定态微扰

定态微扰在实际问题中，薛定谔方程大多数是不能够精确求解的，因此要借助一些技巧来近似求解，如果我们能够把哈密顿量分解成两部分'0ˆˆˆHHH，'0ˆˆHH，并且0ˆH能够精确求解，且知其能量本征态方程为0ˆnnnHEEE，能量本征态并不简并，也就是说，不同的本征态对应着不同的能量，没有两个不同的能量本征态对应着相同的能量值，我们可以把'ˆH看作是对0ˆH能量本征值和本征态的一种微扰。设'''ˆnnnHEEE，'nE是ˆH能量本征态，而'nE为相应的本征值。由于有0ˆnnnHEEE，因此0ˆH的所有的本征态{}nE构成一组正交完备的基，体系的任何量子态均可以用这一组基来展开。,nnnnnEE。由'''ˆnnnHEEE，'0ˆˆˆHHH可知''''0ˆˆ()nnnEHEHE（1）下面介绍微扰的思想，我们将的能量本征态'nE和能量本征值'nE进行逐级展开设'12...nnEE（2）其中,1,2,...nE分别为零级，1级、2级，…'12....nnEEaa（3）其中12,,,...nEaa，分别为零级，1级、2级，…将（2）（3）式分别代入（1）式得到'012ˆˆ(....)(12...)(12...)nnnEHaaEHE（4）并令（4）式的同级相等，注意0ˆnEH是零级，'ˆH是一级。规则是两项相乘等于其级相加，例如01ˆ(),nnnEHEaE分别为零级和1级，而01ˆ()1,1nEHa分别为1级和2级。于是有方程两边零级相等为：0ˆ()0nnEHE（5）方程两边1级相等为：'01ˆˆ()1nnnEHaEHE（6）方程两边2级相等为'012ˆˆ()211nnEHaaEH（7）由零级得到本征方程0ˆnnnHEEE用nE左乘方程（6）两边得到'01ˆˆ()1nnnnnnEEHEaEEHE''1ˆnnnnaEHEH（8）这是能量的一级修正值，所以'E在一级修正下为'''1ˆnnnnnnnEEaEEHEEH用mE（mn）左乘方程（6）两边得到'01ˆˆ()1mnmnmnEEHEaEEHE''ˆ1mnmnmnmnmEHEHEEEEE（9）所以有'''11mnmmmmmnmHEEEEE（10）求和符号中'm的撇是表示不含mn。因为这一项是发散的，也就说，在定态微扰中，自己对自己的微扰是发散的，因此必需扣除。用nE左乘方程（7）两边得到'012'12''2''222'''''''''ˆˆ()211ˆ11ˆˆ11ˆˆ11ˆˆˆˆ1nnnnnnnnnnnnmmmnmmnnnmmnmnmnnmmnmmmmmnmnmnmEEHEaEaEEHaEaEHEHEEaEHEEaEHEEEHEEEHEHEHEEHEEEHEEEEEEE求和符号中'm的撇是表示不含mn。所以二级修正后的能量为22'''''''12ˆˆmnmnnnnnnnnmmnmnmEHEHEEaaEEHEEHEEEE求和符号中'm的撇是表示不含mn。