第四讲各种多属性决策方法

一、多属性决策问题的准备工作设可供选择的方案集为:},,,{21mXXXX方案的属性集为:},,,{21nyyyY决策矩阵为:mnmjminijinjyyyyyyyyy1111111、决策矩阵例1学校扩建问题。设某地区现有6所学校，由于无法完全容纳该地区适龄儿童，需要扩建其中的一所。在扩建时既要满足学生就近入学的要求，又要使扩建的费用尽可能小。(至于所扩建学校的教学质量我们稍后再考虑。)经过调研，获得如下表所示的决策矩阵。学校序号费用/(万元)平均就读距离/(km)1601.02500.83441.24362.05441.56302.4例2研究生院评估。为了客观地评价我国研究生教育的实际状况和各研究生院的教学质量，国务院学位委员会办公室组织过一次研究生院的评估。为了取得经验，先选5所研究生院，收集有关数据资料进行了试评估。下表中所给出的是为了介绍各种数据预处理方法的需要而选的几种典型属性和经过调整了的数据。ji人均专著y1/(本/人)生师比y2科研经费y3/(万元/年)逾期毕业率y4/(%)10.1550004.720.2740002.230.61012603.040.3430003.952.822841.22数据预处理数据预处理又称属性值的规范化，主要有三个作用：(1)属性值有多种类型。有的属性值越大越好。有的属性值越小越好，有的属性值越接近于某个值越好。因此，需要对决策矩阵中的数据进行预处理，使表中任一属性下性能越优的方案变换后的属性值越大。(2)无量纲化。多目标间的不可公度性，要求仅用数值的大小来反映属性值的优劣。(3)归一化。即把表中数均变换到[0,1]区间上。数据处理的本质是要给出某个指标的属性值在决策人评价方案优劣时的实际价值。1、线性变换原始的决策矩阵为Y={yij},变换后的决策矩阵记为Z={zij},i=1,…,m,j=1,…,n。设yjmax是决策矩阵第j列中的最大值。若j为效益型属性，则zij=yij/yjmax(1)采用上式进行数据预处理时，经过变换的最差属性值不一定为0，最佳属性值为1。若j为成本型属性，可以令zij=1-yij/yjmax(2)经过(2)变换后的最佳属性值不一定为1，最差为0。成本型属性也可以用下式进行变换：zij’=yjmin/yij(2’)用式(2’)变换后的属性最差不一定为0,最佳为1,且是非线性变换。2、标准0-1变换对于线性变换，属性值进行线性变换后，若属性j的最优值为1，则最差值一般不为0;若最差值为0,最优值就往往不为1。为了使每个属性变换后的最优值为1且最差值为0,可以进行标准0-1变换。对效益型属性j,令(4)，j(3)minmaxmaxminmaxminjjijjijjjjijijyyyyzyyyyz令为成本型属性时3、最优值为给定区间时的变换设给定的最优属性区间为[yj0,yj*],yj’为无法容忍下限，yj’’为无法容忍上限，则(5)变换后的属性值zij与原属性值yij之间的函数图形为一般梯形。其他若若若0)/()(11)/()(1*''*''**00''00jijjjjjijjijjjijjjjijjijyyyyyyyyyyyyyyyyyz4、向量规范化无论成本型属性还是效益型属性，向量规范化均用下式进行变换：这种变换也是线性的，但是它与前面介绍的几种变换不同，从变换后属性值的大小上无法分辨属性值的优劣。它的最大特点是，规范化后，各方案的同一属性值的平方和为1，因此常用于计算各方案与某种虚拟方案(如理想点或负理想点)的欧式距离的场合。(6)/12miijijijyyz5、原始数据的统计处理有些时候某个目标的各方案属性值往往相差极大，或者由于某种特殊原因只有某个方案特别突出。如果按一般方法对这些数据进行预处理，该属性在评价中的作用将被不适当地夸大。为此可以采用类似于评分法的统计平均方法。方法之一是设定一个百分制平均值M，将方案集X中各方案该属性的均值定位于M，再用下式进行变换：其中，是各方案属性j的均值，m为方案个数，M的取值可在0.5-0.75之间。(7))00.1(maxMMyyyyzjjjijijmiijjymy11６、专家打分数据的预处理有时某些性能指标很难或根本不能用适当的统计数据来衡量其优劣。通常要请若干个同行专家对被评价对象按指标打分。再用各专家打分的平均值作为相应指标的属性并据此确定被评价对象的优劣。为了改变无形中造成的各专家意见重要性不同的状况，使各位专家的意见在评价中起同样的重要作用，应该把所有专家的打分值规范到相同的分值区间[M0,M*]。M0和M*的选值不同对评价结果并无影响，只要所有专家的打分值都规范到该区间就行。具体算法为(8)若选M0=0,M*=1，上式就与效益型属性的标准0-1变换式(3)相同。minmaxmin0*0)(jjjijijyyyyMMMz9.5TOPSIS法1、TOPSIS法的解题思路TOPSIS是逼近理想解的排序方法(techniquefororderpreferencebysimilaritytoidealsolution)，它借助多属性问题的理想解和负理想解给方案集X中各方案排序。理想解x*是一个方案集X中并不存在的虚拟的最佳方案，它的每个属性值都是决策矩阵中该属性的最好的值；而负理想解x0则是虚拟的最差方案，它的每个属性值都是决策矩阵中该属性最差的值。在n维空间中，将方案集X中的各备选方案xi与理想解x*和负理想解x0的距离进行比较，既靠近理想解又远离负理想解的方案就是方案集X中的最佳方案；并可以据此排定方案集X中各备选方案的优先序。TOPSIS法的思路可以用下图来说明。图1理想解和负理想解示意图x1x5x4x0x2x6x3x*f2f1(9.35)n,1,jjminjmax(9.34)n,1,jjminjmax,,)3()33.9(,,1;,,1,,),,,((2)(9.32)n,1,jm;,1,i,/,,)1(20*00**0*2112为效益型属性为成本型属性负理想解为成本型属性为效益型属性理想解则个属性为第负理想解个属性值为的第设理想解和负理想解确定理想解则设由决策人给定构成加权规范矩阵则规范化决策矩阵策矩阵设多属性决策问题的决得规范决策矩阵用向量规范化的方法求的算法步骤xijxxxijxxxjxxjx。xxnjmizwx。xXyyzzZyY。、TOPSISiijijiijijjjijjijTnijmiijijijijij。C(6)(9.38)m,1,i),/(C)。((5)(9.37)m,1,i,)(dx(9.36)m,1,i,)(d)4(*i*00*in1j200iin1j2**i劣次序由大到小排列方案的优按即综合评价指数值计算各方案的排队指示到负理想解的距离为备选方案到理想解的距离为备选方案负理想解的距离计算各方案到理想解与iiijijjijidddxxxxx。ji人均专著y1/(本/人)生师比y2科研经费y3/(万元/年)逾期毕业率y4/(%)10.1550004.720.2740002.230.61012603.040.3430003.952.822841.23、用TOPSIS法求解例2(1)对表所示属性值向量规范化，所得属性矩阵见下表.表中最右一列是属性2经式(5)变换后的值再进行向量规范化的结果。ijz1(y1)z3(y3)z4(y4)z2’(z2)10.03460.69560.64820.666620.06930.55650.30340.555530.20780.17530.41370.222240.10390.41740.53780.444450.96950.03980.16550.0000(2)设权向量仍为w={0.2,0.3,0.4,0.1},得加权的量规范化属性矩阵如下:ijz1’z2’z3’z4’10.006920.200000.278240.0648220.013860.166670.222600.0303430.041560.666670.070120.0413740.020790.133330.166960.0537850.193900.00000.159200.01665(3)由上表和式(9.34)、式(9.35)，得理想解x*为(0.1939,0.2000,0.2872,0.01655)负理想解x0为(0.00692,0.0000,0.01592,0.06482)(4)分别用式(9.36)和式(9.37)求各方案到理想点的距离di*和负理想点的距离di0,列于下表。(5)计算排队指示值Ci*(见上表),由Ci*值的大小可确定各方案的排序为：di*di0Ci*10.19310.65430.772120.19180.43540.657730.21940.25280.529740.21970.20220.479350.65430.19310.225454321xxxxx二、基于离差最大化的多属性决策方法1、决策方法对于某一多属性决策问题,属性权重信息完全未知.决策矩阵为,A经过规范化处理后,得到规范化矩阵mnijaA)(mnijrR)(假设属性权重向量为并满足单位化约束条件:Mj,0),,...,,(21mjjw121则各方案的综合属性值可定义为:mjjijiwrwz1)(多属性决策,一般是对这些方案综合属性值的排序比较.若所有方案属性uj下的属性值差异越小,则说明该属性对方案决策与排序所起的作用越小;反之,如果属性uj能使所有方案的属性值有较大差异,则说明其对方案决策与排序将起重要作用.因此,从对方案进行排序的角度考虑,方案属性值偏差越大的属性(无论其本身的重要性程度如何)应该赋予越大的权重.特别地,若所有方案在属性uj下的属性值无差异,则属性uj对方案排序将不起作用,可令其权重为0.对于属性uj,用Vij(w)表示方案与其他所有方案之间的离差.则可定义MjNiwrwrVnkjkjjijij,,1令MjwrrwVwVjninkkjijniijj,)()(111则Vj(w)表示对属性uj而言,所有方案与其他方案的总离差.根据上述分析,加权向量w的的选择应该使所有属性对所有方案的总离差最大.为此,构造目标函数为mjjninkkjijnjjwrrwVwV1111)()(max于是,求权重向量w等价于求解如下最优化模型:1,,0..)(max12111mjjjmjjninkkjijwMjwtswrrwV解此最优化模型,作拉格朗日(lagrange)函数)1(21),(12111mjjmjjninkkjijwwrrwL求其偏导数,并令01,01211mjjjninkkjijjwLMjwrrwL求得最优解为:Mjrrrrwmjninkkjijninkkjijj121111*由于传统的加权向量一般都满足于归一化约束条件而不是单位化约束条件,因此在得到单位化权得向量w*之后,为了与人们的习惯用法一致,还可以对w*进行归一化处理,即令Mj,**1由此得到:Mjrrrrwmjninkkjijninkkjijj,111112、实例分析某单位在教练机选型论证中，选取了10种国内外教练机：X1—L-39；X2—MB339，X3—T-46，X4—膺，X5—C101，X6—S211，X7—阿尔法喷气，X8—歼教5，X9—初教6，X10—T-4。评价指标属性为：u1-过载范围，u2-升限，u3-最大平飞速度，u4-着陆速度，u5-