}上的恒等关系IA,全域关系EA,小于或等于关系LA,