初二数学经典题型(含答案)

初二数学经典题型1．已知：如图，P是正方形ABCD内点，∠PAD＝∠PDA＝150．求证：△PBC是正三角形．2.已知：如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，M、N分别是AB、CD的中点，AD、BC的延长线交MN于E、F．求证：∠DEN＝∠F．3、如图，分别以△ABC的AC和BC为一边，在△ABC的外侧作正方形ACDE和正方形CBFG，点P是EF的中点．求证：点P到边AB的距离等于AB的一半．4、设P是平行四边形ABCD内部的一点，且∠PBA＝∠PDA．求证：∠PAB＝∠PCB．5.P为正方形ABCD内的一点，并且PA＝a，PB＝2a，PC=3a正方形的边长．6.如图，P是边长为1的正方形ABCD对角线AC上一动点（P与A、C不重合），点E在射线BC上，且PE=PB.（1）求证：①PE=PD；②PE⊥PD；（2）设AP=x,△PBE的面积为y.ANFECDMBAPCDBPCGFBQADE①求出y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；②当x取何值时，y取得最大值，并求出这个最大值.答案1、证明如下。首先，PA=PD，∠PAD=∠PDA=（180°-150°）÷2=15°，∠PAB=90°-15°=75°。在正方形ABCD之外以AD为底边作正三角形ADQ，连接PQ，则∠PDQ=60°+15°=75°，同样∠PAQ=75°，又AQ=DQ,，PA=PD，所以△PAQ≌△PDQ，那么∠PQA=∠PQD=60°÷2=30°，在△PQA中，∠APQ=180°-30°-75°=75°=∠PAQ=∠PAB，于是PQ=AQ=AB，显然△PAQ≌△PAB，得∠PBA=∠PQA=30°，PB=PQ=AB=BC，∠PBC=90°-30°=60°，所以△ABC是正三角形。2、证明:连接AC,并取AC的中点G,连接GF,GM.又点N为CD的中点,则GN=AD/2;GN∥AD,∠GNM=∠DEM;(1)同理:GM=BC/2;GM∥BC,∠GMN=∠CFN;(2)又AD=BC,则:GN=GM,∠GNM=∠GMN.故:∠DEM=∠CFN.3、证明：分别过E、C、F作直线AB的垂线，垂足分别为M、O、N，在梯形MEFN中，WE平行NF因为P为EF中点，PQ平行于两底所以PQ为梯形MEFN中位线，所以PQ＝（ME＋NF）/2又因为，角0CB＋角OBC＝90°＝角NBF＋角CBO所以角OCB=角NBF而角C0B＝角Rt＝角BNFCB=BF所以△OCB全等于△NBF△MEA全等于△OAC（同理）所以EM＝AO，0B＝NF所以PQ=AB/2.4、过点P作DA的平行线，过点A作DP的平行线，两者相交于点E；连接BE因为DP//AE，AD//PE所以，四边形AEPD为平行四边形所以，∠PDA=∠AEP已知，∠PDA=∠PBA所以，∠PBA=∠AEP所以，A、E、B、P四点共圆所以，∠PAB=∠PEB因为四边形AEPD为平行四边形，所以：PE//AD，且PE=AD而，四边形ABCD为平行四边形，所以：AD//BC，且AD=BC所以，PE//BC，且PE=BCPADCB即，四边形EBCP也是平行四边形所以，∠PEB=∠PCB所以，∠PAB=∠PCB5解：将△BAP绕B点旋转90°使BA与BC重合，P点旋转后到Q点，连接PQ因为△BAP≌△BCQ所以AP＝CQ，BP＝BQ，∠ABP＝∠CBQ，∠BPA＝∠BQC因为四边形DCBA是正方形所以∠CBA＝90°，所以∠ABP＋∠CBP＝90°，所以∠CBQ＋∠CBP＝90°即∠PBQ＝90°，所以△BPQ是等腰直角三角形所以PQ＝√2*BP，∠BQP＝45因为PA=a，PB=2a，PC=3a所以PQ＝2√2a，CQ＝a，所以CP^2＝9a^2，PQ^2＋CQ^2＝8a^2＋a^2＝9a^2所以CP^2＝PQ^2＋CQ^2，所以△CPQ是直角三角形且∠CQA＝90°所以∠BQC＝90°＋45°＝135°，所以∠BPA＝∠BQC＝135°作BM⊥PQ则△BPM是等腰直角三角形所以PM＝BM＝PB/√2＝2a/√2＝√2a所以根据勾股定理得：AB^2＝AM^2＋BM^2＝(√2a＋a)^2＋(√2a)^2＝[5＋2√2]a^2所以AB＝[√(5＋2√2)]a6.解：（1）证法一：①∵四边形ABCD是正方形，AC为对角线，∴BC=DC,∠BCP=∠DCP=45°.∵PC=PC，∴△PBC≌△PDC（SAS）.∴PB=PD，∠PBC=∠PDC.又∵PB=PE，∴PE=PD.②（i）当点E在线段BC上(E与B、C不重合)时，∵PB=PE，∴∠PBE=∠PEB，∴∠PEB=∠PDC，∴∠PEB+∠PEC=∠PDC+∠PEC=180°，∴∠DPE=360°-(∠BCD+∠PDC+∠PEC)=90°，∴PE⊥PD.）（ii）当点E与点C重合时，点P恰好在AC中点处，此时，PE⊥PD.（iii）当点E在BC的延长线上时，如图.∵∠PEC=∠PDC，∠1=∠2，∴∠DPE=∠DCE=90°，∴PE⊥PD.综合（i）（ii）（iii）,PE⊥PD.（2）①过点P作PF⊥BC，垂足为F，则BF=FE.∵AP=x，AC=2，ACBPDABCPDEFABCDPE12H∴PC=2-x，PF=FC=xx221)2(22.BF=FE=1-FC=1-(x221)=x22.∴S△PBE=BF·PF=x22(x221)xx22212.即xxy22212(0＜x＜2).②41)22(21222122xxxy.∵21a＜0，∴当22x时，y最大值41.（1）证法二：①过点P作GF∥AB，分别交AD、BC于G、F.如图所示.∵四边形ABCD是正方形，∴四边形ABFG和四边形GFCD都是矩形，△AGP和△PFC都是等腰直角三角形.∴GD=FC=FP，GP=AG=BF，∠PGD=∠PFE=90°.又∵PB=PE，∴BF=FE，∴GP=FE，∴△EFP≌△PGD（SAS）.∴PE=PD.②∴∠1=∠2.∴∠1+∠3=∠2+∠3=90°.∴∠DPE=90°.∴PE⊥PD.（2）①∵AP=x，∴BF=PG=x22，PF=1-x22.∴S△PBE=BF·PF=x22(x221)xx22212.即xxy22212(0＜x＜2).②41)22(21222122xxxy.∵21a＜0，∴当22x时，y最大值41.26．（本小题满分8分）ABCPDEFG123如图1，在四边形ABCD中，ABCD，EF、分别是BCAD、的中点，连结EF并延长，分别与BACD、的延长线交于点MN、，则BMECNE（不需证明）．（温馨提示：在图1中，连结BD，取BD的中点H，连结HEHF、，根据三角形中位线定理，证明HEHF，从而12，再利用平行线性质，可证得BMECNE．）问题一：如图2，在四边形ADBC中，AB与CD相交于点O，ABCD，EF、分别是BCAD、的中点，连结EF，分别交DCAB、于点MN、，判断OMN△的形状，请直接写出结论．问题二：如图3，在ABC△中，ACAB，D点在AC上，ABCD，EF、分别是BCAD、的中点，连结EF并延长，与BA的延长线交于点G，若60EFC°，连结GD，判断AGD△的形状并证明．26．（1）等腰三角形·······················································································1分（2）判断出直角三角形···················································································1分证明：如图连结BD，取BD的中点H，连结HFHE、，····································1分F是AD的中点，HFAB∥，12HFAB，13．同理，12HECDHECD∥，，2EFC．ABCD，HFHE，12．································································································1分60EFC°，360EFCAFG°，AGF△是等边三角形．···············································································2分AFFD，GFFD，30FGDFDG°90AGD°即AGD△是直角三角形．··············································································2分ACBDFENMOEBCDHAFNM12图1图2图3ABCDFGEABCDFGHE123