2017年沪科版-八年级数学下册期末复习讲义

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1八年级数学下册复习讲义第十六章二次根式知识点一:二次根式的概念【知识要点】二次根式的定义:形如的式子叫二次根式,其中叫被开方数,只有当是一个非负数时,才有意义.【典型例题】题型一:二次根式的判定【例1】下列各式1)22211,2)5,3)2,4)4,5)(),6)1,7)2153xaaa,其中是二次根式的是_________(填序号).题型二:二次根式有意义【例2】若式子13x有意义,则x的取值范围是.题型三:二次根式定义的运用【例3】若y=5x+x5+2009,则x+y=.题型四:二次根式的整数与小数部分已知a是5整数部分,b是5的小数部分,求12ab的值.知识点二:二次根式的性质【知识要点】1.非负性:aa()0是一个非负数.注意:此性质可作公式记住,后面根式运算中经常用到.2.()()aaa20.注意:此性质既可正用,也可反用,反用的意义在于,可以把任意一个非负数或非负代数式写成完全平方的形式:aaa()()203.aaaaaa200||()()注意:(1)字母不一定是正数.(2)能开得尽方的因式移到根号外时,必须用它的算术平方根代替.(3)可移到根号内的因式,必须是非负因式,如果因式的值是负的,应把负号留在根号外.24.公式aaaaaa200||()()与()()aaa20的区别与联系(1)a2表示求一个数的平方的算术根,a的范围是一切实数.(2)()a2表示一个数的算术平方根的平方,a的范围是非负数.(3)a2和()a2的运算结果都是非负的.【典型例题】题型一:二次根式的双重非负性【例4】若22340abc,则cba.题型二:二次根式的性质2(公式)0()(2aaa的运用)【例5】化简:21(3)aa的结果为()A、4—2aB、0C、2a—4D、4题型三:二次根式的性质3(公式)0a(a)0a(aaa2的应用)【例6】已知2x,则化简244xx的结果是()A、2xB、2xC、2xD、2x知识点三:最简二次根式和同类二次根式【知识要点】1、最简二次根式:(1)最简二次根式的定义:①被开方数是整数,因式是整式;②被开方数中不含能开得尽方的数或因式.2、同类二次根式(可合并根式):几个二次根式化成最简二次根式后,如果被开方数相同,这几个二次根式就叫做同类二次根式,即可以合并的两个根式。【典型例题】【例7】在根式1)222;2);3);4)275xabxxyabc,最简二次根式是()A.1)2)B.3)4)C.1)3)D.1)4)知识点四:二次根式计算——分母有理化【知识要点】1.分母有理化定义:把分母中的根号化去,叫做分母有理化.32.有理化因式:两个含有二次根式的代数式相乘,如果它们的积不含有二次根式,就说这两个代数式互为有理化因式。有理化因式确定方法如下:①单项二次根式:利用aaa来确定,如:aa与,abab与,ba与ba等分别互为有理化因式。②两项二次根式:利用平方差公式来确定。如ab与ab,abab与,axbyaxby与分别互为有理化因式。3.分母有理化的方法与步骤:①先将分子、分母化成最简二次根式;②将分子、分母都乘以分母的有理化因式,使分母中不含根式;③最后结果必须化成最简二次根式或有理式。【典型例题】【例8】把下列各式分母有理化(1)148(2)4337(3)11212(4)13550【例9】把下列各式分母有理化(1)328xxy(2)2ab(3)38xx(4)2525abba【例10】把下列各式分母有理化:(1)221(2)5353(3)333223小结:一般常见的互为有理化因式有如下几类:①与;②与;③与;④与.知识点五:二次根式计算——二次根式的乘除【知识要点】1.积的算术平方根的性质:积的算术平方根,等于积中各因式的算术平方根的积。ab=a·b(a≥0,b≥0)2.二次根式的乘法法则:两个因式的算术平方根的积,等于这两个因式积的算术平方根。a·b=ab.(a≥0,b≥0)3.商的算术平方根的性质:商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根.ab=ab(a≥0,b0)44.二次根式的除法法则:两个数的算术平方根的商,等于这两个数的商的算术平方根。ab=ab(a≥0,b0)注意:乘、除法的运算法则要灵活运用,在实际运算中经常从等式的右边变形至等式的左边,同时还要考虑字母的取值范围,最后把运算结果化成最简二次根式.【典型例题】【例11】化简(1)916(2)1681(3)1525【例12】计算(1)(2)(3)(4)知识点六:二次根式计算——二次根式的加减【知识要点】需要先把二次根式化简,然后把被开方数相同的二次根式(即同类二次根式)的系数相加减,被开方数不变。注意:对于二次根式的加减,关键是合并同类二次根式,通常是先化成最简二次根式,再把同类二次根式合并.但在化简二次根式时,二次根式的被开方数应不含分母,不含能开得尽的因数.【典型例题】【例13】计算(1)11327520.53227;(2)12543102024553457;【例14】(1)224344xyxyxyxy(2)abababab5知识点七:二次根式计算——二次根式的混合计算与求值【知识要点】1、确定运算顺序;2、灵活运用运算定律;3、正确使用乘法公式;4、大多数分母有理化要及时;5、在有些简便运算中也许可以约分,不要盲目有理化;【典型习题】1、abbaabb3)23(2352、22(212+418-348)【例15】已知:,求的值.知识点八:根式比较大小【知识要点】1、根式变形法当0,0ab时,①如果ab,则ab;②如果ab,则ab。2、平方法当0,0ab时,①如果22ab,则ab;②如果22ab,则ab。3、分母有理化法通过分母有理化,利用分子的大小来比较。4、分子有理化法通过分子有理化,利用分母的大小来比较。5、倒数法6、媒介传递法适当选择介于两个数之间的媒介值,利用传递性进行比较。7、作差比较法在对两数比较大小时,经常运用如下性质:①0abab;②0abab8、求商比较法6它运用如下性质:当a0,b0时,则:①1aabb;②1aabb【典型例题】【例16】比较35与53的大小.【例17】比较231与121的大小.一元二次方程一、知识结构:一元二次方程韦达定理根的判别解与解法二、考点精析考点一、概念(1)定义:①只含有一个未知数........,并且②未知数的最高次数是.........2.,这样的③整式方程....就是一元二次方程。(2)一般表达式:)0(02acbxax⑶难点:如何理解“未知数的最高次数是2”:①该项系数不为“0”;②未知数指数为“2”;③若存在某项指数为待定系数,或系数也有待定,则需建立方程或不等式加以讨论。典型例题:例1、下列方程中是关于x的一元二次方程的是()A、12132xxB、02112xxC、02cbxaxD、1222xxx变式:当k时,关于x的方程3222xxkx是一元二次方程。例2、方程0132mxxmm是关于x的一元二次方程,则m的值为。考点二、方程的解⑴概念:使方程两边相等的未知数的值,就是方程的解。⑵应用:利用根的概念求代数式的值;典型例题:例1、已知322yy的值为2,则1242yy的值为。考点三、解法⑴方法:①直接开方法;②因式分解法;③配方法;④公式法7⑵关键点:降次类型一、直接开方法:mxmmx,02※※对于max2,22nbxmax等形式均适用直接开方法典型例题:例1、解方程:;08212x216252x=0;;09132x例2、若2221619xx,则x的值为。类型二、因式分解法:021xxxx21,xxxx或※方程特点:左边可以分解为两个一次因式的积,右边为“0”,※方程形式:如22nbxmax,cxaxbxax,0222aaxx典型例题:例1、3532xxx的根为()A25xB3xC3,2521xxD52x例2、若044342yxyx,则4x+y的值为。例3、方程062xx的解为()A.2321,xxB.2321,xxC.3321,xxD.2221,xx例4、解方程:04321322xx例5、已知023222yxyx,则yxyx的值为。8类型三、配方法002acbxax222442aacbabx※在解方程中,多不用配方法;但常利用配方思想求解代数式的值或极值之类的问题。典型例题:例1、试用配方法说明322xx的值恒大于0。例2、已知x、y为实数,求代数式74222yxyx的最小值。例3、已知,x、yyxyx0136422为实数,求yx的值。例4、分解因式:31242xx类型四、公式法⑴条件:04,02acba且⑵公式:aacbbx242,04,02acba且典型例题:例1、选择适当方法解下列方程:⑴.6132x⑵.863xx⑶0142xx9例2、在实数范围内分解因式:(1)3222xx;(2)1842xx.⑶22542yxyx说明:①对于二次三项式cbxax2的因式分解,如果在有理数范围内不能分解,一般情况要用求根公式,这种方法首先令cbxax2=0,求两根,再写成cbxax2=))((21xxxxa.②分解结果是否把二次项系数乘进括号内,取决于能否把括号内的分母化去.类型五、“降次思想”的应用⑴求代数式的值;⑵解二元二次方程组。典型例题:例1、已知0232xx,求代数式11123xxx的值。例2、如果012xx,那么代数式7223xx的值。说明:解二元二次方程组的具体思维方法有两种:①先消元,再降次;②先降次,再消元。但都体现了一种共同的数学思想——化归思想,即把新问题转化归结为我们已知的问题.考点四、根的判别式acb42根的判别式的作用:①定根的个数;②求待定系数的值;③应用于其它。典型例题:例1、若关于x的方程0122xkx有两个不相等的实数根,则k的取值范围是。例2、关于x的方程0212mmxxm有实数根,则m的取值范围是()A.10且mmB.0mC.1mD.1m例3、已知关于x的方程0222kxkx(1)求证:无论k取何值时,方程总有实数根;(2)若等腰ABC的一边长为1,另两边长恰好是方程的两个根,求ABC的周长。10例4、已知二次三项式2)6(92mxmx是一个完全平方式,试求m的值.例5、m为何值时,方程组.3,6222ymxyx有两个不同的实数解?有两个相同的实数解?考点五、方程类问题中的“分类讨论”典型例题:例1、关于x的方程03212mxxm⑴有两个实数根,则m为,⑵只有一个根,则m为。例2、不解方程,判断关于x的方程3222kkxx根的情况。例3、如果关于x的方程022kxx及方程022kxx均有实数根,问这两方程是否有相同的根?若有,请求出这相同的根及k的值;若没有,请说明理由。考点六、应用解答题⑴“碰面”问题;⑵“复利率”问题;⑶“几何”问题;⑷“最值”型问题;⑸“图表”类问题11考点七、根与系数的关系⑴前提:对于02cbxax而言,当满足①0a、②0时,才能用韦达定理。⑵主要内容:acxxabxx

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