初中数学经典几何题及答案,附知识点及结论总结

第1页共20页经典难题（一）1、已知：如图，O是半圆的圆心，C、E是圆上的两点，CD⊥AB，EF⊥AB，EG⊥CO．求证：CD＝GF．（初二）2、已知：如图，P是正方形ABCD内点，∠PAD＝∠PDA＝150．求证：△PBC是正三角形．（初二）3、如图，已知四边形ABCD、A1B1C1D1都是正方形，A2、B2、C2、D2分别是AA1、BB1、CC1、DD1的中点．求证：四边形A2B2C2D2是正方形．（初二）4、已知：如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，M、N分别是AB、CD的中点，AD、BC的延长线交MN于E、F．求证：∠DEN＝∠F．经典难题（二）APCDBAFGCEBODD2C2B2A2D1C1B1CBDAA1ANFECDMB第2页共20页PCGFBQADE1、已知：△ABC中，H为垂心（各边高线的交点），O为外心，且OM⊥BC于M．（1）求证：AH＝2OM；（2）若∠BAC＝600，求证：AH＝AO．（初二）2、设MN是圆O外一直线，过O作OA⊥MN于A，自A引圆的两条直线，交圆于B、C及D、E，直线EB及CD分别交MN于P、Q．求证：AP＝AQ．（初二）3、如果上题把直线MN由圆外平移至圆内，则由此可得以下命题：设MN是圆O的弦，过MN的中点A任作两弦BC、DE，设CD、EB分别交MN于P、Q．求证：AP＝AQ．（初二）4、如图，分别以△ABC的AC和BC为一边，在△ABC的外侧作正方形ACDE和正方形CBFG，点P是EF的中点．求证：点P到边AB的距离等于AB的一半．（初二）经典难题（三）1、如图，四边形ABCD为正方形，DE∥AC，AE＝AC，AE与CD相交于F．求证：CE＝CF．（初二）·ADHEMCBO·GAODBECQPNM·OQPBDECNM·AAFDECB第3页共20页2、如图，四边形ABCD为正方形，DE∥AC，且CE＝CA，直线EC交DA延长线于F．求证：AE＝AF．（初二）3、设P是正方形ABCD一边BC上的任一点，PF⊥AP，CF平分∠DCE．求证：PA＝PF．（初二）4、如图，PC切圆O于C，AC为圆的直径，PEF为圆的割线，AE、AF与直线PO相交于B、D．求证：AB＝DC，BC＝AD．（初三）经典难题（四）1、已知：△ABC是正三角形，P是三角形内一点，PA＝3，PB＝4，PC＝5．求：∠APB的度数．（初二）2、设P是平行四边形ABCD内部的一点，且∠PBA＝∠PDA．求证：∠PAB＝∠PCB．（初二）3、设ABCD为圆内接凸四边形，求证：AB·CD＋AD·BC＝AC·BD．（初三）DEDACBFFEPCBAODBFAECPAPCBPADCBCBDA第4页共20页4、平行四边形ABCD中，设E、F分别是BC、AB上的一点，AE与CF相交于P，且AE＝CF．求证：∠DPA＝∠DPC．（初二）经典难题（五）1、设P是边长为1的正△ABC内任一点，L＝PA＋PB＋PC，求证：≤L＜2．2、已知：P是边长为1的正方形ABCD内的一点，求PA＋PB＋PC的最小值．3、P为正方形ABCD内的一点，并且PA＝a，PB＝2a，PC＝3a，求正方形的边长．4、如图，△ABC中，∠ABC＝∠ACB＝800，D、E分别是AB、AC上的点，∠DCA＝300，∠EBA＝200，求∠BED的度数．经典难题（一）1.如下图做GH⊥AB,连接EO。由于GOFE四点共圆，所以∠GFH＝∠OEG,FPDECBAAPCBACBPDEDCBAACBPD第5页共20页即△GHF∽△OGE,可得EOGF=GOGH=COCD,又CO=EO，所以CD=GF得证。2.如下图做△DGC使与△ADP全等，可得△PDG为等边△，从而可得△DGC≌△APD≌△CGP,得出PC=AD=DC,和∠DCG=∠PCG＝150所以∠DCP=300，从而得出△PBC是正三角形3.如下图连接BC1和AB1分别找其中点F,E.连接C2F与A2E并延长相交于Q点，连接EB2并延长交C2Q于H点，连接FB2并延长交A2Q于G点，由A2E=12A1B1=12B1C1=FB2，EB2=12AB=12BC=FC1，又∠GFQ+∠Q=900和∠GEB2+∠Q=900,所以∠GEB2=∠GFQ又∠B2FC2=∠A2EB2，可得△B2FC2≌△A2EB2，所以A2B2=B2C2，又∠GFQ+∠HB2F=900和∠GFQ=∠EB2A2,从而可得∠A2B2C2=900，同理可得其他边垂直且相等，从而得出四边形A2B2C2D2是正方形。第6页共20页4.如下图连接AC并取其中点Q，连接QN和QM，所以可得∠QMF=∠F，∠QNM=∠DEN和∠QMN=∠QNM，从而得出∠DEN＝∠F。经典难题（二）1.(1)延长AD到F连BF，做OG⊥AF,又∠F=∠ACB=∠BHD，可得BH=BF,从而可得HD=DF，又AH=GF+HG=GH+HD+DF+HG=2(GH+HD)=2OM(2)连接OB，OC,既得∠BOC=1200，从而可得∠BOM=600,所以可得OB=2OM=AH=AO,得证。第7页共20页3.作OF⊥CD，OG⊥BE，连接OP，OA，OF，AF，OG，AG，OQ。由于22ADACCDFDFDABAEBEBGBG====，由此可得△ADF≌△ABG，从而可得∠AFC=∠AGE。又因为PFOA与QGOA四点共圆，可得∠AFC=∠AOP和∠AGE=∠AOQ，∠AOP=∠AOQ，从而可得AP=AQ。4.过E,C,F点分别作AB所在直线的高EG，CI，FH。可得PQ=2EGFH+。由△EGA≌△AIC，可得EG=AI，由△BFH≌△CBI，可得FH=BI。从而可得PQ=2AIBI+=2AB，从而得证。第8页共20页经典难题（三）1.顺时针旋转△ADE，到△ABG，连接CG.由于∠ABG=∠ADE=900+450=1350从而可得B，G，D在一条直线上，可得△AGB≌△CGB。推出AE=AG=AC=GC，可得△AGC为等边三角形。∠AGB=300，既得∠EAC=300，从而可得∠AEC=750。又∠EFC=∠DFA=450+300=750.可证：CE=CF。2.连接BD作CH⊥DE，可得四边形CGDH是正方形。由AC=CE=2GC=2CH，可得∠CEH=300，所以∠CAE=∠CEA=∠AED=150，第9页共20页又∠FAE=900+450+150=1500，从而可知道∠F=150，从而得出AE=AF。3.作FG⊥CD，FE⊥BE，可以得出GFEC为正方形。令AB=Y，BP=X,CE=Z,可得PC=Y-X。tan∠BAP=tan∠EPF=XY=ZYXZ-+，可得YZ=XY-X2+XZ，即Z(Y-X)=X(Y-X)，既得X=Z，得出△ABP≌△PEF，得到PA＝PF，得证。第10页共20页经典难题（四）1.顺时针旋转△ABP600，连接PQ，则△PBQ是正三角形。可得△PQC是直角三角形。所以∠APB=1500。2.作过P点平行于AD的直线，并选一点E，使AE∥DC，BE∥PC.可以得出∠ABP=∠ADP=∠AEP，可得：AEBP共圆（一边所对两角相等）。可得∠BAP=∠BEP=∠BCP，得证。3.在BD取一点E，使∠BCE=∠ACD，既得△BEC∽△ADC，可得：BEBC=ADAC，即AD•BC=BE•AC，①又∠ACB=∠DCE，可得△ABC∽△DEC，既得ABAC=DEDC，即AB•CD=DE•AC，②由①+②可得:AB•CD+AD•BC=AC(BE+DE)=AC·BD，得证。第11页共20页4.过D作AQ⊥AE，AG⊥CF，由ADES=2ABCDS=DFCS，可得：2AEPQ=2AEPQ，由AE=FC。可得DQ=DG，可得∠DPA＝∠DPC（角平分线逆定理）。经典难题（五）1.（1）顺时针旋转△BPC600，可得△PBE为等边三角形。既得PA+PB+PC=AP++PE+EF要使最小只要AP，PE，EF在一条直线上，即如下图：可得最小L=；第12页共20页（2）过P点作BC的平行线交AB,AC与点D，F。由于∠APD∠ATP=∠ADP，推出ADAP①又BP+DPBP②和PF+FCPC③又DF=AF④由①②③④可得：最大L2；由（1）和（2）既得：≤L＜2。2.顺时针旋转△BPC600，可得△PBE为等边三角形。既得PA+PB+PC=AP+PE+EF要使最小只要AP，PE，EF在一条直线上，即如下图：可得最小PA+PB+PC=AF。第13页共20页既得AF=213(1)42++=23+=4232+=2(31)2+=2(31)2+=622+。3.顺时针旋转△ABP900，可得如下图：既得正方形边长L=2222(2)()22a++=522a+。第14页共20页4.在AB上找一点F，使∠BCF=600，连接EF，DG，既得△BGC为等边三角形，可得∠DCF=100,∠FCE=200,推出△ABE≌△ACF，得到BE=CF，FG=GE。推出：△FGE为等边三角形，可得∠AFE=800，既得：∠DFG=400①又BD=BC=BG，既得∠BGD=800，既得∠DGF=400②推得：DF=DG,得到：△DFE≌△DGE，从而推得：∠FED=∠BED=300。第15页共20页附：平面向量复习基本知识点及经典结论总结1、向量有关概念：（1）向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段，为什么？（向量可以平移）。如已知A（1,2），B（4,2），则把向量AB按向量a＝（－1,3）平移后得到的向量是_____（答：（3,0））（2）零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：0，注意零向量的方向是任意的；（3）单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与AB共线的单位向量是||ABAB)；（4）相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；（5）平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量a、b叫做平行向量，记作：a∥b，规定零向量和任何向量平行。提醒：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线,但两条直线平行不包含两条直线重合；③平行向量无传递性！（因为有0)；④三点ABC、、共线ABAC、共线；（6）相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。a的相反向量是－a。如下列命题：（1）若ab，则ab。（2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同。（3）若ABDC，则ABCD是平行四边形。（4）若ABCD是平行四边形，则ABDC。（5）若,abbc，则ac。（6）若//,//abbc，则//ac。其中正确的是_______（答：（4）（5））2、向量的表示方法：（1）几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如AB，注意起点在前，终点在后；（2）符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如a，b，c等；（3）坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j为基底，则平面内的任一向量a可表示为,axiyjxy，称,xy为向量a的坐标，a＝,xy叫做向量a的坐标表示。如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。第16页共20页3.平面向量的基本定理：如果e1和e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量a，有且只有一对实数1、2，使a=1e1＋2e2。如（1）若(1,1),ab(1,1),(1,2)c，则c______（答：1322ab）；4、实数与向量的积：实数与向量a的积是一个向量，记作a，它的长度和方向规定如下：1,2aa当0时，a的方向与a的方向相同，当0时，a的方向与a的方向相反，当＝0时，0a，注意：a≠0。5、平面向量的数量积：（1）两个向量的夹角：对于非零向量a，b，作,OAaOBb，AOB0称为向量a，b的夹角，当＝