管理决策分析5

管理决策分析裴凤[e-mail]合肥工业大学管理学院2有些决策问题，在评价某些指标时，往往很难用具体的数字来表示。例如，对服装的购买要求是：耐穿、颜色满意、式样美观、尺寸合身、价格适宜。在这五个指标中，颜色满意、式样美观的程度就很难用数字精确表示，人们往往只能用满意、美观，或不太满意、不太美观等一些含糊不清的概念。这类包含一些模糊概念在内的决策问题称为模糊决策。解决这一类问题，可以借助于模糊理论。3第五章模糊决策第二节模糊集合及其运算第一节模糊数学的产生与发展主要内容：第三节模糊聚类分析第四节模糊综合评价法4经典集合论集合论要求一个元素x是否属于集合A是明确的，即或，两者必居其一，且只居其一。十九世纪下半叶，康托尔创立了著名的集合论。数学家们发现，从自然数与康托尔集合论出发可建立起整个数学大厦，因而集合论成为现代数学的基石。“一切数学成果可建立在集合论基础上”这一发现使数学家们为之陶醉。康托尔（1845-1918）集合：具有某种特定属性的对象的全体。xAxA第一节模糊数学的产生与发展51903年，一个震惊数学界的消息传出：集合论是有漏洞的！这就是英国数学家罗素提出的著名的罗素悖论。罗素的这条悖论使集合理论产生了危机。它非常浅显易懂，而且所涉及的只是集合论中最基本的东西。所以，罗素悖论一提出就在当时的数学界与逻辑学界内引起了极大震动。伯特兰·罗素（BertrandA.W.Russell，1872—1970）罗素悖论：罗素悖论{|}AxxA第一节模糊数学的产生与发展6在某个城市中有一位理发师，来找他刮脸的人络绎不绝，自然都是那些不给自己刮脸的人。可是，有一天，这位理发师从镜子里看见自己的胡子长了，他本能地抓起了剃刀，你们看他能不能给他自己刮脸呢？广告本人的理发技艺十分高超，誉满全城。我将为本城所有不给自己刮脸的人刮脸，我也只给这些人刮脸。我对各位表示热诚欢迎！悖论1第一节模糊数学的产生与发展7世界文学名著《唐·吉诃德》中有这样一个故事：唐·吉诃德的仆人桑乔·潘萨跑到一个小岛上，成了这个岛的国王。一天，有一个胆大包天的人来了，他照例被问了这个问题，而这个人的回答是：“我到这里来是要被绞死的。”请问桑乔·潘萨是让他在岛上玩，还是把他绞死呢？小岛的国王发现，他的法律无法执行，因为不管怎么执行，都使法律受到破坏。他思索再三，最后让卫兵把他放了，并且宣布这条法律作废。小岛法律：每一个到达这个岛的人都必须回答一个问题：“你到这里来做什么？”如果回答对了，就允许他在岛上游玩，而如果答错了，就要把他绞死。悖论2第一节模糊数学的产生与发展8•有一个古老的希腊悖论，是这样说的：“一粒种子肯定不叫一堆，两粒也不是，三粒也不是……另一方面，所有的人都同意，一亿粒种子肯定叫一堆。那么，适当的界限在哪里？我们能不能说，123585粒种子不叫一堆而123586粒就构成一堆？”确实，“一粒”和“一堆”是有区别的两个概念。但是，它们的区别是逐渐的，而不是突变的，两者之间并不存在明确的界限。换句话说，“一堆”这个概念带有某种程度的模糊性。•秃头悖论。悖论3第一节模糊数学的产生与发展9•1965年美国著名控制论专家扎德（L.A.Zadeh）发表了《模糊集合》（fuzzysets）论文，标志着模糊数学这门学科的诞生。扎德以精确数学集合论为基础，对数学的集合概念进行修改和推广，提出了“模糊集合”的数学模型。并在“模糊集合”上逐步建立运算、变换规律，开展有关的理论研究。这样使得构造出研究现实世界中的大量模糊现象的数学基础成为可能，能够对看来相当复杂的模糊系统进行定量的描述和处理。第一节模糊数学的产生与发展10为了提高计算机识别模糊现象的能力，就需要把模糊信息设计成机器能接受的指令和程序，以便机器能像人脑那样简洁灵活的做出相应的判断，从而提高自动识别和控制模糊现象的效率，需要一种数学工具，建立模糊数学模型。模糊数学：描述和加工模糊信息的数学工具计算机速度快、准确率高，但是对模糊现象识别能力较差。人脑具有处理模糊信息的能力，善于判断和处理模糊现象。PK模糊数学与信息革命第一节模糊数学的产生与发展11•经典集合论中，元素是否属于某集合能够清楚区分。如：某人是男还是女，某自然数是奇数还是偶数等等。在确定一个元素是否属于某集合时，只能有两种回答：“是”或者“不是”。我们可以用两个值0或1加以描述，属于集合用1表示，不属于集合用0表示。一、模糊现象与模糊集合第二节模糊集合及其运算•对于普通集合A，元素x是否属于A可由特征函数来表明其隶属情况。AxACxxA1,()0,12•然而“年老”、“高个子”、“年轻人”、“很大”、“聪明”、“漂亮的人”、“价廉物美”等情况要复杂得多，对这类事物不能简单地用0、1数字特征来刻画。一、模糊现象与模糊集合假如规定身高1.8米是高个子范围，那么，1.79米的算不算？在描述模糊集合时，我们可以在普通集合的基础上，把特征函数的取值范围从集合{0,1}扩大到区间[0,1]，这样就可以借助经典数学工具来描述模糊集合了。第二节模糊集合及其运算13一、模糊现象与模糊集合模糊集合（FuzzySet）的定义所谓给定论域X上的一个模糊集合，是指存在一个映射使得对于任意的x∈X，都有一个数与之对应。:[0,1]()AAXxxA()[0,1]Ax映射称为模糊集合的隶属函数。AA而对于任意的x∈X，称为x属于模糊集合的隶属度。()AxA模糊集合完全由其隶属函数所刻画模糊集合的特征值取值范围推广到[0,1]区间。特别地，当它的值只取{0,1}两个端点时，模糊集合便转化为普通集合。因此，普通集合是模糊集合的特殊情形。第二节模糊集合及其运算14模糊集合的表示一、模糊现象与模糊集合在有限论域的情况下：1()/nAiiiAxx12((),(),,())AAAnAxxx在无限论域的情况下：此时的不表示积分，而是表示各个元素及其隶属度的总括。()/AAxxZadeh表示法向量表示法第二节模糊集合及其运算15•例1设X={1,2,3,4}A={1/1+0.8/2+0.2/3+0/4}分母表示论域中的元素，分子表示相应元素的隶属度，隶属度为0的时候可以不写。例2模糊集“老年人”的隶属函数为210050()5[1()]5010050xxxx老年人则μ老年人(55)=0.5,μ老年人(60)=0.8,μ老年人(70)=0.94第二节模糊集合及其运算16二、模糊集合的运算模糊集合的运算实质量上是对隶属度的计算。1.空集即有所谓模糊集合是空集，就是指对，有记为AAxX()0Ax0AA2.全集即有所谓模糊集合是全集，就是指对，有记为AAExX()1Ax1AAE第二节模糊集合及其运算17其中分别是模糊集合的隶属度函数。即两个模糊集合是相等的，如果对于任意的x∈X，有()()ABxx,AB,AB,AB()()ABABxx3.等集4.子集即如果对于任意的x∈X，有，则称模糊集合是模糊集合的子集，记为()()ABxxA()()ABABxxBAB二、模糊集合的运算第二节模糊集合及其运算18二、模糊集合的运算即模糊集合的补集定义为，对于任意的x∈X，有()1()AAxxA()1()AAAxx5.补集A6.模糊集合的并模糊集合的并集定义为包含模糊集两者在内的最小的模糊集合，记为。其隶属函数具有如下关系：,AB,ABAB()max{(),()}ABABxxx()()()ABABxxx或，“∨”表示取大第二节模糊集合及其运算19二、模糊集合的运算7.模糊集合的交模糊集合的交集定义为被模糊集两者所包含的最大的模糊集合，记为。其隶属函数具有如下关系：,AB,ABAB()min{(),()}ABABxxx()()()ABABxxx或，“∧”表示取小第二节模糊集合及其运算20举例：设文学爱好者和体育爱好者集合为A和B，对应隶属函数μA(x)和μB(x)，则文体爱好者集合为C=A∪B、隶属函数为μC(x)=μA(x)∨μB(x)。若某人关于A、B的隶属函数取值为0.3、0.6，则其关于C的隶属函数取值为0.3∨0.6=0.6。又：设健康者和老年人集合为A和B，对应隶属函数μA(x)和μB(x)，则健康的老年人集合为C=A∩B,隶属函数为μC(x)=μA(x)∧μB(x)。若某人关于A、B的隶属函数取值为0.4、0.7，则其关于C的隶属函数取值为0.4∧0.7=0.4。第二节模糊集合及其运算211.模糊关系例现有三个家庭，将其成员的单人照片放在一起，让一个不相识的人根据照片上的容貌来判断哪些人是一家人。分析：可以把照片两两比较，并用[0,1]中的一个数来表示他们的相像程度，这个数可称为相似系数。例如，第一张照片与第二张照片不太像，可用0.4表示；第一张与第三张比较像，可用0.8表示；……第一张与第n张根本不像，可用0表示。于是得到一个n×n的模糊关系矩阵Ｒ，称其为模糊关系。一、模糊聚类分析基本原理第三节模糊聚类分析聚类分析：将研究对象按照一定的条件或属性进行分类。2210.40.80.200.410.81110.211101123456789123……69第三节模糊聚类分析23模糊相容关系：具有自返性和对称性的模糊关系.自返性：主对角线值为1,即rii=1,i=1,2,…,n若已知甲乙一家、乙丙一家，则合理的推论是甲丙也是一家。要想由模糊关系得到此推论，还须具有传递性。模糊关系的性质对称性：关于对角线对称处的值相等，即rij=rji,i,j=1,2,…,n模糊等价关系：具有自返性、对称性和传递性的模糊关系.第三节模糊聚类分析24设有两个模糊关系R和S，称R.S为模糊关系的复合，即模糊矩阵的积。..,..08020106R0.50.70.10S则0.80.20.50.70.10.60.10RS(0.80.5)(0.20.1)(0.80.7)(0.20)0.50.7(0.10.5)(0.60.1)(0.10.7)(0.60)0.10.1式中∧为取小，∨为取大。若模糊关系的运算第三节模糊聚类分析25可以证明：对于一个n×n的模糊相容关系矩阵R，有Rn-1=Rn=Rn+1=…且Rn-1必具有自返性、对称性和传递性。即：对于一个n行n列的模糊相容关系矩阵R，最多经过n-1次复合(自乘)即可得到相应的模糊等价关系。为加快计算速度可采用平方法（褶积计算），即：R1→R2→R4→R8→…2.求模糊等价关系第三节模糊聚类分析263.利用模糊等价关系聚类对模糊等价关系R，给定一个聚类（置信）水平λ，令rij=0，rijλrij=1，rij≥λ则各行各列中元素值为1的即为同类。调整λ值，直至获得满意的分类为止。第三节模糊聚类分析271.收集数据，进行标准化处理；2.选择一种表示样本相似度的计算公式，建立样本间的模糊相容矩阵；3.由模糊相容关系，得到模糊等价关系；4.给定聚类水平，对样本进行聚类。二、模糊聚类分析的步骤第三节模糊聚类分析281.数据的标准化处理表1具有n个指标m个样本的数据表指标样本123……n12·my11y12y13……y1ny21y22y23……y2n··ym1ym2ym3……ymn数据表中的指标往往量纲不统一，且可能会出现有些是定量的，有些是定性的，有的取值很大，有的取值很小。所以在计算相似度之前，必须对样本数据进行处理。处理的办法是消除原指标的量纲，且压缩到[0,1]区间。常用公式为：第三节模糊聚类分析29min(1)maxminijijiijijijiiyyxyy收益型指标：max(2)maxminijijiijijijiiyyxyy成本型指标：maxijiy——样本第j项指标最大值mi