信号与系统奥本海姆课件第4章

1第4章连续时间傅立叶变换SignalsandSystemsA.V.OPPENHEIM,etal.Ch4TheContinuous-TimeFourierTransform2本章的主要内容:1.连续时间傅立叶变换;2.傅立叶级数与傅立叶变换之间的关系;3.傅立叶变换的性质;4.系统的频率响应及系统的频域分析；3在工程应用中有相当广泛的信号是非周期信号，对非周期信号应该如何进行分解，什么是非周期信号的频谱表示，就是这一章要解决的问题。4.0引言Introduction4在时域可以看到，如果一个周期信号的周期趋于无穷大，则周期信号将演变成一个非周期信号；反过来，任何非周期信号如果进行周期性延拓，就一定能形成一个周期信号。我们把非周期信号看成是周期信号在周期趋于无穷大时的极限，从而考查连续时间傅立叶级数在T趋于无穷大时的变化，就应该能够得到对非周期信号的频域表示方法。5我们已经看到，周期性矩形脉冲，当周期T增大时，频谱的幅度随T的增大而下降；谱线间隔随T的增大而减小；但频谱的包络不变。再次考察周期性矩形脉冲的频谱图：非周期信号的表示—连续时间傅立叶变换4.1RepresentationofAperiodicSignals:TheContinuous-TimeFourierTransform1.DevelopmentoftheFourierTransformfromFourierSeries从傅立叶级数到傅立叶变换61T1-TTPeriodicsignal(周期信号)Aperiodicsignal（非周期信号）7当时，周期性矩形脉冲信号将演变成为非周期的单个矩形脉冲信号。（a）（b）(a)(b)0ka0202ka04040T14TT18TT8Periodicsignal(周期信号)02T()xtT2TT2T2T2T0tAperiodicsignal（非周期信号）()xtt0T902T0001()()2kjktxtXjke0()kkjktxtxe0021()kkjktxeTtxDefine:()()jtXjxtedt20000()()11()()kkkkXjXjkTxxXjXjkTT30()|jtkXje0k00()jtXjke0()()xtxtd1()()2jtxtXjed102T22()TTxt()xt0()kjktxxtedtT0221()TTkjktxxteT面积010Chapter4FourierTransformjtXjxtedtfactorSynthesisequation综合公式Analysisequation分析公式FourierTransformPair傅里叶变换对txjX——Spectrum（频谱）ofjXtxF12jtxtXjed110110jkXTjXTakkTheFouriercoefficientsofareproportionaltosamplesoftheFouriertransformofoneperiodofkatx~tx~Consideraperiodicsignal考虑周期信号txTtx~~Definingothers0~00TttttxtxChapter4FourierTransform周期信号的傅里叶变换系数可以用一个周期信号的傅里叶变换的等间隔样本来表示tx~tx~124.1.3ExamplesofFourierTransform0()1|jateja(BasicFourierTransformPairsusedlater)()()jtXjxtedt0()jatedt0a221();Xja1()tan()Xja()jtateutedt0jtateedt1ja()(),0atxteuta4.1()xtt0113221()Xja-1()tgXjaaa01/a()Xj22a22aa()XjR144.2.(),0atxtea()()XjXj()Xj2a1aaa()xtt100022()112atjtatjtXjeedteedtaajaja()0XjR15()xt()Xjt1100FProof()()jtXjxtedt2()jttedt0je1这表明中包括了所有的频率成分，且所有频率分量的幅度、相位都相同。因此，系统的单位冲激响应才能完全描述一个LTI系统的特性，才在信号与系统分析中具有如此重要的意义。()t()ht()t()()xtt4.3.164.4()xt()Xj112T1T1Tt2f1T1TF11()2T11()2T()f()()jtXjxtedt1121|2TTjtej11TTjtedt111TTjtdej1121()2jTjTeej12sinT矩形脉冲:()xt1,1tT0,1tT174.51,||sin()()0,||BBtxtXjtB()xt()Xj1BBBtBBf112B12BFF2fProof11()()2jtxtXjed11|2BBjtetj12BBjted112BBjtdejt11()2jBtjBteetjsinBtt18Examplesforgettingxk:using3sF02TPeriodic1F4.412T()Xj12sinT1T1Tkx12TT0102sinkTkT02TAperiodic()xt1T1T30110002sin2sin11()||kkkkTTxXjTTkT同3.5194.2到此为止，对周期信号用傅立叶级数表示，非周期信号用傅立叶变换表示。因为周期信号不满足Dirichlet条件，因而不能直接从定义出发，建立其傅立叶变换表示。若周期信号也能够用傅里叶变换表示，则两类信号可纳入统一的框架内分析。考查所对应的信号001()()()2jtjtjtxtXjedede0()2()XjTheFourierTransformationofPeriodicSignals周期信号的傅立叶变换20这表明周期性复指数信号的频谱是一个冲激（trainofimpulses）。0()jktxte0()2()Xjk于是当把周期信号表示为傅立叶级数时，因为0()jktkkxtae就有0()2()kkXjak周期信号的傅立叶变换表示若则TheFourierTransformationofPeriodicSignals21这表明：周期信号的傅立叶变换由一系列冲激组成，每一个冲激分别位于信号的各次谐波的频率处，其冲激强度正比于对应的傅立叶级数的系数。ka0001()sin[]2jtjtxtteej00()[()()]Xjj()Xj00jj0Example2：220001()cos[]2jtjtxttee00()[()()]Xj()()nxttnT22222111()()TTjktTkTTatedttdtTTT()Xj000Example2：Example3：Impulsetrain均匀冲激串23TT2T2T0()xtt1()Xj02T2T2T()()nxttnT22()()kXjkTT22()()kXjkTT2410022sin()2()()kkTTXjkkT1T1T01()xtt1011002sin22Sa()kTkTTakTTTk10212TT()Xj02TExample4：25连续时间傅立叶变换的性质讨论傅立叶变换的性质，旨在通过这些性质揭示信号时域特性与频域特性之间的关系，同时掌握和运用这些性质可以简化傅立叶变换对的求取。4.3.1.Linearity(线性)()(),()()xtXjytYj则()()()()axtbytaXjbYj4.3PropertiesoftheContinuous-TimeFourierTransform若26Example00002()2()jtjtFFee0cosFt0sinFt1(2)2jj11()()22jj11()()2200[()()]00[()()]j11()()2211()()22jj274.3.2.TimeShifting:时移()()xtXj则00()()jtxttXje这表明信号的时移只影响它的相频特性，其相频特性会增加一个线性相移。若001()()2jtjtxttXjeedProof1()()2jtxtXjedFF0ttt0)0(1()()2jttxttXjed00()jttjtjteee28121()(2.5)(2.5)2xtxtxt112sin(/2)()()FxtXj222sin(3/2)()(;)FxtXjExample（利用性质：线性，时移)1234t11.5()xtt1()xt11212t2()xt13232()xtF2.512sin(/2)2je......2.52sin(3/2)je()xt?FFF线性线性、时移294.3.3.ConjugateandSymmetry:共轭对称性若()()xtXj则**()()xtXj30由()()jtXjxtedt**()()jtXjxtedt所以**()()jtXjxtedt即**()()xtXj•若是实信号，则()xt*()()xtxt于是有:*()()XjXj可得31•若则可得Re[()]Re[()]XjXj即实部是偶函数虚部是奇函数•若则可得出()()XjXj即：模是偶函数，相位是奇函数()Re[()]Im[()]XjXjjXjIm[()]Im[()]XjXj()()()jXjXjXjeR()()XjXjRR32•如果()()xtxt即信号是偶函数。则()()jtXjxtedt()()()jtjxtedtxedtXj表明：实偶信号的傅立叶变换是偶函数。*()()XjXj所以*()()XjXj表明是实函数。()Xj•若即信号是奇函数，同样可以得出:()()xtxt又因为33()()XjXj表明是奇函数()X