2011数学建模A题-城市表层土壤重金属污染分析

城市表层土壤重金属污染分析摘要对于问题一，首先采用克里格插值法根据附件中给的采样点的浓度数据对城区内每种重金属浓度值进行插值，进而绘制每种重金属的浓度的空间分布图，对此为了方便计算我们借助于Surfer软件进行绘图，然后我们采用单因子指数法和内梅罗综合指数法对各功能区的污染程度进行评价，但是这两种方法无法从自然异常中分离出人为异常，为了弥补其不足，采用地累积指数法[1]对土壤重金属污染做进一步评价，继而得到不同区域重金属的污染程度。评价结果如表9所示。对于问题二采用主成分分析法，旨在利用降维的思想，把多指标转化为少数几个综合指标，根据主成分分析法的一般步骤，首先对附件中给出的重金属浓度进行标准化处理，然后得到各金属之间的相关系数矩阵，求出相关系数矩阵的特征值和向量值，再得到因子的成分矩阵，确定出主成分的个数，计算出各因子的成分得分矩阵，最后通过算综合主成分中各个因子的权重系数得到污染性较大的因子，最后分析该污染主要原因。结果如表14和评价结果。问题三我们用对流-扩散偏微分方程来进行描述，对流扩散方程是描述粘性流体运动的非线性偏微分方程模型，我们将对流扩散方程进行简化，即变为二阶椭圆形偏微分方程，利用有限插值数值法估计出污染物的浓度分布，并与实际检测值相比较，偏差较小的即为污染源的位置及源强，即将问题转化为非线性最优化问题，结果如表所示。对于问题四在分析问题三模型的优缺点基础上，为更好的研究城市地质环境的演变模式，将问题三的模型中二维对流扩散偏微分方程扩展到三维，这样就可以全面考虑影响模型准确性的各相关参数，通过收集不同的地理，天气条件下地质元素的空间分布信息，进而根据这些信息，建立优化模型，即三维方程的参数，在此基础上通过模拟仿真进行分析。关键字：单因子指数法内梅罗综合指数法地累积指数法主成分分析法偏微分模型一问题重述随着城市经济的快速发展和城市人口的不断增加，人类活动对城市环境质量的影响日显突出。对城市土壤地质环境异常的查证，以及如何应用查证获得的海量数据资料开展城市环境质量评价，研究人类活动影响下城市地质环境的演变模式，日益成为人们关注的焦点。按照功能划分，城区一般可分为生活区、工业区、山区、主干道路区及公园绿地区等，分别记为1类区、2类区、……、5类区，不同的区域环境受人类活动影响的程度不同。现对某城市城区土壤地质环境进行调查。为此，将所考察的城区划分为间距1公里左右的网格子区域，按照每平方公里1个采样点对表层土（0-10厘米深度）进行取样、编号，并用GPS记录采样点的位置。应用专门仪器测试分析，获得了每个样本所含的多种化学元素的浓度数据。另一方面，按照2公里的间距在那些远离人群及工业活动的自然区取样，将其作为该城区表层土壤中元素的背景值。附件1列出了采样点的位置、海拔高度及其所属功能区等信息，附件2列出了8种主要重金属元素在采样点处的浓度，附件3列出了8种主要重金属元素的背景值。现要求你们通过数学建模来完成以下任务：(1)给出8种主要重金属元素在该城区的空间分布，并分析该城区内不同区域重金属的污染程度。(2)通过数据分析，说明重金属污染的主要原因。(3)分析重金属污染物的传播特征，由此建立模型，确定污染源的位置。(4)分析你所建立模型的优缺点，为更好地研究城市地质环境的演变模式，还应收集什么信息？有了这些信息，如何建立模型解决问题？二问题分析对于问题一，要根据问题附件中给出的采样点以及在采样点处8种主要重金属元素的信息，研究各金属元素的空间分布，并分析不同功能区的污染程度，附件中只给出了金属元素在采样点处的浓度，要给出在整个城区内的空间分布，需要通过插值得到更加密集的浓度分布值，由于城区内样本点间的重金属浓度存在空间相关性，因此可以通过克立格法进行插值。在这里我们借助Surfer8.0软件，也是通过克里格插值的方法生成重金属含量数据，并绘制等值线图。由于还需要分析不同区域重金属的污染程度，污染程度需要抽象为污染指数，通过比较污染指数与国家背景值，确定污染程度较大的金属元素，针对这个问题我们采用单因子指数法和内梅罗综合指数法[1]，但是这两种方法无法从自然异常中分离出人为异常，为了弥补其不足，采用地累积指数法[3]对土壤重金属污染做进一步评价，继而得到不同区域重金属的污染程度。对于问题二要求通过数据说明重金属污染的主要原因，现有资料表明，某些重金属空间分布具有相关性，相关性较大的重金属可能在成因和来源上有一定的联系。在此我们选用主成分分析法来说明。主成分分析也称主分量分析，旨在利用降维的思想，把多指标转化为少数几个综合指标。在实证问题研究中，为了全面、系统地分析问题，我们必须考虑众多影响因素。这些涉及的因素一般称为指标，在多元统计分析中也称为变量。因为每个变量都在不同程度上反映了所研究问题的某些信息，并且指标之间彼此有一定的相关性，因而所得的统计数据反映的信息在一定程度上有重叠。在用统计方法研究多变量问题时，变量太多会增加计算量和增加分析问题的复杂性，人们希望在进行定量分析的过程中，涉及的变量较少，得到的信息量较多。根据主成分分析法的一般步骤，首先对附件中给出的重金属浓度进行标准化处理，然后得到各金属之间的相关系数矩阵，求出相关系数矩阵的特征值和向量值，再得到因子的成分矩阵，确定出主成分的个数，计算出各因子的成分得分矩阵，最后通过算综合主成分中各个因子的权重系数得到污染性较大的因子，最后分析该污染主要原因。对于问题三要求分析重金属污染物的传播特征，建立模型并分析污染源的位置，对此我们用对流-扩散偏微分方程来进行描述，对流扩散方程是描述粘性流体运动的非线性偏微分方程模型，可以刻画很多自然现象，如污染物的扩散、降解、流体流动与传热等，我们将对流扩散方程进行简化，即变为二阶椭圆形偏微分方程，利用有限插值数值法估计出污染物的浓度分布，并与实际检测值相比较，偏差较小的即为污染源的位置及源强，即将问题转化为非线性最优化问题。对于问题四在分析问题三模型的优缺点基础上，为更好的研究城市地质环境的演变模式，应该确定收集什么信息，有了这些信息如何建立模型来解决问题。首先将问题三的模型中二维对流扩散偏微分方程扩展到三维，这样就可以全面考虑影响模型准确性的各相关参数，为了得到参数的准确表达式，通过收集不同的地理，天气条件下地质元素的空间分布信息，进而根据这些信息，建立优化模型，即三维方程的参数，在此基础上通过模拟仿真进行分析。三问题假设1.问题一中国家评价标准采用二级标准。2.假设全部采样点在自然情况下产生，排除其他因素的干扰。3.假设该城区没有受到灾难性的污染。4.观测值能够反映一段时间内保持稳定的浓度分布。5.假设污染源是均匀向外扩散的。四符号说明i污染物类别iC土壤中污染物实测浓度iS土壤中污染物的背景值iP土壤单因子污染指数P为综合污染指数aveI元素污染指数平均值maxI元素污染指数中的最大值Igeo地累积指数nC各个区域元素n的平均值nB元素n地球化学背景值k各地岩石差异导致的背景值变动系数ijC第i个采样点的第j种重金属的浓度值jC第j种重金属的均值j第j种重金属的标准差xyr二元素相关系数五建模与求解5.1问题一建模与求解为了得到更加形象具体的重金属空间分布图，在这里我们借助Surfer8.0软件，也是通过克里格插值的方法生成重金属含量数据，并绘制等值线图。图1城区地形三维图图2各功能区地形图图3As城区浓度分布图图4Cd城区浓度分布图图5Cr城区浓度分布图图6Cu城区浓度分布图图7Hg城区浓度分布图图8Ni城区浓度分布图图9Pb城区浓度分布图图10Zn城区浓度分布图5.1.1单因子指数法我们对该城区不同区域的污染程度进行评价，由于每个区域都存在八种重金属，所以我们对每个区域的八种重金属含量分别进行评价，评价模式分为单因子指数法和内梅罗综合指数法。首先建立单因子污染指数式为：iiiCPS（1）式中iP为土壤中污染物i的污染分指数，iC为土壤中污染物实测浓度，iS为土壤中污染物的背景值。然后通过求解上述单项污染指数式得到五个区域i种污染元素的分指数，如表1（表2、表3、表4、表5）所示为生活区污染分指数。表1各区域重金属实测平均浓度编号As(μg/g)Cd(ng/g)Cr(μg/g)Cu(μg/g)Hg(ng/g)Ni(μg/g)Pb(μg/g)Zn(μg/g)16.27289.9669.0249.4093.0418.3469.11237.0127.25393.1153.41127.54642.3619.8193.04277.9334.04152.3238.9617.3240.9615.4536.5673.2945.71360.0158.0562.21446.8217.6263.53242.8556.26280.5443.6430.19114.9915.2960.71154.24表2各区域单因子污染分指数表3土壤单因子污染指数评价标准分级指数质量指数分级指数质量指数1iP清洁32iP轻污染21iP潜在污染P3重污染5.1.2内梅罗综合指数法单项污染指数得到每个区域各种重金属污染程度，为了得到每个区域的综合编号As(μg/g)Cd(ng/g)Cr(μg/g)Cu(μg/g)Hg(ng/g)Ni(μg/g)Pb(μg/g)Zn(μg/g)12.012.232.013.742.661.492.233.4322.013.021.729.6618.351.613.004.0331.121.171.261.311.171.261.181.0641.592.771.874.7112.771.432.053.5251.742.161.412.293.291.241.962.24污染程度，我们利用内梅罗综合指数法求解。内梅罗综合指数式为：2)(2max2IIPave（2）式中：P为综合污染指数,aveI为各元素污染指数平均值,maxI为各元素污染指数中的最大值。通过求解内梅罗综合指数式得到每个区域的综合污染指数（见表7，表8）表4各区域综合污染指数I最大I平均综合污染指数P生活区1.660550.596230.882173工业区5.2449541.4343082,718,767山区0.1889910.0709550.100936主干道区2.2481650.8782921.206819公园绿地0.8855290.3774380.481306表5土壤内梅罗综合污染指数评价标准等级内梅罗综合污染指数污染等级ⅠjP≤0.7清洁Ⅱ0.7＜jP≤1警戒线Ⅲ1＜jP≤2轻度污染Ⅳ2＜jP≤3重度污染Ⅴ3＜jP重污染5.1.3地累积指数法虽然单因子指数法和内梅罗指数法均能对土壤重金属污染程度进行较为全面的评价，但无法从自然异常中分离人为异常，然而地累积指数法弥补了这项不足。地累积指数法表达式为：2lognnCIgeokB（3）式中：Igeo为地累积指数，nC是各个区域元素n的平均值，nB是元素n地球化学背景值，k为各地岩石差异导致的背景值变动系数（一般取值为1.5）。通过对地累积指数式的求解得到每个区域各种重金属的污染程度（见表9）表6每个区域各种重金属的污染程度重金属元素AsCdCrCu地积累指数0＜0.2155≤10＜0.5724≤10＜0.5698≤11＜1.3190≤2污染程度轻度污染轻度污染轻度污染中度污染地积累指数0＜0.4250≤11＜1.0115≤20＜0.1999≤12＜2.6874≤3污染程度轻度污染中度污染轻度污染中强度污染地积累指数-0.4186≤0-0.3564≤0-0.2552≤0-0.1931≤0污染程度无污染无污染无污染无污染地积累指数0＜0.0805≤10＜0.8846≤10＜0.3201≤11＜1.6516≤2污染程度轻度污染轻度污染轻度污染中度污染地积累指数0＜0.2132≤10＜0.5247≤1-0.0916≤00＜0.6086≤1污染程度轻度污染轻度污染无污染轻度污染重金属元素HgNiPbZn地积累指数0＜0.8255≤1-0.0086≤00＜0.5717≤11＜