2018版高中数学-第三章-三角恒等变换章末复习课课件-新人教A版必修4

章末复习课第三章三角恒等变换学习目标1.进一步掌握三角恒等变换的方法.2.会运用正弦、余弦、正切的两角和与差公式与二倍角公式对三角函数式进行化简、求值和证明.题型探究知识梳理内容索引当堂训练知识梳理1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式cos(α－β)＝.cos(α＋β)＝.sin(α＋β)＝.sin(α－β)＝.tan(α＋β)＝.tan(α－β)＝.cosαcosβ＋sinαsinβcosαcosβ－sinαsinβsinαcosβ＋cosαsinβsinαcosβ－cosαsinβtanα＋tanβ1－tanαtanβtanα－tanβ1＋tanαtanβ2.二倍角公式sin2α＝.cos2α＝＝＝.tan2α＝.2sinαcosαcos2α－sin2α2cos2α－11－2sin2α2tanα1－tan2α3.升幂缩角公式1＋cos2α＝.1－cos2α＝.4.降幂扩角公式sinxcosx＝，cos2x＝，sin2x＝.2cos2α2sin2αsin2x21＋cos2x21－cos2x25.和差角正切公式变形tanα＋tanβ＝，tanα－tanβ＝.6.辅助角公式y＝asinωx＋bcosωx＝.tan(α＋β)(1－tanαtanβ)tan(α－β)(1＋tanαtanβ)a2＋b2sin(ωx＋θ)题型探究类型一灵活变角的思想在三角恒等变换中的应用解答例1已知α，β为锐角，cosα＝45，tan(α－β)＝－13，求cosβ的值.解∵α是锐角，cosα＝45，∴sinα＝35，tanα＝34.∴tanβ＝tan[α－(α－β)]＝tanα－tanα－β1＋tanαtanα－β＝139.∵β是锐角，∴cosβ＝91050.反思与感悟给值求值的重要思想是探求已知式与待求式之间的联系，常常在进行角的变换时，要注意各角之间的和、差、倍、半的关系，如α＝2·α2，α＝(α＋β)－β，α＝β－(β－α)，α＝12[(α＋β)＋(α－β)]，β＝12[(α＋β)－(α－β)]等.解答跟踪训练1如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点，已知A，B的横坐标分别为31010，255.(1)求tan(α－β)的值；解答(2)求α＋β的值.解因为tan(α＋β)＝13＋121－16＝1，sinα＝101022，sinβ＝5522，即α＋βπ2，故α＋β＝π4.类型二整体换元思想在三角恒等变换中的应用解答例2求函数f(x)＝sinx＋cosx＋sinx·cosx，x∈R的最值及取到最值时x的值.反思与感悟在三角恒等变换中，有时可以把一个代数式整体视为一个“元”来参与计算和推理，这个“元”可以明确地设出来.解答跟踪训练2求函数y＝sinx＋sin2x－cosx(x∈R)的值域.解令sinx－cosx＝t，则由t＝2sinx－π4知，t∈[－2，2].又sin2x＝1－(sinx－cosx)2＝1－t2，∴y＝(sinx－cosx)＋sin2x＝t＋1－t2＝－t－122＋54.当t＝12时，ymax＝54；当t＝－2时，ymin＝－2－1.∴函数的值域为－2－1，54.类型三转化与化归思想在三角恒等变换中的应用解答例3已知函数f(x)＝23sin(x－3π)sinx－π2＋2sin2x＋5π2－1，x∈R.(1)求函数f(x)的最小正周期及在区间0，π2上的最大值和最小值；解因为f(x)＝3(2sinxcosx)＋(2cos2x－1)＝3sin2x＋cos2x＝2sin2x＋π6，所以f(x)的最小正周期为π.又因为x∈[0，π2]，所以2x＋π6∈[π6，7π6]，所以f(x)的最大值为2，最小值为－1.解答(2)若f(x0)＝65，x0∈π4，π2，求cos2x0的值.反思与感悟(1)为了研究函数的性质，往往要充分利用三角变换公式转化为正弦型(余弦型)函数，这是解决问题的前提.(2)解答此类题目要充分运用两角和(差)、二倍角公式、辅助角转换公式消除差异，减少角的种类和函数式的项数，将三角函数表达式变形化简，然后根据化简后的三角函数，讨论其图象和性质.解答跟踪训练3已知cosπ4＋x＝35，17π12x7π4，求sin2x＋2sin2x1－tanx的值.解答类型四构建方程(组)的思想在三角恒等变换中的应用例4已知sinx＋2cosy＝2，求2sinx＋cosy的取值范围.解设2sinx＋cosy＝a.由sinx＋2cosy＝2，2sinx＋cosy＝a，解得sinx＝2a－23，cosy＝4－a3，从而－1≤2a－23≤1，－1≤4－a3≤1，解得1≤a≤52.故2sinx＋cosy的取值范围是1，52.反思与感悟在三角恒等变换中，有时可以把某个三角函数式看作未知数，联系已知条件或三角公式，设法建立关于未知数的方程组，从而使问题得以解决.跟踪训练4已知关于θ的方程cosθ＋sinθ＋a＝0在区间(0，2π)上有两个不相等的实数解α，β，求cos(α＋β)的值.3解答当堂训练答案解析1.若α是第三象限角，且sin(α＋β)cosβ－sinβcos(α＋β)＝－513，则tanα2等于A.－5B.－513C.1213D.5√23451答案解析2.已知θ是第三象限角，且sin4θ＋cos4θ＝59，则sin2θ等于A.223B.－223C.23D.－2323451√答案23451解析3.已知sinα＋cosβ＝13，sinβ－cosα＝12，则sin(α－β)＝.－5972解析由(sinα＋cosβ)2＋(sinβ－cosα)2＝1336，得2sin(α－β)＝－5936，即sin(α－β)＝－5972.答案23451解析4.设α为锐角，若cosα＋π6＝45，则sin2α＋π12的值为.17250解析∵α为锐角且cosα＋π6＝45，∴sinα＋π6＝35.sin2α＋π3＝2sinα＋π6cosα＋π6＝2425，cos2α＋π3＝2cos2α＋π6－1＝725，∴sin2α＋π12＝sin2α＋π3－π4＝22sin2α＋π3－cos2α＋π3＝17250.解答5.已知函数f(x)＝cosx·sin(x＋π3)－3cos2x＋34，x∈R.(1)求f(x)的最小正周期；解由已知，有f(x)＝cosx·(12sinx＋32cosx)－3cos2x＋34＝12sinx·cosx－32cos2x＋34＝14sin2x－34(1＋cos2x)＋34＝14sin2x－34cos2x＝12sin(2x－π3).所以f(x)的最小正周期为T＝2π2＝π.23451解答23451(2)求f(x)在闭区间[－π4，π4]上的最大值和最小值.解因为f(x)在区间[－π4，－π12]上是减函数，在区间[－π12，π4]上是增函数，f(－π4)＝－14，f(－π12)＝－12，f(π4)＝14，所以，函数f(x)在闭区间[－π4，π4]上的最大值为14，最小值为－12.规律与方法本章所学的内容是三角恒等变换重要的工具，在三角函数式求值、化简、证明，进而研究三角函数的性质等方面都是必要的基础，是解答整个三角函数类试题的必要基本功，要求准确，快速化到最简，再进一步研究函数的性质.本课结束