2013年中考数学复习 锐角三角函数和解直角三角形课件

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锐角三角函数和解直角三角形复习课黄垓中学李索金1.锐角三角函数的意义,Rt△ABC中,设∠C=90°,∠α为Rt△ABC的一个锐角,则:∠α的正弦sinα=.∠α的余弦cosα=.∠α的正切tanα=.要点梳理∠α的对边斜边∠α的邻边斜边∠α的对边∠α的邻边2.30°、45°、60°的三角函数值,如下表:正弦余弦正切30°45°60°12323322221321233.同角三角函数之间的关系:sin2α+cos2α=;tanα=.互余两角的三角函数关系式:(α为锐角)sin=;cos=.函数的增减性:(0°α90°)(1)sinα,tanα的值都随α;(2)cosα都随α.sinαcosα190°-αcosα90°-αsinα增大而增大增大而减小4.解直角三角形的概念、方法及应用.解直角三角形:由直角三角形中除直角外的已知元素,求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形.直角三角形中的边角关系:在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c则:(1)边与边的关系:;(2)角与角的关系:;(3)边与角的关系:.5.三角形面积公式:S△=ah=.a2+b2=c2∠A+∠B=90°sinA=cosB=,cosA=sinB=;acbctanA=,tanB=abba12absinC121.(2011·烟台)如果△ABC中,sinA=cosB=,则下列最确切的结论是()A.△ABC是直角三角形B.△ABC是等腰三角形C.△ABC是等腰直角三角形D.△ABC是锐角三角形解析:当sinA=,cosB=时,∠A=∠B=45°,所以△ABC是等腰直角三角形.基础自测22C22222.(2011·湖州)如图,已知在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=1,AC=2,则tanA的值为()A.2B.C.D.解析:在Rt△ABC中,∠C=90°,tanA==.5512255BBCAC123.(2011·茂名)如图,已知45°∠A90°,则下列各式成立的是()A.sinA=cosAB.sinAcosAC.sinAtanAD.sinAcosA解析:当45°∠A90°时,∠A∠B,BCAC,在Rt△ABC中,sinA=,cosA=,∴sinAcosA.BBCABACAB4.(2011·镇江)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足为D.若AC=,BC=2,则sin∠ACD的值为()A.B.C.D.解析:在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=,BC=2,则AB=3.由CD⊥AB,得∠ACD=∠B,所以sin∠ACD=sinB==.5255235352A5ACAB535.(2011·苏州)如图,在四边形ABCD中,E、F分别是AB、AD的中点.若EF=2,BC=5,CD=3,则tanC等于()A.B.C.D.解析:连接BD,因为E、F分别是AB、AD的中点,所以EF是△ABD的中位线,BD=2EF=2×2=4.在△BCD中,BD=4,BC=5,CD=3.由BD2+CD2=BC2,得∠BDC=90°,所以tanC==.34354345BBDCD43题型一特殊角三角函数参与实数运算【例1】计算tan45°·sin45°-4sin30°·cos45°+tan30°.解:原式=1×-4××+×=-+=.探究提高利用特殊角的三角函数值进行数的运算,往往与绝对值、乘方、开方、二次根式相结合.准确地记住三角函数值是解决此类题目的关键,所以必须熟记.题型分类深度剖析6221222633222222知能迁移1计算:(1)-tan45°的值是________;解析:-tan45°=-1=1-1=0.sin60°cos30°0sin60°cos30°3232(2)2sin60°=________;解析:2sin60°=2×=.(3)=________.解析:=|tan30°-1|=1-tan30°=1-.3233tan30°-121-33tan30°-1233题型二仰角、俯角、方位角有关问题【例2】已知:如图,在某建筑物AC上,挂着“美丽山东”的宣传条幅BC,小明站在点F处,看条幅顶端B,测得仰角为30°,再往条幅方向前行20m到达点E处,看到条幅顶端B,测得仰角为60°,求宣传条幅BC的长.(小明的身高不计,结果用含有根号的式子表示)解:设BC=x,在Rt△BCF中,tanF=,∴CF==x.在Rt△BCE中,tan∠BEC=,∴EC==x.∵FE=FC-EC,∴x-x=20.∴x=20,x=10.答:宣传条幅BC的长是10m.BCCFxtan30°3BCECxtan60°3333323333知能迁移2(2011·潜江)五月石榴红,枝头鸟儿歌.一只小鸟从石榴树上的A处沿直线飞到对面一房屋的顶部C处.从A处看房屋顶部C处的仰角为30°,看房屋底部D处的俯角为45°,石榴树与该房屋之间的水平距离为3m,求出小鸟飞行的距离AC和房屋的高度CD.3解:作AE⊥CD于点E.由题意可知:∠CAE=30°,∠EAD=45°,AE=3m.在Rt△ACE中,tan∠CAE=,即tan30°=.∴CE=3tan30°=3×=3m,∴AC=2CE=2×3=6(m).在Rt△AED中,∠ADE=90°-∠EAD=90°-45°=45°,∴DE=AE=3(m).∴DC=CE+DE=(3+3)m.答:AC=6m,DC=(3+3)m.3CEAECE333333333例3(2011·安顺)一次数学活动课上,老师带领学生去测一条南北流向的河宽,如图所示,某学生在河东岸点A处观测到河对岸水边有一点C,测得C在A北偏西31°的方向上,沿河岸向北前行40m到达B处,测得C在B北偏西45°的方向上,请你根据以上数据,求这条河的宽度.(参考数值:tan31°≈)35解:如图,过点C作CD⊥AB于D,由题意∠DAC=31°,∠DBC=45°,设CD=BD=x,则AD=AB+BD=40+x,在Rt△ACD中,tan∠DAC=,则=,解得x=60.答:这条河的宽是60m.CDADx40+x35题型三解直角三角形在实际中的应用【例4】(2010·杭州)如图,台风中心位于点P,并沿东北方向PQ移动,已知台风移动的速度为30千米/时,受影响区域的半径为200千米,B市位于点P的北偏东75°方向上,距离P点320千米处.(1)说明本次台风会影响B市;(2)求这次台风影响B市的时间.解题示范——规范步骤,该得的分,一分不丢!解:(1)作BH⊥PQ于点H,在Rt△BHP中,由条件知,PB=320,∠BPQ=75°-45°=30°,得BH=320×sin30°=160200,∴本次台风会影响B市.[4分](2)如图,若台风中心移动到P1时,台风开始影响B市,台风中心移动到P2时,台风影响结束.由(1)得BH=160,由条件得BP1=BP2=200,∴P1P2=2=240,[8分]∴台风影响的时间t==8(小时).[10分]2002-160224030知能迁移4(2010·乌鲁木齐)某过街天桥的截面图为梯形,如图所示,其中天桥斜面CD的坡度为i=1∶,(i=1∶是指铅直高度DE与水平宽度CE的比),CD的长为10m,天桥另一斜面AB坡角∠ABG=45°.(1)写出过街天桥斜面AB的坡度;(2)求DE的长;(3)若决定对该过街天桥进行改建,使AB斜面的坡度变缓,将其45°坡角改为30°,方便过路群众,改建后斜面为AF.试计算此改建需占路面的宽度FB的长.(结果精确0.01)33解:(1)在Rt△AGB中,∠ABG=45°,∴AG=BG,∴AB的坡度==1.(2)在Rt△DEC中,∵tanC===,∴∠C=30°.又∵CD=10,∴DE=CD=5.(3)由(1)知,AG=BG=5,在Rt△AFG中,∠AFG=30°,tan∠AFG=,即=,解得FB=5-5≈3.66.答:改建后需占路面宽度约为3.66m.AGBGDEEC133312AGFG335FB+53方法与技巧1.准确理解三角函数概念,熟练运用正弦、余弦、正切的定义.2.形成解直角三角形思考过程的程序:在不同的条件下,应有不同的考虑;无论什么条件下,分别求解各未知元素时,应尽量代入已知的数值,少用在前面的求解中刚刚算出的数值,以减少以错传误的机会.3.解直角三角形应用题的思考方法:(1)寻求各类应用题的共同思考步骤:①审题,把情景尽可能弄通、弄细致,甚至画个示意图;②把示意图转化为几何图;思想方法感悟提高③从要求的量所在的直角三角形分析,解之,若条件不足,转而先去解所缺条件所在的直角三角形,然后返回;若条件仍不足,再去解第二次所缺条件所在的直角三角形,直至与全部已知条件挂上钩,然后层层返回.(2)积累各种类型应用题的特殊思考步骤,如:测高问题,测不可到达的两点间距离问题,航海有关问题等.作业:同步学习182页单元测试题练习册109页综合练习课堂练习已知:如图28-4所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3.点D为BC边上一点,且BD=2AD,∠ADC=60°.求△ABC的周长.(结果保留根号)图28-4[解析]要求△ABC的周长,先通过解Rt△ADC求出CD和AD的长,然后根据勾股定理求出AB的长.解:在Rt△ADC中,∵sin∠ADC=ACAD,∴AD=ACsin∠ADC=3sin60°=2.∴BD=2AD=4.∵tan∠ADC=ACDC,∴DC=ACtan∠ADC=3tan60°=1.∴BC=BD+DC=5.在Rt△ABC中,AB=AC2+BC2=27.∴△ABC的周长=AB+BC+AC=27+5+3.方法技巧解直角三角形的一般思路是:有斜(斜边)用弦(正弦、余弦),无斜用切(正切),宁乘勿除,取原避中.对于较复杂的图形,要善于将其分解成简单的图形,并借助桥梁(相等的边、公共边、相等的角等)的作用将两个图形有机地联系在一起,从而达到解题的目的.

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