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离散时间控制系统的Z平面分析何熠本章结构2-1Z变换2-2脉冲采样和数据保持2-3从采样信号中重构原信号2-4脉冲传函2-5数字控制器和数字滤波器的实现变换由来：•在《自动控制原理》中，线性连续系统的动态特性可以由微分方程描述，并利用拉普拉斯变换法分析线性连续系统的动态与稳态特性。•相应地，线性离散系统的动态特性可以用线性差分方程描述，并利用基于拉普拉斯变换法的Z变换法分析线性离散系统的动态与稳态特性。由于Z变换是由拉普拉斯变换导出的，因而可以把Z变换看成拉普拉斯变换的一种变形。Z变换Z变换作用：Z•Z变换（Z-transform）在数学和信号处理上，把一个分散式的数字信号，从时间模式转为频率模式来表示。•Z变换可将离散的信号（主要用于数字信号）从时域转换到频域。作用和拉普拉斯变换（将连续的信号从时域转换到频域）是一样的。•Z变换对于分析和设计单输入单输出的线性时不变离散时间控制系统十分有效。•Z变换的最大优点是将传统的连续时间系统设计方法应用于那种部分是连续系统、部分是离散系统的离散时间系统。变换Z设连续时间函数可以进行拉普拉斯变换，其拉氏变换为。连续时间函数经采样周期为的采样器采样后，变成离散信号，可写成()xt*()xt()xt0T()Xs*00()()()nxtxnTtnT∞=−∞=δ−∑变换定义：Z变换Z•考虑到当时，，上式可写成•对上式进行拉普拉斯变换，由于可得0n0()0xnT=*000()()()nxtxnTtnT∞=−=δ−∑00[()]nTsLtnTe−δ−=0**00[()]()()nTsnLxtXsxnTe∞−=−==∑（2-1）变换Z引入变量，令则式(2-1)可改写成如下形式若式(2-2)的级数收敛，则称为离散时间函数的变换，记为z0Tsze=*00()()nnXzxnTz∞−=−=∑()Xz*()xtZ*[()]()ZxtXz=变换Z（2-2）•在变换中，由于只考虑连续时间函数在采样时刻时的采样值，因此，连续时间函数与离散时间函数具有相同的变换。即∑∞=−===00*)()()]([)]([nnznTxzXtxZtxZZ)(tx)(*txZ变换Z•求变换的方法：求离散时间函数的变换的方法有多种，最常用的方法是：Z变换ZZ¾级数求和法¾部分分式法¾留数计算法LL+++++⋅=−−−nznTxzTxzTxxzX)()2()(1)0()(02010∑∞=−=00)(nnznTx∑=−=niTpiiezzpXreszX1])([)(0∑==−−⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−−=nipssTrirriiiiiezzsXpsdsdr1110)()()!1(1∑=−−=niTpiiezzAzX10)(∑=+=niiipsAsX1)(级数求和法:部分分式法:留数计算法:变换ZZ21()(1)Xsss=+例1给定，利用左半平面上的卷积分求X(Z)。变换解：有一个重极点和一个单极点，于是由公式可得，()Xs0s=1s=−222012220()()[residueofatpoleof()]111lim[]lim[(1)](21)!(1)(1)[(1)()]1lim(1)()(1)TsTsTsssTsTsTsTsXszXzXszedzzssdssszesszezzesTezszeze→→−−→=−=++−+−+−−−++−=++−−−∑Z22212121(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)TTTTTTTTTzzTzzTezeTezzezzeTezeTezzez−−−−−−−−−−−−−−−−−++−−=+=−−−−−++−−=−−变换•如果带有零阶保持器，则其Z变换()Gs(1)()()TseXsGss−−=1()()[()](1)[]GsXzZXszZs−==−•如果带有一阶保持器，则其Z变换()Gs211()()()TseTsXsGssT−−+=221221()[(1)()]1(1)[()]TsTsXzZeGsTsTszZGsTs−−+=−+=−本章结构2-1Z变换2-2脉冲采样和数据保持2-3从采样信号中重构原信号2-4脉冲传函2-5数字控制器和数字滤波器的实现脉冲采样和数据保持•脉冲采样:脉冲采样的输出是一系列脉冲，每个脉冲的值等于连续信号相应时刻的值。•脉冲采样输出:*()xt*0()()()kxtxkTtkTδ∞==−∑图2-1连续信号与断续信号()xt*()xt()xt•其拉普拉斯变换:•其变换:*0()()kTskXsxkTe∞−==∑0()()kkXzxkTz∞−==∑脉冲采样和数据保持Z•数据保持器:数据保持是从一个离散时间序列x(kT)产生一个连续信号h(t)的过程。或如果数据保持器是n阶多项式，称之为n阶保持器。1110()nnnnhkTaaaaττττ−−+=++++L111()()nnnnhkTaaaxkTττττ−−+=++++L脉冲采样和数据保持•零阶保持器：零阶保持器是一个积分器，它的输入为一系列脉冲。零阶保持器的传递函数：一阶保持器的传递函数：01()TsheGss−−=2111()()TsheTsGssT−−+=脉冲采样和数据保持零阶保持器零阶保持器是最常用的一种保持器，它把采样时刻的采样值恒定不变地保持（或外推）到下一采样时刻。如图2-2所示，零阶保持器的输出为阶梯信号。图2-2应用零阶保持器恢复信号连续信号阶梯信号其幅频特性和相频特性如图2-3所示)(ωjGh′ω32SωSωSωπ-π-2π-3)(ωjGh图2-3零阶保持器的频率特性0sin(/2)|()|||/2hTGjTTωωω=1TsheGs−−=零阶保持器的传递函数为的幅值为0()hGjω零阶保持器•虽然零阶保持器的性能不是很好，但它仍是一个低通滤波器。在采样前增加低通滤波器可以有效地滤去系统大于的部分。•零阶保持器的精度依赖于，当采样周期T越小，保持器的输出越接近于原来的连续信号。12sωsω零阶保持器一阶保持器以两个采样时刻的值为基础实行外推，它的外推输出式中t'为kT到(k＋1)T之间的时间变量。如图2-4所示。''])1[()()()(tTTkxkTxkTxtkTx−−+=+)(txh)(tx)(tx0t2t3t…..（2-3）图2-4应用一阶保持器恢复信号一阶保持器一阶保持器的脉冲响应函数应该如图2-5所示.h(t)tT-T10-1①单位阶跃②单位斜坡③2×单位阶跃④2×单位斜坡⑤单位阶跃⑥单位斜坡a）一阶保持器的脉冲响应函数b）脉冲响应函数的分解图2-5一阶保持器脉冲响应一阶保持器如图b，根据一阶保持器脉冲响应函数的分解，可得保持器的传递函数TSTsTsTsheTseseTsesTsssG22222112211)(−−−−++−−+=(2-4)或2)1)(1()(TseTTsGTssh−−+=(2-5)一阶保持器的频率特性为)(222)22sin()(1)1)(1()(TjTjheTTTTTjeTjTjGωθωωωωωωω−−+=−+=(2-6)一阶保持器式中＝tg-1Tθω图2-6就是按上式得到的幅频特性。虚线为零阶保持器的频率特性ω)(ωjGh′SωSω2Sω3-ππ-2)(ωjGh图2-6一阶保持器的频率特性（虚线为零阶保持器的频率特性）一阶保持器¾总结：实际的采样器和零阶保持器在数学上由脉冲采样器和传递函数来代替，这使得实际离散系统在数学上变为连续系统，同时在数学表达上出现了项，如果将变换为z，我们就可以用z平面的相关知识代替拉普拉斯变换去分析离散系统。因此，一般有：s域用于分析连续系统，z域用于分析离散系统，s域与z域之间存在的变换关系。Tsez→(1)/Tses−−TseTse脉冲采样和数据保持本章结构2-1Z变换2-2脉冲采样和数据保持2-3从采样信号中重构原信号2-4脉冲传函2-5数字控制器和数字滤波器的实现从采样信号中重构原信号采样定理•如果采样频率比初始信号包含的最高频率还要高，则连续信号的振幅特征可以在采样信号中保留。•为了能不失真的从离散信号中恢复原有的连续信号，采样频率必须大于等于原连续信号所含最高频率的两倍，即max2ωω≥smax22Tπω≤或•虽然理论上只要就可以了，但是考虑到闭环系统的稳定性和其它因素，一般取到之间。12sωωsω110ω120ω从采样信号中重构原信号maxωmaxωmaxω-maxω-E(j)ωωω002sω2sω-sωsω-)(*ωjET1(a)连续信号e（t）的频谱(b)离散信号e*(t)的频谱（＞2）sωmaxω从采样信号中重构原信号•理想滤波器：采样过程包括无限个补充频谱加上一个主频谱。低通滤波器滤掉了补充频谱，只让主频谱通过，大于连续信号中最高频率的2倍。这样，一个低通滤波器就重构了由采样表示的连续信号。从采样信号中重构原信号理想滤波器的滤波特性为=)(ωjG102/sωω≤2/sωω(2-7)其频率特性如图2.7)(ωjGω2sω2sω-图2-7理想滤波器的频率特性从采样信号中重构原信号•理想滤波器的频谱如下给出•频谱的傅立叶反变换为111,()220,sslGjelsewhereωωωω⎧−≤≤⎪=⎨⎪⎩sin(/2)1()/2slstgtTtωω=从采样信号中重构原信号重叠（Folding）•频谱的交叉部分叫做重叠。在实际中，系统的信号常常含有高频部分，重叠经常会发生。由于采样频率不可能很高，因此，信号中的高频部分只能以低频的形式采进来，这对于信号重构是不利的。从采样信号中重构原信号*|()|Xjww2sw−2swsw−sw0Folding从采样信号中重构原信号混淆（Aliasing）•在重叠区域的任意一点处（如处），不仅包括这一点的频谱，还包含其他部分的频谱（如处），这种现象就称为混淆，这时是无法区分这两种信号的，这对于信号重构也是不利的。•为了防止混淆，选择采样频率时必须足够高（），或者在采样前用滤波器滤去高频信号。12sωω2w2snww±从采样信号中重构原信号*|()|Xjww1w−2wsw−sw01w12w−12w*2|(())|sXjww−*2|()|Xjw从采样信号中重构原信号隐性振荡（HiddenOscillation）•如果连续信号中包含的频率部分有的整数倍，则这部分将不会在采样信号中出现，而在采样前会出现。把采样前这种频率对应的振荡称为隐性振荡。sω从采样信号中重构原信号1()xt2()xt()xt()xkkt0π2π3π4πttπ2π3π4ππ2π3π4π000123456sintsint+sin3tsin3t从采样信号中重构原信号本章结构2-1Z变换2-2脉冲采样和数据保持2-3从采样信号中重构原信号2-4脉冲传递函数2-5数字控制器和数字滤波器的实现脉冲传递函数•基本概念•求脉冲传递函数的方法•采样器对脉冲传递函数的影响•数字控制器脉冲传递函数•数字PID控制器的脉冲传递函数•采样间隔之间的响应基本概念•卷积和：对于连续系统，可以利用卷积积分,根据求对于离散系统，可以利用卷积和来求，所以()xt()yt00()()()()()ttytgtxdxtgdττττττ=−=−∫∫*00()()()()()kkxtxttkTxkTtkTδδ∞∞===−=−∑∑0()()(0)()()()()()()(1)khytgtxgtTxTgtkTxkTgthTxhTkTtkT==+−++−=−≤+∑L在采样时刻，的输出值为其中,是系统的加权响应。上式所求的和叫做卷积和。可以简写为()gkTtkT=()yt00()()()()()khkhykTgkThTxhTxkThTghT===−=−∑∑()()*()ykTxkTgkT=基本概念基本概念z脉冲传递函数：对前面定义的卷积和进行Z变换得到其中定义为离散系统的脉冲传递函数0()()()0,1,2,hykTgkThTxhTk∞==−=∑K()()()YzGzXz=0()()()mmGzgmTzztransformofgt∞−===∑()Gz基本概念•starred拉普拉斯变换：为了得到脉冲传递函数和分析离散控制系统，必须求出在控制回路不同位置包含采样