南京航空航天大学《高等数学》7.5曲面及其方程

第五节曲面及其方程曲面方程的概念旋转曲面柱面水桶的表面、台灯的罩子、撑开的雨伞等．曲面在空间解析几何中被看成是动点的几何轨迹．曲面的实例：一、曲面方程的概念在空间直角坐标系下，视曲面为动点M(x,y,z)运动的轨迹，从而使曲面与方程F(x,y,z)=0联系对应起来。曲面方程的定义：如果曲面S与三元方程0),,(=zyxF有下述关系：（1）曲面S上任一点的坐标都满足方程；（2）不在曲面S上的点的坐标都不满足方程；那么，方程0),,(=zyxF就叫做曲面S的方程，而曲面S就叫做方程的图形．例1建立球心在点),,(0000zyxM、半径为R的球面方程.设),,(zyxM是球面上任一点，解RMM=||0根据题意有()()()Rzzyyxx=−+−+−202020()()()2202020Rzzyyxx=−+−+−所求方程为特殊地：球心在原点时方程为2222Rzyx=++例2求与原点O及)4,3,2(0M的距离之比为2:1的点的全体所组成的曲面方程.解设),,(zyxM是曲面上任一点，,21||||0=MMMO根据题意有()()(),21432222222=−+−+−++zyxzyx().911634132222=⎟⎠⎞⎜⎝⎛++++⎟⎠⎞⎜⎝⎛+zyx所求方程为例3已知)3,2,1(A，)4,1,2(−B，求线段AB的垂直平分面的方程.设),,(zyxM是所求平面上任一点，根据题意有|,|||MBMA=()()()222321−+−+−zyx()()(),412222−+++−=zyx化简得所求方程.07262=−+−zyx解zxyo例4方程的图形是怎样的？1)2()1(22−−+−=yxz根据题意有1−≥z用平面cz=去截图形得圆：)1(1)2()1(22−≥+=−+−ccyx当平面cz=上下移动时，得到一系列圆圆心在),2,1(c，半径为c+1半径随c的增大而增大.图形上不封顶，下封底．解c以上几例表明研究空间曲面有两个基本问题：（2）已知曲面的方程，研究曲面形状．（讨论旋转曲面、柱面）（讨论二次曲面）（1）已知曲面作为点的轨迹时，求曲面方程．二、旋转曲面定义以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面.这条定直线叫旋转曲面的轴．二、旋转曲面定义以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面.这条定直线叫旋转曲面的轴．二、旋转曲面定义以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面.这条定直线叫旋转曲面的轴．二、旋转曲面定义以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面.这条定直线叫旋转曲面的轴．二、旋转曲面定义以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面.这条定直线叫旋转曲面的轴．二、旋转曲面定义以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面.这条定直线叫旋转曲面的轴．二、旋转曲面定义以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面.这条定直线叫旋转曲面的轴．二、旋转曲面定义以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面.这条定直线叫旋转曲面的轴．二、旋转曲面定义以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面.这条定直线叫旋转曲面的轴．二、旋转曲面定义以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面.这条定直线叫旋转曲面的轴．二、旋转曲面定义以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面.这条定直线叫旋转曲面的轴．二、旋转曲面定义以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面.这条定直线叫旋转曲面的轴．xozy0),(=zyf),,0(111zyM⋅⋅M),,,(zyxM设1)1(zz=（2）点M到z轴的距离||122yyxd=+=曲面上任取一点，旋转过程中的特征：将代入2211,yxyzz+±==0),(11=zyfd则点M是由曲线上点M1旋转得来。因此(),0,22=+±zyxf得方程这就是yoz坐标面上的已知曲线0),(=zyf绕z轴旋转一周的旋转曲面方程.同理：yoz坐标面上的已知曲线0),(=zyf绕y轴旋转一周的旋转曲面方程为().0,22=+±zxyf例5直线L绕另一条与L相交的直线旋转一周，所得旋转曲面叫圆锥面．两直线的交点叫圆锥面的顶点，两直线的夹角⎟⎠⎞⎜⎝⎛παα20叫圆锥面的半顶角．试建立顶点在坐标原点，旋转轴为z轴，半顶角为α的圆锥面方程．xozy解yoz面上直线方程为αcotyz=),,0(111zyM⋅),,(zyxM圆锥面方程αcot22yxz+±=oxzyα例6将下列各曲线绕对应的轴旋转一周，求生成的旋转曲面的方程．（1）双曲线12222=−czax分别绕x轴和z轴；绕x轴旋转绕z轴旋转122222=+−czyax122222=−+czayx旋转双曲面（2）椭圆⎪⎩⎪⎨⎧==+012222xczay绕y轴和z轴；绕y轴旋转绕z轴旋转122222=++czxay122222=++czayx旋转椭球面（3）抛物线⎩⎨⎧==022xpzy绕z轴；pzyx222=+旋转抛物面播放播放定义三、柱面观察柱面的形成过程:平行于定直线并沿定曲线移动的直线所形成的曲面称为柱面.CL这条定曲线叫柱面的准线，动直线叫柱面的母线.CL定义三、柱面观察柱面的形成过程:平行于定直线并沿定曲线移动的直线所形成的曲面称为柱面.CL这条定曲线叫柱面的准线，动直线叫柱面的母线.CL定义三、柱面观察柱面的形成过程:平行于定直线并沿定曲线移动的直线所形成的曲面称为柱面.CL这条定曲线叫柱面的准线，动直线叫柱面的母线.CL定义三、柱面观察柱面的形成过程:平行于定直线并沿定曲线移动的直线所形成的曲面称为柱面.CL这条定曲线叫柱面的准线，动直线叫柱面的母线.CL定义三、柱面观察柱面的形成过程:平行于定直线并沿定曲线移动的直线所形成的曲面称为柱面.CL这条定曲线叫柱面的准线，动直线叫柱面的母线.CL定义三、柱面观察柱面的形成过程:平行于定直线并沿定曲线移动的直线所形成的曲面称为柱面.CL这条定曲线叫柱面的准线，动直线叫柱面的母线.CL定义三、柱面观察柱面的形成过程:平行于定直线并沿定曲线移动的直线所形成的曲面称为柱面.CL这条定曲线叫柱面的准线，动直线叫柱面的母线.CL定义三、柱面观察柱面的形成过程:平行于定直线并沿定曲线移动的直线所形成的曲面称为柱面.CL这条定曲线叫柱面的准线，动直线叫柱面的母线.CL定义三、柱面观察柱面的形成过程:平行于定直线并沿定曲线移动的直线所形成的曲面称为柱面.CL这条定曲线叫柱面的准线，动直线叫柱面的母线.CL定义三、柱面观察柱面的形成过程:平行于定直线并沿定曲线移动的直线所形成的曲面称为柱面.CL这条定曲线叫柱面的准线，动直线叫柱面的母线.CL定义三、柱面观察柱面的形成过程:平行于定直线并沿定曲线移动的直线所形成的曲面称为柱面.CL这条定曲线叫柱面的准线，动直线叫柱面的母线.CL定义三、柱面观察柱面的形成过程:平行于定直线并沿定曲线移动的直线所形成的曲面称为柱面.CL这条定曲线叫柱面的准线，动直线叫柱面的母线.CLxozyP(x,y,z)沿母线与xoy平面的交点是P′(x,y,0)P′(x,y,0)柱面上任取一点P(x,y,z)P′(x,y,0)在准线上，从而柱面上任一点P的坐标均满足方程F(x,y)=0.⎩⎨⎧==.0,0),(zyxF准线方程柱面方程：F(x,y)=0柱面举例xozyxozyxy22=抛物柱面xy=平面从柱面方程看柱面的特征：只含yx,而缺z的方程0),(=yxF，在空间直角坐标系中表示母线平行于z轴的柱面，其准线为xoy面上曲线C.（其他类推）实例12222=+czby椭圆柱面//轴x12222=−byax双曲柱面//轴zpzx22=抛物柱面//轴y曲面方程的概念旋转曲面的概念及求法.柱面的概念(母线、准线)..0),,(=zyxF四、小结思考题指出下列方程在平面解析几何中和空间解析几何中分别表示什么图形？;2)1(=x;4)2(22=+yx.1)3(+=xy思考题解答平面解析几何中空间解析几何中2=x422=+yx1+=xy平行于y轴的直线平行于yoz面的平面圆心在)0,0(，半径为2的圆以z轴为中心轴的圆柱面斜率为1的直线平行于z轴的平面方程