56三角形重心垂心外心内心相关性质介绍

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1三角形的“四心”所谓三角形的“四心”是指三角形的重心、垂心、外心及内心。当三角形是正三角形时,四心重合为一点,统称为三角形的中心。一、三角形的外心定义:三角形三条中垂线的交点叫外心,即外接圆圆心。ABC的重心一般用字母O表示。性质:1.外心到三顶点等距,即OCOBOA。2.外心与三角形边的中点的连线垂直于三角形的这一边,即ABOFACOEBCOD,,.3.AOBCAOCBBOCA21,21,21。二、三角形的内心定义:三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心,即内切圆圆心。ABC的内心一般用字母I表示,它具有如下性质:性质:1.内心到三角形三边等距,且顶点与内心的连线平分顶角。2.三角形的面积=21三角形的周长内切圆的半径.3.CECDBDBFAFAE,,;CDBFAE三角形的周长的一半。4.,2190ABICBCIA2190,CAIB2190。三、三角形的垂心定义:三角形三条高的交点叫垂心。ABC的垂心一般用字母H表示。性质:1.顶点与垂心连线必垂直对边,即ABCHACBHBCAH,,。2.△ABH的垂心为C,△BHC的垂心为A,△ACH的垂心为B。2四、三角形的“重心”:定义:三角形三条中线的交点叫重心。ABC的重心一般用字母G表示。性质:1.顶点与重心G的连线必平分对边。2.重心定理:三角形重心与顶点的距离等于它与对边中点的距离的2倍。即GFGCGEGBGDGA2,2,23.重心的坐标是三顶点坐标的平均值.即3,3CBAGCBAGyyyyxxxx.4.向量性质:(1)0GCGBGA;(2))(31PCPBPAPG,5.ABCAGBCGABGCSSSS31。五、三角形“四心”的向量形式:结论1:若点O为ABC所在的平面内一点,满足OAOCOCOBOBOA,则点O为ABC的垂心。结论2:若点O为△ABC所在的平面内一点,满足222222ABOCCAOBBCOA,则点O为ABC的垂心。结论3:若点G满足0GCGBGA,则点G为ABC的重心。结论4:若点G为ABC所在的平面内一点,满足)(31OCOBOAOG,则点G为ABC的重心。结论5:若点I为ABC所在的平面内一点,并且满足0ICcIBbIAa(其中cba,,为三角形的三边),则点I为△ABC的内心。结论6:若点O为ABC所在的平面内一点,满足ACOAOCCBOCOBBAOBOA)()()(,则点O为ABC的外心。结论7:设,0,则向量)||||(ACACABABAP,则动点P的轨迹过ABC的内心。

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