数学模型期末考试试题及答案

山东轻工业学院08/09学年II学期《数学模型》期末考试A试卷（本试卷共4页）说明：本次考试为开卷考试，参加考试的同学可以携带任何资料，可以使用计算器，但上述物品严禁相互借用。一、简答题（本题满分16分，每小题8分）1、在§录像机计数器的用途中，仔细推算一下（1）式，写出与（2）式的差别，并解释这个差别；2、试说明在§中不允许缺货的存储模型中为什么没有考虑生产费用，在什么条件下可以不考虑它；二、简答题（本题满分16分，每小题8分）1、对于§传染病的SIR模型，叙述当10s时)(ti的变化情况并加以证明。题号一二三四五六总分得分得分阅卷人得分阅卷人2、在§捕鱼业的持续收获的效益模型中，若单位捕捞强度的费用为捕捞强度E的减函数，即)0,0(,babEac，请问如何达到最大经济效益三、简答题（本题满分16分，每小题8分）1、在§随机存储策略中，请用图解法说明为什么s是方程)()(0SIcxI的最小正根。2、请结合自身特点谈一下如何培养数学建模的能力得分阅卷人四、（本题满分20分）某中学有三个年级共1000名学生，一年级有219人，二年级有316人，三年级有465人。现要选20名校级优秀学生，请用下列办法分配各年级的优秀学生名额：（1）按比例加惯例的方法;（2）Q值法。另外如果校级优秀学生名额增加到21个，重新进行分配，并按照席位分配的理想化准则分析分配结果。五、（本题满分16分）大学生毕业生小李为选择就业岗位建立了层次分析模型，影响就业的因素考虑了收入情况、发展空间、社会声誉三个方面，有三个就业岗位可供选择。层次结构图如图，已知准则层对目标层的成对比较矩阵12/15/1213/1531A，方案层对准则层的成对比较矩阵分别为1272/1147/14/111B，13/17/1313/17312B，12/16/1214/16413B。请根据层次分析方法为小李确定最佳的工作岗位。得分阅卷人得分阅卷人选择就业岗位收入发展声誉岗位1岗位2岗位3六、（本题满分16分）某保险公司欲开发一种人寿保险，投保人需要每年缴纳一定数的额保险费，如果投保人某年未按时缴纳保费则视为保险合同终止（退保）。保险公司需要对投保人的健康、疾病、死亡和退保的情况作出评估，从而制定合适的投保金额和理赔金额。各种状态间相互转移的情况和概率如图。试建立马氏链模型分析在投保人投保时分别为健康或疾病状态下，平均需要经过多少年投保人就会出现退保或死亡的情况，以及出现每种情况的概率各是多少山东轻工业学院08/09学年II学期《数学模型》期末考试A试卷解答得分阅卷人退保健康死亡疾病一、简答题（本题满分16分，每小题8分）1、答：由（1）得vtmmmr2)1(22，。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。4分将knm代入得)2(22rvknnvkt，。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。6分因为r所以rr22，则得（2）。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。8分2、答：假设每件产品的生产费用为3c，则平均每天的生产费用为rc3，每天的平均费用是rcrTcTcTC31211112)(，。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。4分下面求1T使)(11TC最小，发现dTTdCdTTdC)()(111，所以rccTT2112，与生产费用无关，所以不考虑。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。8分二、简答题（本题满分16分，每小题8分）1、答：由（14）),1(sidtdi若10s，当01ss时，)(,0tidtdi增加;。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。4分当1s时，)(,0tidtdi达到最大值mi；当1s时，)(,0tidtdi减少且由1.知0i。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。8分2、答：EbEaS)(，则EbEapExSTR)(，。。。。。。。。。。。。。。2分将)1(0rENx代入，得2)()()(ErpNbEapNER，。。。。。。。。。。。。。。5分令0R得pNrbpNarER2。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。8分三、简答题（本题满分16分，每小题8分）1、由于方程（4）左边随着S的增加单调递增，因此)(uJ有唯一驻点xSu且为最小值点。从而)(uJ是下凸的。而由)(uJ和)(xI的表达式的相似性知)(xI也是下凸的，而且在Sx处达最小值)(SI。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。4分记)}()({0SIcxIxA，)}()({0SIcxIxB则集合A与B的分界点即为订货点s，此即方程)()(0SIcxI的最小正根。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。8分2、答：（回答要点）培养想象力和洞察力。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。8分四、（本题满分20分）解：20个席位：（1）、38.4201000219，32.6201000316，30.9201000465因此比例加惯例分配结果为5、6、9个。（2）三方先分得4、6、9个，5421921Q，7631622Q10946523Q，3Q最大，按Q值法分配结果为4、6、10个。。。。。。。。。。。。。。。。。。。8分21个席位：（1）599.4211000219，636.6211000316，765.9211000465因此比例加惯例分配结果为4、7、10个。（2）三方先分得4、6、10个，111046523Q，1Q最大，按Q值法分配结果为5、6、10个。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。16分显然此例中比例加惯例的方法违背了席位分配的理想化准则1，而Q值法分配结果恰好也满足准则2，因此Q值法分配结果是同时符合准则1和准则2.。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。20分五、（本题满分16分）解：用“和法”近似计算得：矩阵A对应的权向量为：T)12.0,23.0,65.0(，最大特征根为，0018.0CI，0031.0CR矩阵1B对应的权向量为：T)60.0,32.0,08.0(，最大特征根为，001.0CI，0017.0CR矩阵2B对应的权向量为：T)09.0,24.0,67.0(，最大特征根为，0035.0CI，006.0CR矩阵3B对应的权向量为：T)11.0,19.0,70.0(，最大特征根为，0046.0CI，008.0CR。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。12分组合权向量为T)423664.0,283708.0,292628.0(因此最佳的岗位为岗位3。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。16分六、（本题满分16分）解：由题意，转移概率矩阵为3.06.007.003.001.7.005.015.000100001，从而知状态“退保”和“死亡”为两个吸收状态，此为吸收链。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。6分117.06.01.03.0)(QIM=2432324Mey=T)6,315(，因此在投保时健康或疾病状态下，平均需要经过315或6年投保人就会出现退保或死亡的情况。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。12分MRF=34.066.028.072.0，因此在投保时健康状态下，被“退保”和“死亡”吸收的概率分别为和；在投保时疾病状态下，被“退保”和“死亡”吸收的概率分别为和。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。18分CaoPorn