西安交大 电磁场理论讲义

电磁场理论讲义电磁场理论教案教师目录目目目录录录I目录绪绪绪论论论0.1电磁场理论的研究内容在生产实践和科学研究中，存在大量与电磁现象相关的问题。在以前的学习中，我们有过如电压、电流等电路方面的概念，这些概念可以看作是对电学现象的一种宏观的认识-电压是电势差的表述，电流是大量带电粒子定向运动的结果。而电磁理论则是可以看作从微观的角度去解释这些现象：如电荷之间的相互作用力的规律是怎样的、电流的热效应是如何的。由于是从场的角度研究问题，所以是讨论电磁现象在空间的分布情况。0.2电磁场理论的研究方法1.以实验定律作为基础，归纳出一些一般的定律。2.从一般形式的规律（Maxwell方程）出发，演绎各种特殊现象。3.既注重物理意义，又注重数学演绎。（场论知识）1电磁场理论讲义第第第一一一章章章静静静电电电场场场1.1真空中的静电场1.1.1库仑定律（Coulomb’sLaw）带电物体吸附其他物体的现象说明电荷的力学性质。库仑定律从实验中总结出真空中两个静止电电荷q1,q2之间相互作用力的定律为:O1r2r12rr-Fq1q2图图图1-1:电荷之间的相互作用力F=q1q24πε0·r2−r1|r2−r1|3(1-1)其中F为q1对q2的力，ε0称为真空介电常数或真空电容率，其值约为8.854×10−12F/m.1.1.2叠加原理（LinearSuperposition）关于电荷之间的相互作用力的实验规律还表明：一系列点电荷作为整体作用在某一特定点电荷上的电场力等于每个点电荷的电场力的矢量和。1.1.3电场（ElectricField）电荷之间的相互作用是通过一种中间媒质，以有限的速度传递过去的。电力是通过电场以光速来传递的。电荷在自身周围的空间要激发电场，电场对处于场中的其他电荷有力的作用。为了表征电场的特性，可以引入电场强度的概念。电场中某点电场强度定义为：在该处放置一个单位正的试验点电荷q0，其上所受到的电场力，即E=Fq0(1-2)1.电场强度的单位为V/m。2.关于电场强度的定义不仅对静电场适用，对时变场也适用。2第一章静电场3.虽然电场强度是通过力来定义的，但是它和电场力是两个完全不同的物理量。电场是独立于试验电荷而存在的。结合库仑定律，容易得到真空中点电荷激发的电场E=q4πε0·r−r′|r−r′|3(1-3)其中r′表示源点的位置，r表示场点的位置，它们是彼此独立的参量。如果令R=r−r′，R=|r−r′|=√(x−x′)2+(y−y′)2+(z−z′)2，则真空中点电荷的电场还可以表示为E=q4πε0·RR3(1-4)对于N个点电荷所组成的系统，根据叠加原理，空间任意一点的电场为E=N∑i=1qi4πε0·RiR3i(1-5)1.1.4电荷密度（ChargeDensity）体电荷密度实际中，电荷不会集中于一个点上，而总是分布在一定的空间。物质结构的理论表明，带电体的总电荷应该是某一基本电荷的整数倍。即电荷量不是连续变化的。但是对于实际中的宏观物体，其带电量总是远远大于基本电量，因此可以把电荷的离散分布近似用它的连续分布代替。这样，就可以引入电荷密度的概念ρ=lim∆V′→0∆q∆V′=dqdV′(1-6)注意此时∆V′应有1.在宏观上足够小，∆V′以内的电荷可以看作均匀分布。2.在微观上足够大，∆V′以内包含有足够多的电荷。当引入电荷密度的概念以后，对于一个体分布带电体，可以看作许多ρ(r′)dV′的叠加，从而由叠加原理的它产生的电场为E=14πε0∫V′ρ(r′)RR3dV′(1-7)面电荷密度虽然电荷的真实分布是体电荷分布，但是实际中会遇到电荷分布于厚度可以忽略的面积上，此时可以引入面电荷密度ρs=lim∆S′→0∆q(r′)∆S′=dq(r′)dS′(1-8)3电磁场理论讲义或者dq=ρsdS′(1-9)线电荷密度与面电荷密度类似，如果电荷沿横截面可以忽略的线型区域分布时，就存在线电荷密度，定义为单位长度上的电荷量ρl=lim∆l→0∆q∆l′=dqdl′(1-10)或者dq=ρldl′(1-11)综上三种情况，对于任何电荷分布，可以把它们分成许多元电荷dq，而把每一元电荷看成点电荷，位于r′处的元电荷dq在场点r引起的电场强度为dE=dq4πε0·r−r′|r−r′|3(1-12)应用叠加原理，全部电荷在场点r引起的场强为E=14πε0∫r−r′|r−r′|3dq(1-13)例例例1:求线电荷密度为ρl均匀分布的无限长电荷在真空中引起的电场.zρdEdEρρρρodqPθ图图图1-2:均匀分布的线电荷如取圆柱坐标系并将线电荷置于z轴，则电场将为轴对称且与z无关。由与电场E于圆柱坐标中的z,φ均无关，因此可以在z=0,φ=0的ρ轴上取一场点而不失一般性。考虑z′处的元电荷dq=ρldz′，由对称性可知电场仅存在ρ方向的分量，故而只考虑元电荷产生的电场在ρ方向上的分量dEρ=dEcosθ=14πε0ρl(z′)dz′R2cosθ=ρldz′4πε0R2ρR=ρldz′4πε0ρ(ρ2+z′2)3/2(1-14)4第一章静电场从而有Eρ=∫dEρ=ρρl4πε0∫+∞−∞dz′(ρ2+z′2)3/2=ρl2πε0ρ(1-15)或者E=ρl2πε0ρaρ(1-16)1.1.5点电荷的数学表述-狄拉克函数（DiracDeltaFunction）点电荷可以视为一个体积很小而密度很大的带电球体的极限。为了从数学描述点电荷的电荷密度，可以使用狄拉克函数的概念。我们注意到点电荷的分布具有如下的性质：•除了在电荷所在的点外，电荷密度为零。•整个空间的电荷总量为电荷带电量。与点电荷的这两个性质相对应，我们引入具有如下性质的一维狄拉克函数•对于x̸=a有δ(x−a)=0。•如果积分区域包含x=a这一点，则∫δ(x−a)dx=1。对于三维情况，在直角坐标系中，有δ(r−r0)=δ(x−x0)δ(y−y0)δ(z−z0)(1-17)三维狄拉克函数具有如下性质：•对于r̸=r0有δ(r−r0)=0。•如果积分区域V′包含r0这一点，则∫V′δ(r′−r0)dV′=1引入上述狄拉克函数后，点电荷的电荷的电荷密度可以表示为ρ(r′)=qδ(r′−r0)(1-18)对于N个分离点电荷，电荷密度分布可以表示为ρ(r′)=N∑i=1qiδ(r′−ri)(1-19)狄拉克函数还具有如下重要性质•δ(x)=δ(−x)•对于包含x=a的区间，有∫f(x)δ(x−a)dx=f(a)（筛选性质）。•对于包含x=a的区间，有∫f(x)δ′(x−a)dx=−f′(a)借助狄拉克函数，我们还可以表示出线电荷和面电荷密度。例如对于在z=0的平面上密度为ρs的面电荷可以表示为ρsδ(z)，而位于z轴的密度为ρl的线电荷可以表示为ρlδ(x)δ(y)。5电磁场理论讲义1.2静电场的散度与旋度1.2.1高斯定理(Gauss’sLaw)人们曾经用电力线的概念来描述电场，电力线的切线方向表示电场的方向，电力线的密度表示电场强度的大小。而从数学上可以用电场在某一面上的通量来表示电力线的密度，即E·dS。下面我们考虑点电荷产生的电场在空间某一面上的通量。如图1-3所示，电场在面元dS上的通量为dΩθnEdSq图图图1-3:点电荷在面元上的通量E·dS=E·ndS=q4πε0cosθr2dS=q4πε0dΩ(1-20)其中dΩ为面元dS对点电荷所张的空间角。如果我们选择一个封闭的简单曲面进行积分，则有ISE·dS={q/ε0ifqliesinsideS0ifqliesoutsideS(1-21)式(1-21)为单个点电荷积分形式的高斯定理。对于多个电荷，由叠加原理容易得到IE·dS=1ε0∑iqi(1-22)其中qi是位于S内部的电荷。而对于连续分布的体电荷，有IE·dS=1ε0∫Vρ(r)dV(1-23)这就是积分形式的真空中的高斯定理。上面的高斯定律是通过库仑定律导出的，它适合于静电场的情况。其直观物理图像是单位电荷激发1/ε0根电力线，它反映的电荷和电力线的关系，即使在运动电荷的一般情况下，实验和理论分析都没有发现不符合的地方。也就是说，在普遍的情况下，无论是静止的还是运动的电荷，高斯定理都成立。6第一章静电场1.2.2静电场的散度(divergence)由积分形式的高斯定理，结合散度定律∫V∇·EdV=HSE·dS可以得到∫V(∇·E−ρ/ε0)dV=0(1-24)由于上式对于任何体积V都成立，我们可以得到∇·E=ρε0(1-25)这就是微分形式的高斯定律。与积分形式的高斯定律一样，它也是在普遍的情况下成立。静电场的散度还可以直接通过对式（1-7）求散度得到。其中我们需要用到关于R的运算∇(1R)=−RR3(1-26)∇2(1R)=−4πδ(r−r′)(1-27)式（1-7）可以写为E(r)=−14πε0∫V′ρ(r′)∇(1R)dV′(1-28)两边取散度得到∇·E=−14πε0∫V′ρ(r′)∇2(1R)dV′=1ε0∫V′ρ(r′)δ(r−r′)dV′=ρ(r)ε0(1-29)例例例2:半径为a的球内，均匀分布着电荷，总电量为q，求各点的电场，并计算电场E的散度（课本第7页）。ar高斯面图图图1-4:高斯面解解解:采用球坐标系，置球心与坐标原点。由于电荷分布的对称性，电场E只有r方向上的分量，并且在与带电球同心的球面上电场E的值处处相同。因此，7电磁场理论讲义图图图1-5:球坐标系可以取半径为r的同心球面为高斯面，如图1-4所示。高斯面上各点与面元dS的方向相同。于是，利用积分形式的高斯定理有ISE·dS=ErISdS=4πr2Er=qinε0(1-30)其中qin为高斯面内电荷的总量。当ra时有qin=q；而当ra时，有qin=qr3/a3，从而有4πr2Er={qε0ifr≥aqr3ε0a3ifra(1-31)从而得到电场为E={qr4πε0r3r≥aqr4πε0a3ra(1-32)电场的散度可以在球坐标系进行计算∇·E=1r2∂∂r(r2Er)+1rsinθ∂∂θ(sinθEθ)+1rsinθ∂Eφ∂φ=1r2∂∂r(r2Er)(1-33)当ra时Er=q/4πε0r2，所以∇·E=1r2∂∂r(r2·q4πε0r2)=0(1-34)当ra时，Er=qr/4πε0a3∇·E=1r2∂∂r(r2·qr4πε0a3)=qε043πa3=qε0Vball(1-35)显然，与微分形式的高斯定理得到的结论一致。1.2.3静电场的旋度(curl)式（1-25）给出了场的散度，但是仅仅知道场的散度却不能唯一的确定场。场论知识告诉我们，只有同时知道了场的散度和旋度才能将场确定下来。因此，我们在这里考察静电场的旋度。8第一章静电场借助于前面我们已经得到的式（1-28），我们有E(r)=−14πε0∫V′ρ(r′)∇(1R)dV′=−∇(14πε0∫V′ρ(r′)RdV′)(1-36)即静电场可以写成某一标量的梯度，而根据∇×∇Φ=0的结论，我们有∇×E=0(1-37)称为微分形式的静电场环路定理，该式表明：静电场是无旋场。如果将式(1-37)两端在开放曲面S上积分，并利用斯托克斯定理(Stockes’stheorem)∫S∇×E·dS=HCE·dl得到ICE·dl=0(1-38)该式为积分形式的静电场环路定理,它表明：静电场为保守场。1.3介质中的静电场(课本22页)1.3.1介质的极化(polarization)电偶极子讨论有电介质存在的电场时，常常用到电偶极子这一概念。电偶极子是指相距很近的两个符号相反而量相等的电荷。电偶极子在其周围引起电场，同时在外场中也受到力的作用。由于电偶极子相距很近，可以认为场点到偶极子中心的距离比起正负电荷间的距离要大得多。对于一个偶极子，人们通常用它的电偶极矩(dipolemoment)p表征其特性，p=qd，方向从负电荷指向正电荷。极化电介质的分子可以分为两大类，一类是非极性分子，其分子内部所有正负电荷作用中心重合；另一类是非极性分子，其分子内部所有正负电荷中心不重合而形成一个偶极子。在没有外场的情况下，无论那一种分子