信号与系统奥本海姆课件第5章

第5章离散时间傅立叶变换TheDiscrete-TimeFourierTransform基本内容1.离散时间傅立叶变换；2.常用信号的离散时间傅立叶变换对;3.离散时间周期信号的傅立叶变换；4.傅立叶变换的性质；5.系统的频率响应与系统的频域分析方法；注释:CFS(TheContinuous-TimeFourierSeries):连续时间傅立叶级数DFS(TheDiscrete-TimeFourierSeries):离散时间傅立叶级数CTFT(TheContinuous-TimeFourierTransform):连续时间傅立叶变换DTFT(TheDiscrete-TimeFourierTransform):离散时间傅立叶变换5.0引言Introduction本章将采用与讨论连续时间傅立叶变换CTFT完全相同的思想方法，来研究离散时间非周期信号的频域分解问题。DFS与CFS之间既有许多类似之处，也有一些重大差别：主要是DFS是一个有限项级数，且其系数具有周期性。ka在采用相同方法研究如何从DFS引出离散时间非周期信号的频域描述时，可以看到，DTFT与CTFT既有许多相类似的地方，也同时存在一些重要的区别。抓住它们之间的相似之处并关注其差别，对于掌握和加深对频域分析方法的理解具有重要意义。5.1非周期信号的表示RepresentationofAperiodicSignals:TheDiscrete-timeFourierThransform一.从DFS到DTFT:在讨论离散时间周期性矩形脉冲信号的频谱时,我们看到：当信号周期增大时，频谱的包络形状不变，幅度减小，而频谱的谱线变密。Nkkk1220NN1240NN1210NNkNa因此，可以预见，对一个非周期信号，它的频谱应该是一个连续的频谱。当时，有，将导致信号的频谱无限密集，最终成为连续频谱。N0(2/)0N从时域看，当周期信号的周期时，周期序列就变成了一个非周期的序列。N当时令221(),()jknjknNNkkkNnNxnaeaxneN对周期信号由DFS有()xn2/2/2)(~1NNnknNjkenxNa即jXe（）说明:显然对是以2为周期的。DTFT()jjnnXexne（）有:jkNeXNalimNkN2kNjkeXNa2)(1当在一个周期范围内变化时，在范围变化，所以积分区间是。k0k22ka将其与表达式比较有00()(),,,,Nxnxnkd，当时于是:00000012()(),1()2jkjknkNjkjknkNxnXeeNNXee表明:离散时间序列可以分解为频率在2π区间上分布的、幅度为的复指数分量的线性组合。deXj)(21DTFT对deeXnxnjj2)(21)(deeXnxnjj2)(21)(njjenxeX)()(结论：01()1jnjnjnXeaeae二.常用信号的离散时间傅立叶变换Discrete-TimeFourierTransformsofTypicalSignals21()12cosjXeaa通常是复函数，用它的模和相位表示:()jXe1.()(),1nxnaunacos-1sin-1-aatgeXj01a10a)()1()(nuanuanxnncos211111)(220101aaaaeaeaeeaeaeaeaeXjjjnnjnnnjnnnjnnnjnj由图可以得到:时，高通特性,摆动指数衰减10axn（）时，低通特性,单调指数衰减01axn（）(),1nxnaa2.可以得出结论:实偶序列实偶函数111sin(21)2()sin2NjjnnNNXee1,()0,xn11NnNn3.矩形脉冲:当12N时，可得到:有同样的结论:实偶信号实偶函数1sin(21)1,sinkkNNaNkN两点比较:1.与对应的周期信号比较21()jkkNaXeN显然有关系成立1sin(21)2()sin2jNXe2.与对应的连续时间信号比较,0,1)(tx11TtTt111sin2)(TTTjX如图所示:5.2周期信号的DTFT002,jte（）对连续时间信号，有由此推断，对离散时间信号或许有相似的情况。但由于DTFT一定是以为周期的，因此，频域的冲激应该是周期性的冲激串，即2022kk（）对其做反变换有：TheFourierTransformforPeriodicSignals0()()2(2)jkkNlxnXeakl0022jnkke（）可见对,002(),jknkkNxnaeN由DFS有()xn因此，周期信号可用DTFT表示为022001()()2()jjnjnjnxnXeededelNkkjlkNaeX)22(2)(NkkNkkNkkkNakNakNa)42(2)22(2)2(2101010)2(22)(22)2(2NkkNkkNkkNkNaNkNakNa（对l展开）12103122222()2()22()NNkkNkkNNkNkNakakNNakNkkkNa)2(2比较:可以看出与连续时间傅立叶变换中相应的形式是完全一致的。注意到也以为周期，于是有：kaNkjkkeX)2()2()(000001()cos(),2jnjnxnnee例1.它不一定是周期的。当时才具有周期性。)(jeX0220200002202()如图所示:m20NNenNenxNanjkNnNnnjkk1)(1)(10010kjkNNeX)2(2)(N2N2)(jeXN20N4N4()()kxnnkN例2.比较:与连续时间情况下对应的相一致。均匀脉冲串)(nx1N0NN2N2n5.3离散时间傅立叶变换的性质DTFT也有很多与CTFT类似的性质，当然也有某些明显的差别。通过对DTFT性质的讨论，目的在于揭示信号时域和频域特性之间的关系。一、周期性(periodic)：比较：这是与CTFT不同的!PropertiesoftheDiscrete-TimeFourierTransform(2)()()jjXeXe则若jxnXe（）（），)()()()(2121jjebXeaXnbxnax二.线性(linearity):三.时移与频移(shifiting):00()()()jnjxneXe()(),jxnXe若则00()()jnjxnnXee时移特性频移特性jxnXe（）（），四.共轭与共轭对称性(ConjugationandConjugateSymmetry)jjjFeXeXnxeXnx换是共轭对称的是实值序列，那么其变同时，若五.差分与累加(DifferencingandAccumulation)利用时移的性质jjjjjeXenxnxeXenxeXnx-11-1得到kjjjnmnmkeXeXemxnxnynymxny2111--0因为考虑信号六.时间反转(TimeReversal)jjeXnxeXnx--七.时域扩展(TimeExpansion)jkkkjeXnxknxknknknxnxeXnx个零得到的的连续值之间插入其含义就是在的整倍数不为当的整倍数为当10八.频域微分(DifferentiationFrequency)dedXjnnxenjnxdedXeXnxjnnjjj九.帕塞瓦尔定理(Parseval’sRelation)deXnxeXnxjnj222215.4卷积特性(TheConvolutionProperty)()()*(),()()(),jjjynxnhnYeXeHe若则说明：该特性提供了对LTI系统进行频域分析的理论基础。即是系统的频率特性。()jHe5.5相乘性质(TheMultiplicationProperties)称为非周期卷积）常到分区间从而卷积的一般形式（积的周期卷积和-212122121jjjjjeXeXdeXeXeYnxnxny5.6傅里叶变换性质和基本傅里叶变换对列表TablesofDTFTPairsandProperties5.7对偶性（Duality）?sin2sin2012211111jXtwttxTjXTtTttx问利用对偶性，步骤如下：一连续时间信号傅里叶变换的对偶性w0w2wsin2wsin2w0w2sin2022;sin22101--1111111ttdtetttdeTTtTtttdeTTtTttxtjtjtj的名称交换一下和将变量二置换以，并将将上式两边同时乘以一jGttg的傅里叶变换利用对偶性求下面信号212etdtetetdeettdeeetjtjttjtt2121221222,1221122-2-222互换和二，置换，可得以将一并，两边乘以即利用结论二周期性离散时间信号傅里叶级数的对偶性周期信号x[n]的傅里叶级数的系数ak(本身是一个周期性的序列)；再把ak展成傅里叶级数，其系数为离散时间傅里叶级数的每一个性质都有其对应的一个对偶关系存在！nxN1的倍数，的倍数，的下面周期信号：例如周期为99599sin95sin919nnnnnxN参照p155例题3.12的结论：取N1=2，N=9.,2,,0,12;,2,,0,sin12sin111NNkNNaNNkNkNNkNakk其对应的是一个周期为N=9的周期方波42021nnng的周期信号周期的傅里叶级数，其系数类同与再令二，且互换将符号一的傅里叶系数9,420291191,19119119222922292222NkkbnxeanxkkeanxnkeengNangkknjnnnkjnnnkjnnkN