第6章__数列_Microsoft_Word_文档

1第六章数列考点1数列的概念考点精析了解数列的有关概念考题回顾[河南考题]1.（2009年）存在数列na，既不是等差数列也不是等比数列（）解答：√2.（2009年）数列8，88，888，…的一个通项公式是解答：)110(98n备考指导一、知识清单1.数列的定义：按一定次序排列的一列数叫做数列.注意：（1）数列的数是按一定次序排列的.因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列；（2）定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现.2.数列的项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项.各项依次叫做这个数列的第1项（或首项），第2项，…，第n项，…，3.数列的一般形式：，,,,,321naaaa或简记为na，其中na是数列的第n项.4.数列的通项公式：如果数列na的第n项na与n之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式.注意：（1）并不是所有数列都能写出其通项公式；（2）一个数项的通项公式有时是不唯一的；（3）数项通项公式的作用：①求数列中任意一项；②检验某数是否是该数列中的一项.从映射、函数的观点来看，数列也可以盾作是一个定义域为正整数集*N（或它的有限子集｛1，2，3，…，n｝）的函数，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，数列的通项公式就是相应函数的解析式.5.递推公式：如果已知数列na的第1项（或前几项），且任一项na与它的前一项1na（或前n项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式.6.数列的前n项和：数列na中，naaaa321称为数列na的前n项和，记为nS.1S表示前1项之和：11aS2S表示前1项之和：212aaS……1nS表示前n-1项之和：13211nnaaaaS2nS表示前n项之和：nS＝naaaa321.∴当n≥1时nS才有意义；当n-1≥1即n≥2时1nS才有意义.7.nS与na之间的关系：由nS的定义可知，当n＝1时，11aS；当n≥2时，na＝nS－1nS，即)2()1(11nssnsannn说明：数列的前n项和公式也是给出数列的一种方法.二、典型例题【例1】根据数列na的通项公式，写出数列1nnan的前5项.【分析】已知数列通项公式，代入n的取值，即可求得该项的值.【解答】在通项公式中依次取n＝1，2，3，4，5，计算后得到数列的前5项分别为：655443322154321aaaaa，，，，【评述】采用赋值法，按要求求出.【例2】根据下列数列na的首项和递推关系，写出数列的前5项.（1）51a，)2(31naann；（2）01a，)12(21naann（3）11a)2(111naaannn.【分析】在递推公式中，相邻两项na，1na中，若知任意一个，即可解方程求得另一个.【解答】（1）;113;83,523121aaaaa173;1434534aaaa（2）01a当n=1时，有2a＝21a+（2×1-1）＝2×0+1＝1；当n=2时，有3a＝22a+（2×2-1）＝2×1+3＝5；当n=3时，有4a＝23a+（2×3-1）＝2×5+5＝15；当n=4时，有5a＝24a+（2×4-1）＝2×15+7＝37.3（3）1a＝1，2a＝211111aa，3a＝2a+,2521212a4a＝3a+,1029522513a5a＝4a+2909412910102914a.【评析】本例是依据递推公式，由前一项求得后一项.【例3】已知1a＝2且nnanna21，求数列na的前5项的和5s.【分析】由递推式判断不出数列na的类型，故求和方法不易确定，但由递推公式可求出数列的前5项，只需前5项相加即可.【解答】∵1a＝2，nnanna21∴2a＝32231＝，3132423＝a5131534＝a，15251645＝a又由前n项概念，得5s＝310152513132254321aaaaa【评析】本例检查递推公式的应用，并说明前n项和ns的意义.【例4】已知数列的前10项和10s＝55，前9项的和9s＝45，求数列的第10项10a.【解答】由数列前n项和概念，有10932110aaaaas93219aaaas所以10455591010ssa【评析】本例说明数列的项na与前n项和ns的关系.【例5】已知数列na的前n项和公式nnsn2，求数列的通项公式na.【分析】由前n项和概念和nnsn2，所以211211sa当n≥2时，有nnnnnssannn2)1()1()(2214当n＝1时，2n＝2×1＝2＝1a，则所求na的通项公式是na＝2n.【评析】本题考查的是na与ns的关系，注意要分类讨论.【例6】根据下列数列的首项和递推公式，分别写出它的前五项，并归纳出通项公式：1a＝1，)(22*1Nnaaannn【解答】11a32211222112＝aaa2123232222223＝aaa5222121222334＝aaa3125252222445＝aaa∴由此可见：12nan【评析】适当配凑是本题进行归纳的前提，从整体上把握一件事情是现代数学的重要手段，加强类比是探索某些规律的常用方法之一.【例7】在数列na中，3922nnan，则所有项中的最大项是.【分析】由通项公式3922nnan可以看出：na与n是二次函数的关系，求二次函数的最值可采用配方法，但须注意其中自变量n为正整数.【解答】由已知3922nnan＝-28105492n.由于n为正整数，故当n取2时na取到最大值为13.∴数列na的最大项为2a＝13.【评析】数列的项与项数是特殊的函数关系，在用函数的有关知识解决数列问题时，要注意5到函数的定义域为正整数集.强化训练一、选择题1.数列,141,101,61,21的一个通项公式是（）A.)12(211nn）（B.)12(21nn）（C.)12(211nn）（D.)12(21nn）（2.数列na中，已知121nnnaaa，且211a，则5a＝（）A.98B.138C.26D.17163.数列1，0，1，0，1…的一个通项公式是（）A.2)1(11nnaB.2)1(1nnaC.21)1(1nnaD.2)1(1nna4.已知数列na，222nnan，数值最小的项是（）A.第10项B.第11项C.第12项D.第13项5.在数列na中，已知2532nnan，数值最小的项是（）A.10B.0C.-4D.-86.已知一数列na的前n项和13212nnSn，则它的通项公式na为（）A.272nanB.2,2721,23nnnanC.252nanD.2,2521,23nnnan7.在数列na中，3422nnan，则所有项中数值最大项是第（）项A.107B.108C.5D.18.数列1，3，7，15…的通项公式na为（）6A.n2B.n2+1C.n2-1D.12n9.在数列na中,已知131nnnaaa，且5a＝2，则1a等于（）A.4B.5C.6D.710.已知31nnaa，则数列na是（）A.递增数列B.递减数列C.常数列D摆动数列11.数列1，3，6，10…的一个通项公式为（）A.12nnB.nn21212C.2212nnD.1222nnn12.数列的,)1(1,121,61,21nn的前n项和nS为（）A.11nB.)1(1nnC.1nnD.)1(21nn13.数列2，5，11，20，x，47…中的x等于（）A.28B.32C.33D.2714.在数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，……中，100a等于（）A.13B.100C.10D.14二、填空题15.数列na的通项公式1nnan，则8a＝.16.若在数列na中，1a＝2，以后各项由公式321nnaa给出，则4a＝.17.已知数列，11,22,5,2，则52是这个数列的第项18.数列na中，已知31nnaa，且1a＝0，则7a＝.19.数列na中，已知1a＝-3，10a＝33，且na是关于n的一次函数，则na＝.20.数列na中，已知naann1，且1a＝1，则通项公式na＝.21.数列na中，已知11nnan，且nS＝9，则n＝.22.已知nnSn2，则9a＝.三、解答题23.已知数列前n项和nnSn32，求它的通项公式na.24.在数列na中，1a＝1，17a＝65，通项公式是关于n的一次函数，求na.725.已知数列na的41a，)1(321nnaann，写出数列的前五项，并归纳出一个通项公式.26.数列na的通项公式是672nnan（1）这个数列的第5项是多少？（2）150是不是这个数列的项？若是这个数列的项，它是第几项？（3）该数列从第几项起都是正数？27.求数列971751531，，的前n项的和.考点2等差数列考点精析理解等差数列的定义，掌握等差中项公式，等差数列的通项公式与前n项和公式，并能运用这些知识解决一些问题.考题回顾[河南考题]1.（2008年）a+c＝2b是a，b，c成等差数列的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解答：C2.（2007年）1+3+5+…+（2n-1）＝解答：2n3.（2007年）在等差数列na中，95a，则9S等于（）A.45B.81C.64D.954.（2007年）若x，a，2x，b成等差数列，则b＝2a（）解答：×5.（2006年）已知等差数列2，5，8，11，……则2006是它的第项.解答：6696.（2006年）在等差数列中，若553aa，则107531aaaa（）解答：√7.（2009年）在等差数列10173aa，则19S等于（）A.75B.85C.95D.65备考指导一、知识清单1.等差数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差（常用字母“d”表示）（1）公差d一定是由后项减前项减后项所得，而不能用前项减后项来求：（2）对于数列na，若daann1（与n无关的数或字母），n≥2，n∈N，则此数列是等左数列，d为公差.82.等差数列的通项公式：dnaan)1(1或dmnaamn)(等差数列定义是由一数列相邻两项之间关系而得，若一等差数列na的首项是1a，公差是d,则据其定义可得：daa12即：daa12daa23即：dadaa2123daa34即：dadaa3134……由此归纳等差数列的通项公式可得：dnaan)1(1∴已知一数列为等差数列，则只要知其首项1a和公差d，便可求得其通项na.由上述关系还可得：dmaam)1(1即：dmaam)1(1则：dmnadndmadnaammn)()1()1()1(1即的第二通项公式dmnaamn)(∴nmaadnm3.定义：若a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项.4．性质：在等差数列中，若m+n＝p+q，即qpnmaaaa即m+n＝p+qqpnmaaaa（m,n,p,q∈N）但通常①由qpnmaaaa推不出m+n＝p+