概率论与数理统计在生活中的应用

概率论与数理统计在生活中的应用摘要:本文不仅介绍了概率论与数理统计的理论知识，更将其与生活中的经济现象相结合，从如何提高彩票中奖原则、调整进货量、投资收益最大化三个角度来具体阐述概率论与数理统计的奥妙，也在其中渗透了这门学科的分析方法，全面立体直观的说明了概率论与数理统计和生活的紧密联系，让人们能够意识到这门学科对生活的重要的指导作用。关键词：概率论与数理统计；彩票；规律；分析法概率论与数理统计是研究随机现象统计规律的一门数学学科,也是工科大学的一门应用性很强的必修基础课。随着经济的发展，这门学科与我们的生活联系的越来越紧密，通过对概率的推算，解释了生活中一些小概率事件，而对结果进行的数理统计又很好的指导了我们的规避风险。这门课不再单纯的作为一门课程安排，更是走进了我们的实际生活，发挥着无可替代的作用。1.近年兴起的彩票业中渗透着概率论的一些知识和内容。(1)对于彩票购买者来说，应该适当做一些准备工作，对彩票的选号、组号技巧有所了解，尽可能地接近中奖号码区域。下面运用概率统计学来探讨购买彩票的一些小技巧。通过增加购买彩票的数量提高中奖概率。通过一个简单的例子来看这个问题：已知n张彩票中只有2张有奖，现从中任取k张，为了使这k张中只有2张有奖里至少有一张有奖彩票的概率大于0.5，问k至少是多少？解：设x为所取的k张彩票中有奖彩票的张数，则X=0，1，2.显然有P（x=m）=𝐶2𝑚𝐶𝑛−2𝑘−𝑚𝐶𝑛𝑘，（m=0,1,2）。则所求概率P（x≥1）=1-P（x=0）=1-𝐶𝑛−2𝑘𝐶𝑛，𝑘≥0.5.即（n-k-1）（n-k）/n（n-1）≤0.5令x=n-k，则得到：2x-(n-n)≤0.得k≥n-1/2（1+1+2(𝑛2−𝑛)）由此不等式可以看出，k必须达到一定数值才能满足此要求（k的最小值要根据n的实际值来定），所以通过增加购买彩票的数量提高中奖概率增加获奖机会的方法可以采用，尤其是在彩票发行了一定数量而大奖还没产生的情况下，采用这种办法尤为有效。(2)根据奖号中有重复数字的规律选号增加获奖机会目前，全国大多数地区体育彩票中奖号码是从0-9这10个数字中，可重复抽取七个数字依次排列组成，对于这种确定中奖号码的方式，可计算中奖号码有重复数字的概率.由古典概率计算方法，中奖号码中七个数字全部不同的概率为10×9×8×7×6×5×4/107=0.06048。那么，七个数字中至少有两个数字相同的概率为1-0.06048=93.952%，即每注彩票七个数字中至少有两个相同，根据这个也可以帮我们增加中奖机会。(3)奖号中一般有连号出现我们先来计算奖号中没有连号的概率是多少。假设某次奖号01abcdefg35,这七个数字彼此不相连的充要条件是：01ab-1c-2d-3e-4f-5g-629，即从01-29中任意取七个数字a，b-1，c-2，d-3，e-4，f-5，g-6，就可以得到一个没有连号的奖号，反之亦然。因此不连号的奖号出现的概率p=C297𝐶357=23.21％,出现连号的概率p=1-23.21%=76.79%。(4)与上期同号福利彩票的中奖号码很多期总有相同号出现，即上期中奖号与本期中奖号雷同，考虑与上一期奖号完全不同的情况有种选取方法，故本期奖号与上一期奖号数字完全不同的概率为P=𝐶287𝐶357≈17.61%.因此与上一期奖号有相同号码的概率为P=1-17.61%=82.39%。另外，在以统计为原则的前提下，对号码可能出现的诸多因素进行预测分析，对所筛选出的号码进行取舍，在一定程度上也能够增加中奖机会.而且摇奖过程相当重要，分析在每次摇奖中哪些区段的号码球先摇出来，总结出已开期奖号出现的先后次序和规律，对选号也有很大的参考作用。2．进货问题的应用设某种商品每周的需求ζ是取从区间[10，30]上均匀分布的随机变量，经销商进货量为区间[10，30]中的某一整数，商店每销售一单位商品可获利5000元，若供大于求，则削价处理，每处理一单位商品亏损100元。若供不应求，则可以外部调剂供应。此时一单位商品获利300元。为使商品所获利润期望不少于9280元，试确定进货量。解：在此设进货量为a，则利润η=g（ζ）＝500a+ζ−a×300(a𝑋≤30)500ζ−a−ζ×100(10≤X≤a)＝300a+300a(a𝑋≤30)600ζ−100a(10≤X≤a)期望利润为E（η）=120𝑔(𝑥)𝑑𝑥300=120(600𝑥−100𝑎)𝑎0dx+120(300𝑥+200𝑎)30𝑎dx=-7.5𝑎2+350a+5250≥9280依题意有-7.5𝑎2+350a+5250≥9280，所以2023≤a≤26故利润期望值不少于9280元的最少进货量为21，22，23，24，25，26。3.概率在投资项目中的具体应用研究这一课题时可以从概率的分析方法入手层次分析法当研究一组不确定因素的未来发展趋势时，必须考虑各因素之间存在的相互作用、潜在影响。由于影响经济评价指标的各个不确定因素可以分为若干层次，而每一层次又由若干要素组成，其结构恰似多级递阶结构，可以利用层次分析法来判断各个不确定因素对目标的相对重要度，即出现概率。应用层次分析法建立数学模型可分为四个步骤：建立问题的递阶层次结构模型；对同一层次的要素以上一级的要素为准则进行两两比较，并根据评定尺度确定其相对重要程度，据此构造判断矩阵；计算各要素的相对重要度；计算综合重要度，为决策者提供科学的决策依据。（2）蒙特卡罗法蒙特卡罗(MonteCarlo)方法是以概率论与数理统计原理为基础，通过反复进行随机抽样来模拟影响项目投资的不确定因素的变化，计算分析这些不确定因素对目标的影响。它能够真实地模拟实际过程，故解决问题与实际非常符合，可以得到很圆满的结果。其数学表达式为：Y=f（x1,x2,...,xn)(1)式中的xi(i=1，2，⋯，n)是n个相互独立的随机变量，比如影响项目的各不确定因素，这些变量具有各自的概率分布；)，y是n个变量的函数，是求解的目标，比如项目的经济评价净现值指标。若对各变量Xi进行一次随机抽样，便可得到一组变量值，代人式(1)式即可得到一个Y值。若经过若干次抽样及运算，无疑可得到变量Y的概率分布，这个分布就是Y的样本分布。随着抽样次数的无限增加，Y的样本分布便趋于其总体的概率分布。根据Y的概率分布，就可得到其期望值、方差等参数，进而得到其风险程度。对于经济评价来说，蒙特卡罗方法的求解过程可归纳为两个主要步骤：1)实现从已知概率分布抽样；2)建立统计量即目标关于不确定因素的函数，并计算。其中，步骤1)所需要的概率分布由层次分析法得到。步骤2)中常常以财务净现值、财务内部收益率、投资回收期等指标作为不确定性分析的统计量。在实际生活中可以体现为某金融部门的商业贷款贷款按时间长短分为三种：1年以内、1年～5年、5年以上。现该金融部门1年以内的贷款20%能收回，80%转为1年～5年贷款；1年～5年的贷款有50%能收回，50%转为5年以上贷款；5年以上的贷款有90%能收回，10%看作不能收回。现在三种贷款额分别为：400万元、300万元、300万元。这里预测，经无数次转移后这1000万元贷款中有多少能收回，有多少不能收回。在此资料中，我们把一年以内的贷款看作处于状态“1”，把1年～5年的贷款看作处于状态“2”，把5年以上的贷款看作处于状态“3”，把5年以上能收回的贷款看作处于状态“4”，把5年以上不能收回的贷款看作处于状态“5”。采用马尔柯夫预测法通过对定型状态和不定型状态无数次转移，然后与三种贷款金额相乘。经预测，在这1000万元贷款中有939万元能收回，有61万元不能收回。从以上这些例子，我们可以看到在生活中处处都能体现出概率论与数理统计的知识，小到一张彩票，大到进货投资，都运用到了这门学问的原理或分析方法，如果我们能够灵活运用，将理论与实践相结合，就会避免一些不必要的错误，达到事半功倍的效果。参考文献[1]陈东峰,汪飞星.“概率统计”教学中注重学生认知结构的完善[J].泰山学院学报2005年06期[2]王彩芬.理工类概率统计教材的研究与探讨[J].高等理科教育2006年06期[3]吕效国.概率统计教学内容的思考[J].江苏教育学院学报(自然科学版)2006年03期[4]朱全新.《概率统计》课程的教学探讨[J].中山大学学报论丛2006年06期[5]万星火,檀亦丽,姜君娜.《概率统计》考试命题的一点想法[J].河北理工大学学报(社会科学版)2006年04期[6]张驰.概率统计课程应重视统计和统计思想的教学[J].高等教育研究2006年03期[7]刘凤霞.概率统计课程教学方式的探索与实践[J].辽宁高职学报2007年09期[8]李波,杨朝植.关于概率统计课程教学的几点思考[J].保山师专学报2008年05期[9]邓英东.《概率统计》课程教学方法研究[J].南通大学学报(教育科学版)2008年04期[10]祁蕾茜.研究性学习理念指导下的概率统计教学初探[J].徐州教育学院学报2008年03期