常微分方程答案-第三章

习题3.11.求方程2dyxydx通过点(0,0)的第三次近似解。解：2,fxyxy，令00()0xy，则0210001,2xxxxyfxxdxxdxx02252010111,2220xxxxyfxxdxxxdxxx0302225258110,1111112202201604400xxxxyfxxdxxxxdxxxxx为所求的第三次近似解。3.求初值问题22,:11,1,10dyxyRxydxy(1)的解的存在区间，并求第二次近似解，给出在解的存在空间的误差估计。解：因为22,fxyxy，1ab，,max,4xyRMfxy，所以1min,4bhaM，从而解得存在区间为114x，即5344x。又因为22,fxyxy在R上连续，且由22fyyL可得,fxy在R上关于y满足Lipschitz条件，所以Cauchy问题(1)在5344x有唯一解yx。令00()0xy，则02310011,13xxxxyfxxdxxdxx02347232011111,1342931863xxxxxxxxyfxxdxxxdx误差为：32121!24LhMxxL10.给定积分方程,baxfxKxd(*)其中fx是,ab上的已知连续函数，,Kx是axb，ab上的已知连续函数。证明当足够小时(是常数)，(*)在,ab上存在唯一的连续解。证明：分四个步骤来证明。㈠.构造逐步逼近函数序列0xfx1,,0,1,2,bnnaxfxKxdn由fx是,ab上的连续函数可得0x在,ab上连续，故再由,Kx是axb，ab上的连续函数可得1x在,ab上连续，由数学归纳法易证nx在,ab上连续。㈡.证明函数列nx在,ab上一致收敛。考虑级数011,,kkkxxxxab(2)由011nkknkxxxx知，nx的一致收敛性与级数(2)的一致收敛性等价。令maxaxbMfx，,max,axbabLbaKx。由(2)有10,,,max,maxbababaaxbababxxKxfdKxfdKxfdML所以2110102,,,bababaxxKxdKxdMLKxdML假设对正整数n，有不等式1,,nnnxxMLxab(3)则1111,,,,,bnnnnabnnabnnaxxKxdKxdMLKxdMLxab所以(3)对任意正整数n都成立。因为1nnML为正项级数，且当足够小时，,max,1axbabLbaKx(4)故1nnML收敛，从而由Weierstrass判别法，级数11kkkxx一致收敛，故级数(2)一致收敛，所以函数列nx在,ab上一致收敛。㈢.证明limnnxx是积分方程(*)在,ab上的连续解。因为由㈠和㈡可得nx在,ab上连续，nx在,ab上一致收敛，故x在,ab上连续，且函数列,nKxx在,ab上一致收敛，所以对1,bnnaxfxKxd两边取极限可得1limlim,,limbnnannbnanxfxKxdfxKxd从而,baxfxKxd所以x是积分方程(*)在,ab上的连续解。㈣.证明x是积分方程(*)在,ab上的唯一解。设x是积分方程(*)在,ab上的另一连续解，则,baxfxKxd令gxxx，则,,max,maxbababaaxbaxbgxKxdKxdxxKxdLgx对,xab都成立，上式两边对x取最大值可得maxmaxaxbaxbgxLgx如果max0axbgx，则由上式有1L这与(4)矛盾，故max0axbgx，即0gx，所以xx，从而x是积分方程(*)在,ab上的唯一解。证毕。