用等效法解决带电体在电场

用等效法解决带电体在电场、重力场中的运动等效思维方法是将一个复杂的物理问题，等效为一个熟知的物理模型或问题的方法。带电粒子在匀强电场和重力场组成的复合场中做圆周运动的问题，是高中物理教学中一类重要而典型的题型。对于这类问题，若采用常规方法求解，过程复杂，运算量大。若采用“等效法”求解，则能避开复杂的运算，过程比较简捷。先求出重力与电场力的合力，将这个合力视为一个“等效重力”，将a＝F合m视为“等效重力加速度”。再将物体在重力场中的运动规律迁移到等效重力场中分析求解即可。[典例]如图6­4­12所示，绝缘光滑轨道AB部分为倾角为30°的斜面，AC部分为竖直平面上半径为R的圆轨道，斜面与圆轨道相切。整个装置处于电场强度为E、方向水平向右的匀强电场中。现有一个质量为m的小球，带正电荷量为q＝3mg3E，要使小球能安全通过圆轨道，在O点的初速度应满足什么条件？图6­4­12[思路点拨](1)试分析小球的受力情况，画出受力分析图。提示：(2)小球在斜面上做什么运动？要使小球能安全通过圆轨道，那么临界状态是什么情况？提示：小球在斜面上做匀速直线运动；在圆轨道上临界状态是恰好能过“等效最高点”。[解析]小球先在斜面上运动，受重力、电场力、支持力，然后在圆轨道上运动，受重力、电场力、轨道作用力，如图所示，类比重力场，将电场力与重力的合力视为等效重力mg′，大小为mg′＝qE2＋mg2＝23mg3，tanθ＝qEmg＝33，得θ＝30°，等效重力的方向与斜面垂直指向右下方，小球在斜面上匀速运动。因要使小球能安全通过圆轨道，在圆轨道的“等效最高点”(D点)满足“等效重力”刚好提供向心力，即有：mg′＝mvD2R，因θ＝30°与斜面的倾角相等，由几何关系知AD＝2R，令小球以最小初速度v0运动，由动能定理知：－2mg′R＝12mvD2－12mv02解得v0＝103gR3，因此要使小球安全通过圆轨道，初速度应满足v≥103gR3。[答案]v≥103gR32.(2015·安徽三校联考)如图8所示，在水平向左的匀强电场中，一带电小球质量为m，电量为－q。用绝缘轻绳(不伸缩)悬于O点，平衡时小球位于A点，此时绳与竖直方向的夹角θ＝30°。绳长为l，AO＝CO＝DO＝l，OD水平，OC竖直。求：图8(1)电场强度E的大小；(2)当小球移到D点后，让小球由静止自由释放，小球向右运动过程中的最大速率和该时刻轻绳中张力的大小(计算结果可带根号)。解析：(1)qEmg＝tan30°E＝3mg3q(2)当小球移到D点后，让小球由静止自由释放，小球先做匀加速直线运动，运动到轻绳与竖直方向成30°时绳绷直，与OA关于OC对称，设此时速度为vBa＝233gvB2＝2al绳绷直后，垂直绳方向速度vBX＝vBcos30°，沿绳方向速度变为0到达A点时切向加速度为0，速度达到最大值12mvBX2＋qEl＝12mvA2解得vA＝53gl3轻绳中张力F－233mg＝F向心＝mvA2l解得F＝733mg答案：(1)3mg3q(2)53gl3733mg[针对训练]1．(2015·吉安模拟)如图6­4­13所示，一条长为L的细线上端固定，下端拴一个质量为m的电荷量为q的小球，将它置于方向水平向右的匀强电场中，使细线竖直拉直时将小球从A点静止释放，当细线离开竖直位置偏角α＝60°时，小球速度为0。图6­4­13(1)求：①小球带电性质；②电场强度E。(2)若小球恰好完成竖直圆周运动，求从A点释放小球时应有的初速度vA的大小(可含根式)。解析：(1)①根据电场方向和小球受力分析可知小球带正电。②小球由A点释放到速度等于零，由动能定理有0＝EqLsinα－mgL(1－cosα)解得E＝3mg3q。(2)将小球的重力和电场力的合力作为小球的等效重力G′，则G′＝233mg，方向与竖直方向成30°角偏向右下方。若小球恰能做完整的圆周运动，在等效最高点。mv2L＝233mg12mv2－12mvA2＝－233mgL(1＋cos30°)联立解得vA＝2gL3＋1答案：见解析2．(2015·洛阳名校联考)在电场方向水平向右的匀强电场中，一带电小球从A点竖直向上抛出，其运动的轨迹如图6­4­14所示。小球运动的轨迹上A、B两点在同一水平线上，M为轨迹的最高点。小球抛出时的动能为8.0J，在M点的动能为6.0J，不计空气的阻力。求：图6­4­14(1)小球水平位移x1与x2的比值；(2)小球落到B点时的动能EkB；(3)小球从A点运动到B点的过程中最小动能Ekmin。解析：(1)如图所示，带电小球在水平方向上受电场力的作用做初速度为零的匀加速运动，竖直方向上只受重力作用做竖直上抛运动，故从A到M和M到B的时间相等，则x1∶x2＝1∶3。(2)小球从A到M，水平方向上电场力做功W电＝6J，则由能量守恒可知，小球运动到B点时的动能为EkB＝Ek0＋4W电＝32J。(3)由于合运动与分运动具有等时性，设小球所受的电场力为F，重力为G，则有：F·x1＝6JG·h＝8J⇒12·F2mt2＝6J12·G2mt2＝8J⇒FG＝32由图可知，tanθ＝FG＝32⇒sinθ＝37，则小球从A运动到B的过程中速度最小时速度一定与等效重力G′垂直，故Ekmin＝12m(v0sinθ)2＝247J。答案：(1)1∶3(2)32J(3)247J3.(2015·安徽三校联考)如图8所示，在水平向左的匀强电场中，一带电小球质量为m，电量为－q。用绝缘轻绳(不伸缩)悬于O点，平衡时小球位于A点，此时绳与竖直方向的夹角θ＝30°。绳长为l，AO＝CO＝DO＝l，OD水平，OC竖直。求：图8(1)电场强度E的大小；(2)当小球移到D点后，让小球由静止自由释放，小球向右运动过程中的最大速率和该时刻轻绳中张力的大小(计算结果可带根号)。解析：(1)qEmg＝tan30°E＝3mg3q(2)当小球移到D点后，让小球由静止自由释放，小球先做匀加速直线运动，运动到轻绳与竖直方向成30°时绳绷直，与OA关于OC对称，设此时速度为vBa＝233gvB2＝2al绳绷直后，垂直绳方向速度vBX＝vBcos30°，沿绳方向速度变为0到达A点时切向加速度为0，速度达到最大值12mvBX2＋qEl＝12mvA2解得vA＝53gl3轻绳中张力F－233mg＝F向心＝mvA2l解得F＝733mg答案：(1)3mg3q(2)53gl3733mg4、如图6­4­8，O、A、B为同一竖直平面内的三个点，OB沿竖直方向，∠BOA＝60°，OB＝32OA，将一质量为m的小球以一定的初动能自O点水平向右抛出，小球在运动过程中恰好通过A点。使此小球带电，电荷量为q(q＞0)，同时加一匀强电场，场强方向与△OAB所在平面平行。现从O点以同样的初动能沿某一方向抛出此带电小球，该小球通过了A点，到达A点时的动能是初动能的3倍；若该小球从O点以同样的初动能沿另一方向抛出，恰好通过B点，且到达B点时的动能为初动能的6倍，重力加速度大小为g。求图6­4­8(1)无电场时，小球到达A点时的动能与初动能的比值；(2)电场强度的大小和方向。[审题指导]第一步：抓关键点关键点获取信息将小球水平向右抛出小球做平抛运动小球恰好通过A点平抛运动过A点时的水平、竖直位移可确定到A(B)点时动能是初动能的3(6)倍有重力做功和电场力做功，其中电场力做的功等于电势能的变化量第二步：找突破口(1)要确定小球到达A点时的动能与初动能比值，可由平抛运动规律求解；写出水平、竖直方向的位移关系。(2)要确定电场强度的方向，根据到A、B两点的动能变化可确定两个过程电势能的变化，可先找出两个等势点(在OB线上找出与A等势的点，并确定其具体位置)。(3)电场强度的大小可由W＝qEl求出。[解析](1)设小球的初速度为v0，初动能为Ek0，从O点运动到A点的时间为t，令OA＝d，则OB＝32d，根据平抛运动的规律有dsin60°＝v0t①dcos60°＝12gt2②又Ek0＝12mv02③由①②③式得Ek0＝38mgd④设小球到达A点时的动能为EkA，则EkA＝Ek0＋12mgd⑤由④⑤式得EkAEk0＝73⑥(2)加电场后，小球从O点到A点和B点，高度分别降低了d2和3d2，设电势能分别减小ΔEpA和ΔEpB，由能量守恒及④式得ΔEpA＝3Ek0－Ek0－12mgd＝23Ek0⑦ΔEpB＝6Ek0－Ek0－32mgd＝Ek0⑧在匀强电场中，沿任一直线，电势的降落是均匀的。设直线OB上的M点与A点等电势，M与O点的距离为x，如图，则有x32d＝ΔEpAΔEpB⑨解得x＝d。MA为等势线，电场必与其垂线OC方向平行。设电场方向与竖直向下的方向的夹角为α，由几何关系可得α＝30°⑩即电场方向与竖直向下的方向的夹角为30°斜向右下方。设场强的大小为E，有qEdcos30°＝ΔEpA⑪由④⑦⑪式得E＝3mg6q⑫[答案](1)73(2)3mg6q与竖直向下的方向的夹角为30°斜向右下方