24.2(2)比例线段

例题：如图，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，；求证：.BOCAODSSOACOOBDODCABOH若已知条件中的换成DC∥AB，其他条件不变，上述结论还成立吗？BOCAODSS练习ABCADBEACBC如图，已知AD、BE是的两条高.求证：.ABPP问：线段AB上特殊位置的点有中点，是否存在这样的点-----分线段AB所得“部分”与“部分”以及“部分”与“整体”之间的比值相等？答：存在问：如何找到这个点确切的位置？寻找线段上的这点需满足什么条件？ABAPAPPBAP＞PB即线段AP是AB和PB的比例中项.如图，线段AB的长度是点P是线段AB上的一点，且求线段AP的长.（用表示）lABAPAPPB问1：由图可知，线段AB、AP、PB之间有怎样的数量关系？答1：AP+PB=AB，即AP+PB=l问2：结合已知条件即，如何求线段AP的长？ABAPAPPBlAPAPPB答2：由ABAPAPPB得关于x的方程lxxx-l.即线段AP是AB和PB的比例中项.ABPlxl-x设线段AP的长为x，则线段PB的长为l-x.l如图，线段AB的长度是点P是线段AB上的一点，且满足求线段AP的长.lABAPAPPB解：线段AP的长为Χ，那么线段PB的长为l－Χlxxxl2()llxx022llxx整理，得25515222llllxl解得因为线段的长不可能为负数，所以舍去；是原方程的根，即线段AP的长是512xl152xl512l由AB=l，AP=，得在比例式中，线段AP是AB和PB的比例中项.l251-618.0215ABAPABAPAPPBABPlxl-xABP如果点P把线段AB分割成AP和PB（APPB)两段,其中AP是AB和PB的比例中项,那么称这种分割为黄金分割,点P称为线段AB的黄金分割点.AP与AB的比值称为黄金分割数(简称黄金数).黄金分割数是一个无理数,在应用时常取它的近似值0.618215ABAPAPPB512xl51:0.6182APAB即lxl-x点P是AB的黄金分割点（AP＞PB）215ABAPAPPB21-5全长长短ABP215全，长=253短=全l21-5l253l215253短=全－长=全－全=全因AP＞PB故可以把线段AP称为较长线段，BP称为较短线段，AB称为全长线段.”解：∵P是线段AB的黄金分割点，根据题意AP＞PB例题1：已知点P是线段AB的黄金分割点，若AB=8,求较长线段AP和较短线段PB.5412)454(8APABPB215∴AP=AB=215454×8=215.（或PB=AP253(或PB=ABABP分析：？8215)454(5412×)253×85412)？如果把AP=2改为PB=2,如何求AB和AP的长.∵P是线段AB的黄金分割点，AP＞PB，解：∵P是线段AB的黄金分割点，AP＞PB，15)15(2例题2：已知点P是线段AB的黄金分割点，AP＞PB，且AP=2求AB和PB的长.215∴PB=APAB=AP+PB2152AP∴15154AP得5.∴AB=AP+PB=3+.ABP2？分析：？152215，.215APPB即21-5全长长短在黄金分割问题中，215全，长=253短=全ABPl21-5l253l已知线段全长、较长线段和较短线段中的一个量可求出其他连个两个量例题3：已知点P是线段AB的黄金分割点，若AB=8,求线段AP的长.（1）当AP＞PB时，（2）当PB＞AP时，线段AP是较长线段还是较短线段不确定，所以要分类讨论.解：ABP1P1分析：8215∴AP=AB=215454×8=253∴AP=AB=2535412×8=一般地一条线段的黄金分割点有两个两个ABP2P11：已知线段MN的长为2厘米，点P是线段MN的黄金分割点，则较长的线段MP的长是厘米，较短的线段PN的长是厘米.2：已知点P是线段AB的黄金分割点，AP＞PB，AB=4厘米，那么线段AP、PB的长度分别是厘米和厘米．(252)(625)(51)(35)3.已知点P是线段AB的黄金分割点，被分得的较长线段PB=4厘米，那么较短线段PA=厘米，AB=厘米．4.已知点P是线段AB的黄金分割点，AB=4厘米，那么线段AP长度是厘米．(252)(252)(252)(625)或通过本节课的学习你得到了哪些新知识，又有哪些收获？1.点P是AB的黄金分割点（AP＞PB）ABP21-5全长长短215全，则：长=2.一条线段的黄金分割点有两个253短=全1112..ADEDBCABCADAESSSDBEC、如图，已知，，求352、如图，在矩形ABCD中截取正方形ABMN，已知MN是BC和CM的比例中项，且CM=,求AD的长.