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第2节用样本估计总体基础梳理考点突破1.作频率分布直方图的步骤基础梳理抓主干固双基质疑探究1:频率分布直方图中纵轴表示什么含义?小长方形的面积表示什么?各小长方形面积之和等于多少?提示:频率组距,频率,1.2.频率分布折线图和总体密度曲线(1)频率分布折线图连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点,就得频率分布折线图.(2)总体密度曲线随着样本容量的增加,作图时所分的组数增加,组距减小,相应的频率折线图会越来越接近于一条光滑曲线,即总体密度曲线.3.茎叶图定义是统计中用来表示数据的一种图,茎是指中间的一列数,叶就是从茎的旁边生长出来的数画法对于样本数据较少,且分布较为集中的一组数据:若数据是两位整数,则将十位数字作茎,个位数字作叶;若数据是三位整数,则将百位、十位数字作茎,个位数字作叶.样本数据为小数时做类似处理.对于样本数据较少,且分布较为集中的两组数据,关键是找到两组数据共有的茎优缺点用茎叶图表示数据的优点是:(1)所有的信息都可以从茎叶图中得到;(2)便于记录和读取,能够展示数据的分布情况.缺点是:当样本数据较多或数据位数较多时,茎叶图就显得不太方便4.样本的数字特征见附表质疑探究2:怎样利用频率分布直方图求众数、中位数与平均数?提示:在频率分布直方图中:(1)最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数;(2)中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的;(3)平均数是频率分布直方图的“重心”,等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和.质疑探究3:平均数、标准差与方差反映了数据的哪些特征?提示:平均数反映了数据取值的平均水平,标准差、方差反映了数据对平均数的波动情况,即标准差、方差越大,数据的离散程度越大,越不稳定;反之离散程度越小,越稳定.双基自测1.(2013潍坊一模)某校从参加高二年级学业水平测试的学生中抽出100名学生,其数学成绩的频率分布直方图如图所示.其中成绩分组区间是[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100].则成绩在[80,100]上的人数为(D)(A)70(B)60(C)35(D)30解析:由题知成绩在[80,100]的人数为(0.025×10+0.005×10)×100=30.故选D.2.(2012年高考陕西卷)对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计,得到样本的茎叶图(如图所示),则该样本的中位数、众数、极差分别是(A)(A)46,45,56(B)46,45,53(C)47,45,56(D)45,47,53解析:由题意知各数为12,15,20,22,23,23,31,32,34,34,38,39,45,45,45,47,47,48,48,49,50,50,51,51,54,57,59,61,67,68,中位数是46,众数是45,最大数为68,最小数为12,极差为68-12=56.故选A.3.对于样本频率分布折线图与总体密度曲线的关系,下列说法中正确的是(D)(A)频率分布折线图与总体密度曲线无关(B)频率分布折线图就是总体密度曲线(C)样本容量很大的频率分布折线图就是总体密度曲线(D)如果样本容量无限增大,分组的组距无限减小,那么频率分布折线图就会无限接近于总体密度曲线解析:总体密度曲线是频率分布折线图在样本容量无限大,组距无限小时一个理想曲线,是有关系的,故选项A错误;由选项A解释知道,频率分布折线图只能无限趋近于总体密度曲线,但不能说就是总体密度曲线,所以选项B错误;同理选项C也错误;如果样本容量无限增大,分组的组距无限缩小,那么频率分布折线图就会无限接近于一条光滑的曲线,这条光滑的曲线就是总体密度曲线,故选D.4.(2013年高考湖北卷)某学员在一次射击测试中射靶10次,命中环数如下:7,8,7,9,5,4,9,10,7,4则(1)平均命中环数为;(2)命中环数的标准差为.解析:(1)x=7879549107410=7.(2)s2=110[(7-7)2+(8-7)2+(7-7)2+(9-7)2+(5-7)2+(4-7)2+(9-7)2+(10-7)2+(7-7)2+(4-7)2]=4.∴s=2.答案:(1)7(2)2考点突破剖典例知规律考点一频率分布直方图的画法及应用【例1】某市某年4月1日～4月30日对空气污染指数的监测数据如下(主要污染物为可吸入颗粒):61,76,70,56,81,91,92,91,75,81,88,67,101,103,95,91,77,86,81,83,82,82,64,79,86,85,75,71,49,45.(1)作出频率分布表;(2)作出频率分布直方图;(3)根据国家标准,污染指数在0～50之间时,空气质量为优;在51～100之间时,为良;在101～150之间时,为轻微污染;在151～200之间时,为轻度污染.请你依据所给数据和上述标准,对该市的空气质量给出一个简短评价.思维导引:(1)对数据进行分组、统计作出频率分布表;(2)根据频率分布表中统计的数据作出频率分布直方图;(3)根据所给标准,结合频率分布表作出评价.解:(1)频率分布表.分组频数频率[41,51)2115[51,61)1130[61,71)4215[71,81)615[81,91)1013[91,101)516[101,111)2115(2)频率分布直方图:(3)答对下述两条中的一条即可:①该市一个月中空气污染指数有2天处于优的水平,占当月天数的115.有26天处于良的水平,占当月天数的1315.处于优或良的天数共有28天,占当月天数的1415.说明该市空气质量基本良好.②轻微污染有2天,占当月天数的115.污染指数在80以上的接近轻微污染的天数有15天,加上处于轻微污染的天数,共有17天,占当月天数的1730,超过50%.说明该市空气质量有待进一步改善.反思归纳(1)绘制频率分布直方图时需注意:①制作好频率分布表后可以利用各组的频率之和是否为1来检验该表是否正确;②频率分布直方图的纵坐标是频率组距,而不是频率.(2)由频率分布直方图进行相关计算时,需掌握下列关系式:频率组距×组距=频率.即时突破1(2012年高考山东卷)如图是根据部分城市某年6月份的平均气温(单位:℃)数据得到的样本频率分布直方图,其中平均气温的范围是[20.5,26.5],样本数据的分组为[20.5,21.5),[21.5,22.5),[22.5,23.5),[23.5,24.5),[24.5,25.5),[25.5,26.5].已知样本中平均气温低于22.5℃的城市个数为11,则样本中平均气温不低于25.5℃的城市个数为.解析:结合直方图和样本数据的特点求解.最左边两个矩形面积之和为0.10×1+0.12×1=0.22,总城市数为11÷0.22=50,最右面矩形面积为0.18×1=0.18,50×0.18=9.答案:9考点二茎叶图的画法及应用【例2】某良种培育基地正在培育一种小麦新品种A.将其与原有的一个优良品种B进行对照试验.两种小麦各种植了25亩,所得亩产数据(单位:千克)如下:品种A:357,359,367,368,375,388,392,399,400,405,412,414,415,421,423,423,427,430,430,434,443,445,445,451,454品种B:363,371,374,383,385,386,391,392,394,394,395,397,397,400,401,401,403,406,407,410,412,415,416,422,430(1)作出茎叶图;(2)通过观察茎叶图,对品种A与B的亩产量及其稳定性进行比较,写出统计结论.思维导引:根据数据画出茎叶图,然后根据数据分布特点进行推断和估计.解:(1)(2)结合茎叶图可知:①品种A的亩产平均数比品种B高;②品种A的亩产标准差(或方差)比品种B大,故品种A的亩产稳定性较差.反思归纳(1)茎叶图中保留了原始数据,便于记录和表示.(2)当样本数据较少时,用茎叶图表示数据的效果较好,而样本数据较多时,则不方便记录.即时突破2(2013青岛一模)为了从甲、乙两人中选一人参加数学竞赛,老师将二人最近6次数学测试的分数进行统计,甲乙两人的平均成绩分别是x甲、x乙,则下列说法正确的是()(A)x甲x乙,乙比甲成绩稳定,应选乙参加比赛(B)x甲x乙,甲比乙成绩稳定,应选甲参加比赛(C)x甲x乙,甲比乙成绩稳定,应选甲参加比赛(D)x甲x乙,乙比甲成绩稳定,应选乙参加比赛解析:由茎叶图知x甲=72+78+79+85+86+926=82.x乙=78+86+88+88+91+986≈87.33.即x甲x乙,又由乙的茎集中在8,而甲较分散,即乙比甲成绩稳定.故选D.考点三用样本的数字特征估计总体的数字特征【例3】(1)(2013肇庆一模)甲、乙两种水稻试验品种连续5年的单位面积平均产量如下(单位:t/hm2),根据这组数据下列说法正确的是()品种第1年第2年第3年第4年第5年甲9.89.910.11010.2乙9.410.310.89.79.8(A)甲品种的样本平均数大于乙品种的样本平均数(B)甲品种的样本平均数小于乙品种的样本平均数(C)甲品种的样本方差大于乙品种的样本方差(D)甲品种的样本方差小于乙品种的样本方差(2)(2012年高考湖南卷)如图所示是某学校一名篮球运动员在五场比赛中所得分数的茎叶图,则该运动员在这五场比赛中得分的方差为.（注:方差s2=1n[(x1-x)2+(x2-x)2+…+(xn-x)2],其中x为x1,x2,…,xn的平均数）思维导引:(1)分别计算甲、乙两种产品的平均数和方差,作出判断.(2)从茎叶图中求出运动员在五场比赛中的分数,结合方差公式求解.解析:(1)由数据可得甲品种的样本平均数是9.89.910.11010.25=10,方差为15×(0.04+0.01+0.01+0.04)=0.02,乙品种的样本平均数是9.410.310.89.79.85=10,方差为15×(0.36+0.09+0.64+0.09+0.04)=0.244,所以平均数相同,甲品种的样本方差小于乙品种的样本方差,故选D.(2)依题意知,运动员在五场比赛中的分数依次为8,9,10,13,15,其平均数为891013155=11.由方差公式得s2=15[(8-11)2+(9-11)2+(10-11)2+(13-11)2+(15-11)2]=15(9+4+1+4+16)=6.8.答案:(1)D(2)6.8反思归纳(1)由茎叶图由小到大排列可以找到中间一个数或中间两个数,由此得到中位数,由其数据可以得到众数.(2)由数据集中情况可以估计平均数大小,再根据其分散程度可以估测方差大小.即时突破3(1)已知数据x1,x2,x3,…,xn分别是江西省普通职工n(n≥3,n∈N*)个人的年收入,设这n个数据的中位数为x,平均数为y,方差为z,如果再加上世界首富的年收入xn+1,则这n+1个数据中,下列说法正确的是()(A)年收入平均数大大增大,中位数一定变大,方差可能不变(B)年收入平均数大大增大,中位数可能不变,方差变大(C)年收入平均数大大增大,中位数可能不变,方差也不变(D)年收入平均数可能不变,中位数可能不变,方差可能不变(2)(2012年高考广东卷)由正整数组成的一组数据x1,x2,x3,x4,其平均数和中位数都是2,且标准差等于1,则这组数据为.(从小到大排列)解析:(1)由于世界首富的年收入xn+1较大,故平均数一定会增大,差距会拉大,因此方差也会变大,选B.(2)假设这组数据按从小到大的顺序排列为x1,x2,x3,x4,则1234232,42,2xxxxxx∴14234,4.xxxx又s=22221234122224xxxx=2222122112242422xxxx=221212