第11章(10.3)-ARCH和GARCH估计

金融计量学2Supplementary自回归条件异方差模型自回归条件异方差(AutoregressiveConditionalHeteroscedasticityModel，ARCH)模型是特别用来建立条件方差模型并对其进行预测的。ARCH模型是1982年由恩格尔(Engle,R.)提出，并由博勒斯莱文(Bollerslev,T.,1986)发展成为GARCH(GeneralizedARCH)——广义自回归条件异方差。这些模型被广泛的应用于经济学的各个领域。尤其在金融时间序列分析中。310.5.1ARCH模型为了说得更具体，让我们回到k-变量回归模型：(10.5.1)如果ut的均值为零，对yt取基于(t-1)时刻的信息的期望，即Et-1(yt)，有如下的关系：(10.5.2)由于yt的均值近似等于式（10.5.1）的估计值，所以式（10.5.1）也称为均值方程。ttkkttuxxy110ktkttttxxxy221101)(E4由于(10.5.7)中ut的方差依赖于前期的平方扰动项，我们称它为ARCH(1)过程：然而，容易加以推广。例如，一个ARCH(p)过程可以写为：（10.5.8）21102)var(tttuu222221102)var(ptpttttuuuu5如果扰动项方差中没有自相关，就会有H0：这时从而得到扰动项方差的同方差性情形。恩格尔曾表明，容易通过以下的回归去检验上述虚拟假设：其中，ût表示从原始回归模型（10.5.1）估计得到的OLS残差。222221102ˆˆˆˆˆˆˆˆptptttuuuu021p02)var(tu610.5.2GARCH(1,1)模型我们常常有理由认为ut的方差依赖于很多时刻之前的变化量（特别是在金融领域，采用日数据或周数据的应用更是如此）。这里的问题在于，我们必须估计很多参数，而这一点很难精确的做到。但是如果我们能够意识到方程(10.5.8)不过是t2的分布滞后模型，我们就能够用一个或两个t2的滞后值代替许多ut2的滞后值，这就是广义自回归条件异方差模型(generalizedautoregressiveconditionalheteroscedasticitymodel，简记为GARCH模型)。在GARCH模型中，要考虑两个不同的设定：一个是条件均值，另一个是条件方差。7在标准化的GARCH(1,1)模型中：(10.5.11)(10.5.12)其中：xt是1×(k+1)维外生变量向量，γ是(k+1)×1维系数向量。(10.5.11)中给出的均值方程是一个带有扰动项的外生变量函数。由于t2是以前面信息为基础的一期向前预测方差，所以它被称作条件方差，式(10.5.12)也被称作条件方差方程。tttuyγx21212tttu8(10.5.12)中给出的条件方差方程是下面三项的函数：1．常数项（均值）：2．用均值方程(10.5.11)的扰动项平方的滞后来度量从前期得到的波动性的信息：ut2-1（ARCH项）。3．上一期的预测方差：t2-1（GARCH项）。GARCH(1,1)模型中的(1,1)是指阶数为1的GARCH项（括号中的第一项）和阶数为1的ARCH项（括号中的第二项）。一个普通的ARCH模型是GARCH模型的一个特例，即在条件方差方程中不存在滞后预测方差t2-1的说明。9方差方程的回归因子方程(10.5.12)可以扩展成包含外生的或前定回归因子z的方差方程：（10.5.17）注意到从这个模型中得到的预测方差不能保证是正的。可以引入到这样一些形式的回归算子，它们总是正的，从而将产生负的预测值的可能性降到最小。例如，我们可以要求：ttttzu21212ttxz10高阶GARCH(p,q)模型高阶GARCH模型可以通过选择大于1的p或q得到估计，记作GARCH(p,q)。其方差表示为：（10.5.18）这里，p是GARCH项的阶数，q是ARCH项的阶数。2.1212jtpjjitqiitu1110.5.3ARCH的检验下面介绍检验一个模型的残差是否含有ARCH效应的两种方法：ARCHLM检验和残差平方相关图检验。1.ARCHLM检验Engle在1982年提出检验残差序列中是否存在ARCH效应的拉格朗日乘数检验（Lagrangemultipliertest），即ARCHLM检验。自回归条件异方差性的这个特殊的设定，是由于人们发现在许多金融时间序列中，残差的大小与最近的残差值有关。ARCH本身不能使标准的OLS估计无效，但是，忽略ARCH影响可能导致有效性降低。12ARCHLM检验统计量由一个辅助检验回归计算。为检验原假设：残差中直到q阶都没有ARCH，运行如下回归：式中ût是残差。这是一个对常数和直到q阶的滞后平方残差所作的回归。这个检验回归有两个统计量：（1）F统计量是对所有残差平方的滞后的联合显著性所作的一个省略变量检验；（2）TR2统计量是Engle’sLM检验统计量，它是观测值个数T乘以回归检验的R2；tqtqttuuu221102ˆˆˆ132.平方残差相关图显示直到所定义的滞后阶数的平方残差ût2的自相关性和偏自相关性，计算出相应滞后阶数的Ljung-Box统计量。平方残差相关图可以用来检查残差自回归条件异方差性（ARCH）。如果残差中不存在ARCH，在各阶滞后自相关和偏自相关应为0，且Q统计量应不显著。可适用于使用LS，TSLS，非线性LS估计方程。显示平方残差相关图和Q-统计量，选择View/ResidualTests/CorrelogramSquaredResidual，在打开的滞后定义对话框，定义计算相关图的滞后数。14例10.5沪市股票价格指数波动的GARCH模型为了检验股票价格指数的波动是否具有条件异方差性，本例选择了沪市股票的收盘价格指数的日数据作为样本序列，这是因为上海股票市场不仅开市早，市值高，对于各种冲击的反应较为敏感，因此，本例所分析的沪市股票价格波动具有一定代表性。在这个例子中，我们选择的样本序列{sp}是1998年1月3日至2001年12月31日的上海证券交易所每日股票价格收盘指数，为了减少舍入误差，在估计时，对{sp}进行自然对数处理，即将序列{log(sp)}作为因变量进行估计。15由于股票价格指数序列常常用一种特殊的单位根过程——随机游动（RandomWalk）模型描述，所以本例进行估计的基本形式为：(10.5.25)首先利用最小二乘法，估计了一个普通的回归方程，结果如下：(10.5.26)（15517）R2=0.994对数似然值=2871AIC=-5.51SC=-5.51tttuspsp)ln()ln(1)ln(000028.1)ˆln(1ttspps16可以看出，这个方程的统计量很显著，而且，拟和的程度也很好。但是需要检验这个方程的误差项是否存在条件异方差性，。17图10.5股票价格指数方程回归残差观察上图，该回归方程的残差，我们可以注意到波动的“成群”现象：波动在一些较长的时间内非常小（例如2000年），在其他一些较长的时间内非常大（例如1999年），这说明残差序列存在高阶ARCH效应。18因此，对式(10.5.26)进行条件异方差的ARCHLM检验，得到了在滞后阶数p=3时的ARCHLM检验结果：此处的P值为0，拒绝原假设，说明式（10.5.26）的残差序列存在ARCH效应。还可以计算式（10.5.26）的残差平方的自相关（AC）和偏自相关（PAC）系数，结果如下：1910.5.4ARCH-M模型金融理论表明具有较高可观测到的风险的资产可以获得更高的平均收益，其原因在于人们一般认为金融资产的收益应当与其风险成正比，风险越大，预期的收益就越高。这种利用条件方差表示预期风险的模型被称为ARCH均值模型(ARCH-in-mean)或ARCH-M回归模型。在ARCH-M中我们把条件方差引进到均值方程中:（10.5.29）ARCH-M模型的另一种不同形式是将条件方差换成条件标准差：或取对数ttttuy2γxttttuyγxttttuy)ln(2γx20ARCH-M模型通常用于关于资产的预期收益与预期风险紧密相关的金融领域。预期风险的估计系数是风险收益交易的度量。例如，我们可以认为某股票指数，如上证的股票指数的票面收益（returet）依赖于一个常数项，通货膨胀率t以及条件方差(风险)：这种类型的模型（其中期望风险用条件方差表示）就称为GARCH-M模型。ttttureture221221122112qtqtptpttuu21在EViews中估计ARCH模型估计GARCH和ARCH模型，首先选择Quick/EstimateEquation或Object/NewObject/Equation，然后在Method的下拉菜单中选择ARCH，得到如下的对话框。22一、均值方程(Meanequation)在因变量编辑栏中输入均值方程形式，均值方程的形式可以用回归列表形式列出因变量及解释变量。如果方程包含常数，可在列表中加入C。如果需要一个更复杂的均值方程，可以用公式的形式输入均值方程。如果解释变量的表达式中含有ARCH—M项，就需要点击对话框右上方对应的按钮。EViews5.0中的ARCH-M的下拉框中，有4个选项：1.选项None表示方程中不含有ARCH−M项；2.选项Std.Dev.表示在方程中加入条件标准差；3.选项Variance则表示在方程中含有条件方差2。4.选项Log(Var)，表示在均值方程中加入条件方差的对数ln(2)作为解释变量。23二、方差设定和分布设定(Varianceanddistributionspecification)EViews5的选择模型类型列表(1)在下拉列表中选择所要估计的ARCH模型的类型。(2)在Variance栏中，可以列出包含在方差方程中的外生变量。(3)可以选择ARCH项和GARCH项的阶数。(4)在Threshold编辑栏中输入非对称项的数目，缺省的设置是不估计非对称的模型，即该选项的个数为0。(5)Error组合框是设定误差的分布形式，缺省的形式为Normal（Gaussian）。24三、估计选项（Options）EViews为我们提供了可以进入许多估计方法的设置。只要点击Options按钮并按要求填写对话即可。25ARCH的估计结果利用GARCH(1,1)模型重新估计例10.5的式（10.5.25），结果如下：26ARCH估计的结果可以分为两部分：上半部分提供了均值方程的标准结果；下半部分，即方差方程包括系数，标准误差，z-统计量和方差方程系数的P值。在方程(10.5.12)中ARCH的参数对应于，GARCH的参数对应于。在表的底部是一组标准的回归统计量，使用的残差来自于均值方程。注意如果在均值方程中不存在回归量，那么这些标准，例如R2也就没有意义了。27ARCH模型的视图与过程一旦模型被估计出来，EViews会提供各种视图和过程进行推理和诊断检验。一、ARCH模型的视图1.Actual,Fitted,Residual窗口列示了各种残差形式。2.条件SD图显示了在样本中对每个观测值绘制向前一步的标准偏差t。t时期的观察值是由t-1期可得到的信息得出的预测值。3.协方差矩阵4.系数检验5.残差检验/相关图-Q-统计量28二、ARCH模型的过程1．构造残差序列将残差以序列的名义保存在工作文件中，可以选择保存普通残差ut或标准残差ut/t。残差将被命名为RESID1，RESID2等等。可以点击序列窗口中的name按钮来重新命名序列残差。2．构造GARCH方差序列将条件方差t2以序列的名义保存在工作文件中。条件方差序列可以被命