新课标人教A版高考文科数学选修1-1第三章：导数的概念与运算

导数的概念及运算1．导数概念及其几何意义了解导数概念的实际背景．理解导数的几何意义。2．导数的运算能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数．1．对于函数y＝f(x)，如果自变量x在x0处有增量Δx，那么函数y相应地有增量__________________．比值___就叫做函数y＝f(x)在x0到x0＋Δx之间的___________．平均变化率Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)ΔyΔxf′(x0)y′|x＝x02．函数f(x)在点x0处的导数(或变化率)，记作_____或________.4．常见基本初等函数的导数公式．若y＝C，则y′＝___.若y＝xn(n∈Q)，则y′＝______.若y＝sinx，则y′＝______.若y＝cosx，则y′＝______.若y＝ax，则y′＝______.若y＝ex，则y′＝___.0nxn－1cosx－sinxexaxlna3．导数的物理意义：函数s＝s(t)在点t0处的导数_____，就是当物体的运动方程为s＝s(t)时，物体在t0时的瞬时速度v，即v＝s′(t0)．s′(t0)令a=e若y＝logax，则y′＝______.若y＝lnx，则y′＝___.6．已知f(x)和g(x)均可导，则[f(x)±g(x)]′＝__________．用语言叙述为两个可导函数的和或差的导数，等于_______________________．7．[f(x)·g(x)]′＝________________．f′(x)±g′(x)f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)1xlna1x8.fxgx′＝_______________________________.f′xgx－fxg′x[gx]2，g(x)≠0两个函数的导数的和或差令a=e9.导数的几何意义：00000x=xk=fxy-y=fxx-x’’函数在处的导数值就是函数在该点处的切线的斜率。即故切线方程为：（）000xyP，xyP（，）类型一：导数的运算321.x-11y=xlnx2y=sinx3y=x+1x-24y=tanx例求下列函数的导数'23'232'2'22'2211ylnln13sin(1)cos2ysin3y34y36sincossin14ycoscoscosxxxxxxxxxxxxxxxxxxx解：先将解析式化为由常见基本初等函数组成的函数【即时巩固1】求下列各函数的导数：(1)y＝x＋x5＋sinxx2；(2)y＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)；(3)y＝lnxx2＋1.11-425224362241x+5x+cosxx-2xx+x+sinx21y=x6x-3x+2xcosx-4xsinx=2x，（）解：332252'2245223siny=x3cos2sin323cos2sin32xxxxxxxyxxxxxxxxx法二：52233cos2sin32xxxxxx先化简解析式再求导(2)y＝(x2＋3x＋2)(x＋3)＝x3＋6x2＋11x＋6，y′＝3x2＋12x＋11.(3)y′＝1xx2＋1－lnxx2＋1′x2＋12＝x＋1x－2xlnxx2＋12.2222x+1-2xlnx=xx+1考点二导数的几何意义及应用【案例2】已知函数f(x)＝x3＋x－16.(1)求曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线方程；(2)直线l为曲线y＝f(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标；关键提示：函数f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．解：(1)可判定点(2，－6)在曲线y＝f(x)上．因为f′(x)＝(x3＋x－16)′＝3x2＋1，所以f′(x)在点(2，－6)处的切线的斜率为k＝f′(2)＝13.故切线的方程为y＝13(x－2)＋(－6)，即y＝13x－32.所以y0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26，k＝3×(－2)2＋1＝13，故直线l的方程为y＝13x，切点坐标为(－2，－26)．(2)方法一：设切点为(x0，y0)，则直线l的斜率为f′(x0)＝3x20＋1.所以直线l的方程为y＝(3x20＋1)(x－x0)＋x30＋x0－16.又因为直线l过点(0,0)，所以0＝(3x20＋1)(－x0)＋x30＋x0－16，整理得x30＝－8，解得x0＝－2.方法二：设直线l的方程为y＝kx，切点为(x0，y0)，解之得x0＝－2，因此y0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26，k＝3×(－2)2＋1＝13.故直线l的方程为y＝13x，切点坐标为(－2，－26)．则k＝y0－0x0－0＝x30＋x0－16x0.又因为k＝f′(x0)＝3x20＋1，所以x30＋x0－16x0＝3x20＋1，1.求曲线的切线时，要分清在点P处的切线与过点P的切线的区别，前者只有一条，而后者包括了前者2.曲线的切线与曲线的交点个数不一定只有一个，与曲线交点只有一个的直线也不一定是曲线的切线。(1)求曲线在点P(2,4)处的切线方程；(2)求曲线过点P(2,4)的切线方程；(3)求满足斜率为1的曲线的切线方程．解：(1)因为y′＝x2，所以在点P(2,4)处的切线的斜率k＝y′|x＝2＝22＝4，所以曲线在点P(2,4)处的切线方程为y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0.【即时巩固2】已知曲线y＝13x3＋43.30000232000032000320000142xyy=x+3314k=xy-x+=xx-x33142,4-x+=x2-x33x-3x+4=0x=-1x=2y=x-y=x+解：设切点为，，则由，故切线方程为（）又切线过则4（）解得或故切线方程为44或2(3)设切点为(x0，y0)，故切线的斜率为k＝x20＝1，解得x0＝±1，故切点为1，53，(－1,1)．故所求切线方程为y－53＝x－1和y－1＝x＋1，即3x－3y＋2＝0和x－y＋2＝0.【案例1】设f0(x)＝sinx，f1(x)＝f0′(x)，f2(x)＝f1′(x)，…，fn＋1(x)＝fn′(x)，n∈N，则f2012(x)等于()A．sinxB．－sinxC．cosxD．－cosx关键提示：研究fn(x)(n∈N)的变化规律．解析：因为f0(x)＝sinx，f1(x)＝f0′(x)＝(sinx)′＝cosx，f2(x)＝f1′(x)＝(cosx)′＝－sinx，f3(x)＝f2′(x)＝(－sinx)′＝－cosx，f4(x)＝f3′(x)＝(－cosx)′＝sinx，所以4为最小正周期，所以f2012(x)＝f0(x)＝sinx.A2．曲线y＝ex在点(2，e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为解析：因为y′＝ex，所以y′|x＝2＝e2，所以切线方程为y－e2＝e2·(x－2)，即y＝e2x－e2.令x＝0，得y＝－e2，令y＝0，得x＝1.所以三角形的面积为12×1×e2＝12e2.分析：关键是求出过该点的切线方程，进而求该直线的横纵截距212e3．已知函数y＝f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线方程是x－2y＋1＝0，则f(1)＋2f′(1)的值是()A.12B．1C.32D．2解析：由1－2f(1)＋1＝0，得f(1)＝1.又f′(1)＝12，所以2f′(1)＝1.所以f(1)＋2f′(1)＝2.答案D答案：34．已知曲线y＝x24－3lnx的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为________．解析：因为y′＝12x－3x(x＞0)，由12x－3x＝12，得x2－6＝x，即x2－x－6＝0，解得x＝3或x＝－2(舍去)．数学思想方法：等价转化数形结合知识层面：导数的定义导数的运算法则基本初等函数求导法则导数几何意义