搜索
第2讲圆周角定理与圆的切线【2013年高考会这样考】考查圆的切线定理和性质定理的应用．【复习指导】本讲复习时，牢牢抓住圆的切线定理和性质定理，以及圆周角定理和弦切角等有关知识，重点掌握解决问题的基本方法．基础梳理1．圆周角定理(1)圆周角：顶点在圆周上且两边都与圆的角．(2)圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧度数的．(3)圆周角定理的推论①同弧(或等弧)上的圆周角；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧．②半圆(或直径)所对的圆周角是；90°的圆周角所对的弦是．相交一半相等相等90°直径2．圆的切线(1)直线与圆的位置关系直线与圆交点的个数直线到圆心的距离d与圆的半径r的关系相交两个d＜r相切一个d＝r相离无d＞r(2)切线的性质及判定①切线的性质定理：圆的切线垂直于经过的半径．②切线的判定定理过半径外端且与这条半径的直线是圆的切线．(3)切线长定理从圆外一点引圆的两条切线长．切点垂直相等3．弦切角(1)弦切角：顶点在圆上，一边与圆，另一边与圆相交的角．(2)弦切角定理及推论①定理：弦切角的度数等于所夹弧的度数的．②推论：同弧(或等弧)上的弦切角，同弧(或等弧)上的弦切角与圆周角．相切一半相等相等双基自测1．如图所示，△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝6，以AC为直径的圆与斜边交于点P，则BP长为________．解析连接CP.由推论2知∠CPA＝90°，即CP⊥AB，由射影定理知，AC2＝AP·AB.∴AP＝3.6，∴BP＝AB－AP＝6.4.答案6.42．如图所示，AB、AC是⊙O的两条切线，切点分别为B、C，D是优弧BC上的点，已知∠BAC＝80°，那么∠BDC＝________.解析连接OB、OC，则OB⊥AB，OC⊥AC，∴∠BOC＝180°－∠BAC＝100°，∴∠BDC＝12∠BOC＝50°.答案50°3．(2011·广州测试(一))如图所示，CD是圆O的切线，切点为C，点A、B在圆O上，BC＝1，∠BCD＝30°，则圆O的面积为________．解析连接OC，OB，依题意得，∠COB＝2∠CAB＝2∠BCD＝60°，又OB＝OC，因此△BOC是等边三角形，OB＝OC＝BC＝1，即圆O的半径为1，所以圆O的面积为π×12＝π.答案π4．(2011·深圳二次调研)如图，直角三角形ABC中，∠B＝90°，AB＝4，以BC为直径的圆交AC边于点D，AD＝2，则∠C的大小为________．解析连接BD，则有∠ADB＝90°.在Rt△ABD中，AB＝4，AD＝2，所以∠A＝60°；在Rt△ABC中，∠A＝60°，于是有∠C＝30°.答案30°5．(2011·汕头调研)如图，MN是圆O的直径，MN的延长线与圆O上过点P的切线PA相交于点A，若∠M＝30°，AP＝23，则圆O的直径为________．解析连接OP，因为∠M＝30°，所以∠AOP＝60°，因为PA切圆O于P，所以OP⊥AP，在Rt△ADO中，OP＝APtan∠AOP＝23tan60°＝2，故圆O的直径为4.答案4考向一圆周角的计算与证明【例1】►(2011·中山模拟)如图，AB为⊙O的直径，弦AC、BD交于点P，若AB＝3，CD＝1，则sin∠APB＝________.[审题视点]连结AD，BC，结合正弦定理求解．解析连接AD，BC.因为AB是圆O的直径，所以∠ADB＝∠ACB＝90°.又∠ACD＝∠ABD，所以在△ACD中，由正弦定理得：CDsin∠DAC＝ADsin∠ACD＝ADsin∠ABD＝ABsin∠ABDsin∠ABD＝AB＝3，又CD＝1，所以sin∠DAC＝sin∠DAP＝13，所以cos∠DAP＝232.又sin∠APB＝sin(90°＋∠DAP)＝cos∠DAP＝232.答案232解决本题的关键是寻找∠APB与∠DAP的关系以及AD与AB的关系．【训练1】如图，点A，B，C是圆O上的点，且AB＝4，∠ACB＝30°，则圆O的面积等于________．解析连接AO，OB.因为∠ACB＝30°，所以∠AOB＝60°，△AOB为等边三角形，故圆O的半径r＝OA＝AB＝4，圆O的面积S＝πr2＝16π.答案16π考向二弦切角定理及推论的应用【例2】►如图，梯形ABCD内接于⊙O，AD∥BC，过B引⊙O的切线分别交DA、CA的延长线于E、F.已知BC＝8，CD＝5，AF＝6，则EF的长为________．[审题视点]先证明△EAB∽△ABC，再由AE∥BC及等条件转化为线段之间的比例关系，从而求解．解析∵BE切⊙O于B，∴∠ABE＝∠ACB.又AD∥BC，∴∠EAB＝∠ABC，∴△EAB∽△ABC，∴BEAC＝ABBC.又AE∥BC，∴EFAF＝BEAC，∴ABBC＝EFAF.又AD∥BC，∴AB＝CD，∴AB＝CD，∴CDBC＝EFAF，∴58＝EF6，∴EF＝308＝154.答案154(1)圆周角定理及其推论与弦切角定理及其推论多用于推出角的关系，从而证明三角形全等或相似，可求线段或角的大小．(2)涉及圆的切线问题时要注意弦切角的转化；关于圆周上的点，常作直线(或半径)或向弦(弧)两端画圆周角或作弦切角．【训练2】(2010·新课标全国)如图，已知圆上的弧，过C点的圆的切线与BA的延长线交于E点，证明：(1)∠ACE＝∠BCD；(2)BC2＝BE×CD.证明(1)因为，所以∠BCD＝∠ABC.又因为EC与圆相切于点C，故∠ACE＝∠ABC，所以∠ACE＝∠BCD.(2)因为∠ECB＝∠CDB，∠EBC＝∠BCD，所以△BDC∽△ECB，故BCBE＝CDBC，即BC2＝BE×CD.高考中几何证明选讲问题(二)从近两年的新课标高考试题可以看出，圆的切线的有关知识是重点考查对象，并且多以填空题的形式出现．【示例】►(2011·天津卷)如图，已知圆中两条弦AB与CD相交于点F，E是AB延长线上一点，且DF＝CF＝2，AF∶FB∶BE＝4∶2∶1.若CE与圆相切，则线段CE的长为________．单击此处进入活页限时训练