中职数学——8.2.1任意角的三角函数

角度弧度06012013527042652306453903243150180233600180rad，1rad1800.01745rad.1801rad()57.305718.复习回顾：=;1:2lRSlR扇形弧长公式：面积公式，lORS21||2SR8.2.1任意角的三角函数角的范围已经推广，那么对任一角α是否也能像锐角一样定义三角函数呢？初中我们已经学习过锐角三角函数，知道它们都是以锐角α为自变量，以比值为函数值，定义了角α的正弦、余弦、正切的三角函数.本节课我们研究当角α是一个任意角时，其三角函数的定义及其几何表示．1.任意角的三角函数的定义设锐角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合,那么α的终边在第一象限，在α的终边上任意一点P(a,b)(除开顶点O),它与原点(即顶点)的距离是r(r0),那么根据初中所学过的三角函数的定义，有Oxyr(1)正弦:sinα=;br(2)余弦:cosα=;ar(3)正切:tanα=.baαP(a,b)ba由相似三角形的知识知道，这些比值不会随点P的位置改变而改变，所以通常取r=1的位置。P(a,b)0xyMαA(1,0)1设锐角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合,那么α的终边在第一象限，在α的终边上的点P(a,b)与原点(即顶点)的距离是1,那么根据初中所学过的三角函数的定义，有(1)正弦:sinα==b;MPOP(2)余弦:cosα==a;OMOP(3)正切:tanα=.MPbOMa我们称以原点为圆心，以单位长度为半径的圆为单位圆.1.任意角的三角函数的定义同样我们可以利用单位圆定义任意角的三角函数.1、任意角的三角函数的定义一设α是任意一个角,α的终边与单位圆交于点P(x,y),那么(1)正弦:sinα=y;(2)余弦:cosα=x;(3)正切:tanα=(x≠0).yxP(x,y)0xyαA(1,0)正弦、余弦、正切都是以角(弧度)为自变量，以单位圆上的点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，我们将它们统称为三角函数。三角函数sinαcosαtanα定义域角的概念推广后，实际上是把角的集合与实数集R之间建立了一一对应的关系：实数集R角的集合正角零角负角正实数零负实数53(1);(2);(3).32例1.求下列角的正弦、余弦和正切值：解：（1）在直角坐标系中，作53AOP（如图），得的终边与单位圆的交点坐标为5sin35cos35tan33,21,23.13(,).22P53(1);(2);(3).32例1.求下列角的正弦、余弦和正切值：解：（2）∵当时，在直角坐标系中，角的终边与单位圆的交点坐标为(1,0).Psin1,cos0,tan0.（3）∵当时，32在直角坐标系中，角的终边与单位圆的交点坐标为(0,1).P3sin21,3cos20,3tan2不存在.xyO特殊角的三角函数值αsinαcosαtanα0304560901802703600643223200000000111111212123232222333不存在不存在弧度例2.已知角α终边上经过点P0(-3,-4),求角的正弦、余弦和正切值.P0(-3,-4)0xyM0P(x,y)M如图，设角α的终边与单位圆交于点P(x,y)，解：分别过点P、P0作x轴的垂线MP，M0P0，则000||5,||4,||,OPMPMPy0||3,||,OMOMx00,OMPOMP∽且siny||||MPOP000||||MPOP4;51ycosx1x||||OMOP00||||OMOP3;5tanyxsincos4.3一般地，设角α终边上任意一点(异于原点)P(x,y),它到原点(顶点)的距离为r0，则sinα=;cosα=;tanα=.yxxryr三角函数的坐标定义：(见教材86页)例2.已知角α终边上经过点P0(-3,-4),求角的正弦、余弦和正切值.解法2：点P0(-3,-4),到原点的距离为22(3)(4)r5.故由三角函数的坐标定义知：sinyr4,5cosxr.3,5tanyx4.3P0(-3,-4)0xyM0变式1：已知角α的终边经过点P(2a,-3a)(a0)，求角α的正弦、余弦、正切值．变式2：已知角α的终边经过点P(2a,-3a)，求角α的正弦、余弦、正切值．变式3______________,1313sin3(mmp则且终边上的一点，）是角，已知点23rm解析：131332mm21划归的思想31322mm412m例3.若角的终边落在直线y=2x上，求α的三角函数值.解：①若角的终边在第一象限，xyO可在其终边上取一点P(1,2)，.P则||POr22125,由三角函数坐标定义得：sinyr2525,5cosxr155,5tanyx2.例3.若角的终边落在直线y=2x上，求α的三角函数值.解：②若角的终边在第三象限，xyO可在其终边上取一点P(-1,-2)，.P则||POr22125,由三角函数坐标定义得：sinyr2525,5cosxr155,5tanyx2.2、三角函数值的符号均为正sinαtanαx0ycosα口诀：“一全、二正、三切、四余”(1)正弦:sinα=y;(2)余弦:cosα=x;(3)正切:tanα=(x≠0).yx规律：“一全正、二正弦正、三正切正、四余弦正”“一全二正弦，三切四余弦”例4判断下列各三角函数值得符号）（））；（（）；（）（672-tan34-sin2250cos1π思考：若成立时，角θ为第几象限角？sin0tan0解：sin0tan0由知θ的终边在第三或第四象限或与x轴的非正半轴重合θ的终边在第一或第三象限故角θ为第三象限角.思考：已知角θ的终边上一点P(x,3)(x≠0)，且cosθ＝1010x，求sinθ，tanθ.解∵r＝x2＋9，cosθ＝xr，∴1010x＝xx2＋9.∵x≠0，∴x＝±1.∵y＝30，∴θ是第一或第二象限角，当θ为第一象限角时，sinθ＝31010，tanθ＝3；当θ为第二象限角时，sinθ＝31010，tanθ＝－3.1.角α的终边经过点P(0,b)则()A.sinα=0B.sinα=1C.sinα=-1D.sinα=±12.若角600o的终边上有一点(-4,a),则a的值是()DB3.34.34.34.DCBA课后练习课后练习3.已知是第三象限且，问是第几象限角？02cos24.若θ在第四象限，试判sin(cosθ)cos(sinθ)的符号课后作业1.教材第88页习题2.《作业本》8.2.1