选修2-3教案1.3.1二项式定理

1．3．1二项式定理教学目标：知识与技能：进一步掌握二项式定理和二项展开式的通项公式过程与方法：能解决二项展开式有关的简单问题情感、态度与价值观：教学过程中，要让学生充分体验到归纳推理不仅可以猜想到一般性的结果，而且可以启发我们发现一般性问题的解决方法。教学重点：二项式定理及通项公式的掌握及运用奎屯王新敞新疆教学难点：二项式定理及通项公式的掌握及运用奎屯王新敞新疆授课类型：新授课奎屯王新敞新疆课时安排：3课时奎屯王新敞新疆教具：多媒体、实物投影仪奎屯王新敞新疆内容分析：二项式定理是初中乘法公式的推广，是排列组合知识的具体运用，是学习概率的重要基础．这部分知识具有较高应用价值和思维训练价值．中学教材中的二项式定理主要包括：定理本身，通项公式，杨辉三角，二项式系数的性质等．通过二项式定理的学习应该让学生掌握有关知识，同时在求展开式、其通项、证恒等式、近似计算等方面形成技能或技巧；进一步体会过程分析与特殊化方法等等的运用；重视学生正确情感、态度和世界观的培养和形成．二项式定理本身是教学重点，因为它是后面一切结果的基础．通项公式，杨辉三角，特殊化方法等意义重大而深远，所以也应该是重点．二项式定理的证明是一个教学难点．这是因为，证明中符号比较抽象、需要恰当地运用组合数的性质2、需要用到不太熟悉的数学归纳法．在教学中，努力把表现的机会让给学生，以发挥他们的自主精神；尽量创造让学生活动的机会，以让学生在直接体验中建构自己的知识体系；尽量引导学生的发展和创造意识，以使他们能在再创造的氛围中学习．教学过程：一、复习引入：⑴22202122222()2abaabbCaCabCb；⑵33223031222333333()33abaababbCaCabCabCb奎屯王新敞新疆⑶4()()()()()ababababab的各项都是4次式，即展开式应有下面形式的各项：4a，3ab，22ab，3ab，4b，展开式各项的系数：上面4个括号中，每个都不取b的情况有1种，即04C种，4a的系数是04C；恰有1个取b的情况有14C种，3ab的系数是14C，恰有2个取b的情况有24C种，22ab的系数是24C，恰有3个取b的情况有34C种，3ab的系数是34C，有4都取b的情况有44C种，4b的系数是44C，∴40413222334444444()abCaCabCabCabCb．二、讲解新课：二项式定理：01()()nnnrnrrnnnnnnabCaCabCabCbnN⑴()nab的展开式的各项都是n次式，即展开式应有下面形式的各项：na，nab，…，nrrab，…，nb，⑵展开式各项的系数：每个都不取b的情况有1种，即0nC种，na的系数是0nC；恰有1个取b的情况有1nC种，nab的系数是1nC，……，恰有r个取b的情况有rnC种，nrrab的系数是rnC，……，有n都取b的情况有nnC种，nb的系数是nnC，∴01()()nnnrnrrnnnnnnabCaCabCabCbnN，这个公式所表示的定理叫二项式定理，右边的多项式叫()nab的二项展开式，⑶它有1n项，各项的系数(0,1,)rnCrn叫二项式系数，⑷rnrrnCab叫二项展开式的通项，用1rT表示，即通项1rnrrrnTCab．⑸二项式定理中，设1,abx，则1(1)1nrrnnnxCxCxx奎屯王新敞新疆三、讲解范例：例1．展开41(1)x．解一：411233444411111(1)1()()()()CCCxxxxx23446411xxxx．解二：4444413123444111(1)()(1)()1xxCxCxCxxxx23446411xxxx．例2．展开61(2)xx．解：66311(2)(21)xxxx61524332216666631[(2)(2)(2)(2)(2)(2)1]xCxCxCxCxCxx32236012164192240160xxxxxx．例3．求12()xa的展开式中的倒数第4项奎屯王新敞新疆解：12()xa的展开式中共13项，它的倒数第4项是第10项，9129933939911212220TCxaCxaxa．例4．求（1）6(23)ab，（2）6(32)ba的展开式中的第3项．解：（1）24242216(2)(3)2160TCabab，（2）24242216(3)(2)4860TCbaba．点评：6(23)ab，6(32)ba的展开后结果相同，但展开式中的第r项不相同奎屯王新敞新疆例5．（1）求93()3xx的展开式常数项；（2）求93()3xx的展开式的中间两项奎屯王新敞新疆解：∵3992921993()()33rrrrrrrxTCCxx，∴（1）当390,62rr时展开式是常数项，即常数项为637932268TC；（2）93()3xx的展开式共10项，它的中间两项分别是第5项、第6项，489912593423TCxx，159510932693378TCxx奎屯王新敞新疆例6．（1）求7(12)x的展开式的第4项的系数；（2）求91()xx的展开式中3x的系数及二项式系数奎屯王新敞新疆解：7(12)x的展开式的第四项是333317(2)280TCxx，∴7(12)x的展开式的第四项的系数是280．（2）∵91()xx的展开式的通项是9921991()(1)rrrrrrrTCxCxx，∴923r，3r，∴3x的系数339(1)84C，3x的二项式系数3984C．例7．求42)43(xx的展开式中x的系数奎屯王新敞新疆分析：要把上式展开，必须先把三项中的某两项结合起来，看成一项，才可以用二项式定理展开，然后再用一次二项式定理，，也可以先把三项式分解成两个二项式的积，再用二项式定理展开奎屯王新敞新疆解：（法一）42)43(xx42]4)3[(xx02412344(3)(3)4CxxCxx22224(3)4Cxx3234444(3)44CxxC，显然，上式中只有第四项中含x的项，∴展开式中含x的项的系数是76843334C（法二）：42)43(xx4)]4)(1[(xx44)4()1(xx)(4434224314404CxCxCxCxC0413222334444444(4444)CxCxCxCxC∴展开式中含x的项的系数是34C334444C768．例8．已知nmxxxf4121)(*(,)mnN的展开式中含x项的系数为36，求展开式中含2x项的系数最小值奎屯王新敞新疆分析：展开式中含2x项的系数是关于nm,的关系式，由展开式中含x项的系数为36，可得3642nm，从而转化为关于m或n的二次函数求解奎屯王新敞新疆解：1214mnxx展开式中含x的项为1124mnCxCx11(24)mnCCx∴11(24)36mnCC，即218mn，1214mnxx展开式中含2x的项的系数为t222224mnCC222288mmnn，∵218mn，∴182mn，∴222(182)2(182)88tnnnn216148612nn23715316()44nn，∴当378n时，t取最小值，但*nN，∴5n时，t即2x项的系数最小，最小值为272，此时5,8nm．例9．已知41()2nxx的展开式中，前三项系数的绝对值依次成等差数列，（1）证明展开式中没有常数项；（2）求展开式中所有的有理项奎屯王新敞新疆解：由题意：1221121()22nnCC，即0892nn，∴8(1nn舍去）∴81841()2rrrrTCxx82481()2rrrrCxx1638412rrrrCx08rrZ①若1rT是常数项，则04316r，即0316r，∵rZ，这不可能，∴展开式中没有常数项；②若1rT是有理项，当且仅当4316r为整数，∴08,rrZ，∴0,4,8r，即展开式中有三项有理项，分别是：41xT，xT8355，292561xT奎屯王新敞新疆例10．求60.998的近似值，使误差小于0.001．解：66011666660.998(10.002)(0.002)(0.002)CCC，展开式中第三项为2260.0020.00006C，小于0.001，以后各项的绝对值更小，可忽略不计，∴66011660.998(10.002)(0.002)0.998CC，一般地当a较小时(1)1nana奎屯王新敞新疆四、课堂练习：1.求623ab的展开式的第3项.2.求632ba的展开式的第3项.3.写出n33)x21x(的展开式的第r+1项.4.求732xx的展开式的第4项的二项式系数，并求第4项的系数.5.用二项式定理展开：（1）53()ab；（2）52()2xx.6.化简：（1）55)x1()x1(；（2）4212142121)x3x2()x3x2(7．5lgxxx展开式中的第3项为610，求x．8．求nxx21展开式的中间项奎屯王新敞新疆答案：1.262242216(2)(3)2160TCabab奎屯王新敞新疆2.262224216(3)(2)4860TCbaab奎屯王新敞新疆3.2331311()()22rnrrnrrrrnnTCxCxx奎屯王新敞新疆4.展开式的第4项的二项式系数3735C，第4项的系数3372280C奎屯王新敞新疆5.（1）335543222333()510105abaababababbbb；（2）5223215()52040322328xxxxxxxxxxxxx.6.（1）552(1)(1)22010xxxx；（2）1111442222432(23)(23)192xxxxxx奎屯王新敞新疆7.5lgxxx展开式中的第3项为232lg632lg551010xxCxx22lg3lg50xx5lg1,lg2xx1010,1000xx奎屯王新敞新疆8.nxx21展开式的中间项为2(1)nnnC奎屯王新敞新疆五、小结：二项式定理的探索思路:观察——归纳——猜想——证明；二项式定理及通项公式的特点奎屯王新敞新疆六、课后作业：P36习题1.3A组1.2.3.4七、板书设计（略）奎屯王新敞新疆八、教学反思：(a+b)ｎ=这个公式表示的定理叫做二项式定理，公式右边的多项式叫做(a+b)ｎ的，其中rnC（r=0,1,2,……,n）叫做，叫做二项展开式的通项，它是展开式的第项，展开式共有个项.掌握二项式定理和二项展开式的通项公式，并能用它们解决与二项展开式有关的简单问题。培养归纳猜想，抽象概括，演绎证明等理性思维能力。教材的探求过程将归纳推理与演绎推理有机结合起来，是培养学生数学探究能力的极好载体，教学过程中，要让学生充分体验到归纳推理不仅可以猜想到一般性的结果，而且可以启发我们发现一般性问题的解决方法。二项式定理是指rrnrnnnnnnnbababaabaCCC)(22211nnnbC这样一个展开式的公式.它是(a+b)2=a2+2ab+b2，(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3…等等展开式的一般形式，在初等数学中它各章节的联系似乎不太多，而在高等数学中它是许