管理决策模型与方法__层次分析法

(适用于信息管理与信息系统、工商管理专业30H)主讲教师：屈春艳第四章层次分析法决策的研究中存在的两种倾向：一是过分地依赖数学模型，期望对复杂的问题进行定量而精确的分析并追求大而复杂的数学模型，其结果是无法反映人们的经验因素，因而使相当多的数学模型的最优解与现实中的最优相距甚远。二是过多的偏重于行为、逻辑、推理方面的研究和分析，而忽视了把重要因素定量地反映到决策中来，以致于不能够定量描述因素之间的相关关系。正是在这种背景下，产生了层次分析理论。层次分析法(TheAnalyticHierarchyProcess，简称AHP方法)是美国运筹学家A.L.Saaty教授二十世纪七十年代提出的，它是一种新的定性与定量分析相结合的系统分析方法。AHP本质上是一种决策思维方式，人们往往把AHP看作一种最优化技术，归入多目标决策的一个分支，但AHP改变了以往最优化技术只能处理定量分析问题的传统观念，而率先进入了长期滞留在定性分析水平上的许多科学研究的领地。AHP最大的贡献在于提供了对非定量事件作定量分析的简便方法，而导致这种贡献的最关键突破在于对人的主观判断做出了客观的定量描述。层次分析法的理论核心AHP法是综合定性与定量分析，使决策者对复杂系统的决策思维过程模型化、数量化或规范化的一种方法，其理论核心是：很多复杂的系统可以简化为有序的递阶层次结构，决策问题通常表现为一组方案优先顺序的排列问题，而这种排序又可以通过简单的两两比较形式导出。层次分析法的特点（1）思路简单明瞭，它将决策者的思维过程条理化、数量化，便于计算，容易被人们所接受；（2）所需要的定量数据较少，但对问题的本质，包含的因素及其内在关系分析得清楚；（3）可用于复杂的非结构化的问题，以及多目标、多准则、多时段等各种类型问题的决策分析，具有较广泛的实用性。第一节层次分析法的原理一、AHP的基本思想层次分析法对复杂决策问题处理的基本思想是：在对问题充分研究后首先分析问题内在因素间的联系，并把它划分为若干层次，如措施层(或方案层)、准则层（含子准则）、目标层等。措施层指的是决策问题的可行方案，准则层是指评价方案优劣的准则，目标层指的是解决问题所追求的总目标，把各层间要求的联系用直线表示出来，所形成的层次结构如下图所示。目标目标层准则层(含子准则层)方案层准则1方案1准则2准则m方案2方案n……方案3……图4-1层次结构AHP的基本思想(另一种说法)以系统方法为指导，在对问题充分研究后首先分析问题内在因素间的联系，并把它划分为若干层次，然后通过两两比较确定同一层次元素相对上一层次元素的数量关系，最后进行简单的数学运算，从而实现对方案进行排序的一种简洁实用的决策方法。二、层次分析法的基本原理复杂的决策问题往往涉及到许多因素，如社会、政治、经济、科技乃至自然环境等，因此要认识一个复杂系统就比较困难。层次分析法正是处理此类问题的有效方法。它首先提出了递阶层次结构理论，然后给这种递阶层次结构进行定量描述，通过排序理论得出满足系统总目标要求的各个方案（或措施）的优先次序。因此，层次分析法的基本原理可归纳为层次的数学原理—特征向量方法、递阶层次结构原理、两两比较标度与判断原理、层次排序原理。（一）层次分析法的数学原理——特征向量方法重量两两进行比较如下：nnAAA,,,21n个物体重量分别记为。现将每个物体的假设有，它们的单事例分析来说明。层次分析法的基本原理可以用以下的简物体重量两两比较结果：……………1A1A2A2AnAnA11/WW21/WWnWW/112/WW22/WWnWW/21/WWn2/WWnnnWW/若以矩阵来表示各物体的这种相互重量关系，即nnijnnnnnna)(/////////212221212111显然jiijaa/11iia),,2,1,,(nkjiaaaikjkij；；上式中，A称为判断矩阵。WnAW则有：所对应的特征向量。WAnAnAW这就是说,是判断矩阵的特征向量,是的一个特征值。事实上，根据线性代数知识(根据矩阵理论)，我们不难证明，是矩阵的唯一非零的，也是最大的特征值，而为其Tn若取重量向量上述事实提示我们，如果有一组物体(假设其重量总和为1)，需要知道它们的重量，而又没有衡器，那么我们就可以通过两两比较它们的相互重量，得出每对物体重量比的判断，从而构成判断矩阵;然后通过求解判断矩阵的最大特征值max向量，就可以得出这一组物体的相对重量。和它所对应的特征根据这一思路，对于复杂管理决策问题，通过建立层次分析模型,对于一些无法测量的因素，只要引入合理的标度，构造出判断矩阵，就可以应用这种求解判断矩阵的最大特征根及其特性向量的方法,来确定出相应各种方案、措施、政策等相对于总目标的重要性权值(因素之间的相对重要性)，从而为有关决策提供依据。一个复杂的无结构问题可分解为它的若干组成部分或因素。例如，目标、约束、准则、子准则、方案等,按照属性的不同把这些因素分组形成互不相交的层次，上一层次的因素对相邻的下一层次的全部或某些因素起着支配作用，形成按层次自上而下的逐层支配关系,具有这种性质的层次称为递阶层次。分析建立一个有效的合理的递阶层次结构对于能否解决问题具有决定性意义。（二）递阶层次结构原理例:某人拟从相同配置的金长城电脑、联想电脑和托普电脑中购买一台，其决策的层次结构模型如下图所示。A购买一台满意的电脑目标层准则层(含子准则层)方案层C1功能强C2价格低C3易维护P1金长城P3托普P2联想图4-2（三）两两比较的标度与判断原理(断矩阵。某一层因素，比如第i1ikA层，以及相邻上一层)层次中的一个因素,两两比较第i层的所有因素对kA因素的影响程度，将比较的结果以数字的形式写入一个矩阵表，即构成判判断矩阵的构成是，先给出递阶层次中的而言，nBBB,,,21ijbiBjB为i层的因素，则有判断矩阵如表4-1所示。其中表示对kA相对重要性的数值表现形式。对如，设表4—1判断矩阵AkB1B2…BnB1b11b12…b1nB2b21b22…b2n⋮⋮⋮…⋮Bnbn1bn2…bnn任何一个递阶层次结构，均可以建立若干个判断矩阵，判断矩阵数目是该递阶层次结构图中，除最低一层以外的所有各层次的因素之和。对于两两比较的比率采用什么标度，也即判断比率问题。层次分析法采用的标度是1-9标度法，如表4-2所示。表4—2标度方法标度含义1表示两个因素相比,具有同样重要性。3表示两个因素相比,一个因素比另一个因素稍微重要。5表示两个因素相比,一个因素比另一个因素明显重要。7表示两个因素相比,一个因素比另一个因素显得很重要。9表示两个因素相比,一个因素比另一个因素显得极其重要。2,4,6,8上述两相邻判断的中值。倒数因素i与j比较得判断bij,则因素j与i比较的判断bji=1/bij。AHP从决策角度提出社会经济因素的测度方式。在其测度过程中存在两种标度：一种是规定性标度，它用于在某一准则下两个元素相对重要性或优劣的测度，属于比例标度，标度值为1～9之间的整数及其倒数，测量方法是两两比较判断并赋值，其结果表现为正的互反矩阵。另一种标度是导出标度，用于被比较元素相对重要性程度的测量，标度值为[0，1]区间的实数，通过计算判断矩阵的特征向量导出测度结果，它涉及AHP的排序理论(后面的内容将详细叙述)。(1)AHP测度是通过两两比较判断给出的，在进行这种判断的时候，被比较的对象在它们所具有的某种属性特征上应该是比较接近的，否则定性分析将没有什么意义，而且测量也缺乏必要的精度。在估计事物的区别时，可以用五种判断很好表示其特征的重要程度(或强弱程度)，即同等重要、较重要、重要、很重要、极其重要(或相等、较强、强、很强、绝对强)。当需要更高精度时，还可以在相邻判断之间做出比较，这样就有九个数值，它们有连贯性，因此在实践中可以应用。同时，当一个客体比另一客体的强弱判断用1～9中的某个整数表达时，后者与前者相比，其判断当然可以用这些整数的倒数来表达，这是比例标度用1～9的整数及其倒数的理由之一。采用1～9比例标度方法的依据(2)人们对事物某种属性同时做出判断比较，并且使判断基本保持一致性时，所能感知的最小差异是多少？这个问题属于心里学范畴。显然，这个最小差异与被比较事物所涉及的属性有关。很多心里学家在此方面做过实验。心里学家G.A.Miller的实验表明在某种属性上对若干个不同物体进行辨别时，普通人能正确辨别的物体数目在5～9个之间。Miller认为，9个项目为心理学上的测量极限。这表明用1～9足以表述人在同时比较某种属性差异的档次判断，这是比例标度采取1～9标度的第二个理由。(3)1～9标度是一种比例标度，以此为元素组成的判断矩阵，一般不具有一致性。这里的一致性包括基本一致性与次序一致性。基本一致性是指：如果要素甲比要素乙重要两倍，要素乙比要素丙重要四倍，则要素甲比要素丙重要八倍。在介绍判断矩阵时所给公式bij·bjk=bik就是基本一致性的数学表达式；所谓次序一致性是说：如果要素甲比要素乙重要，乙又比丙重要，则要素甲比要素丙重要。利用AHP的比例标度进行判断赋值，允许违反上述两类一致性。即便是在判断不一致甚至相互矛盾的情况下对被比较要素进行标度，所求得的导出标度仍然趋近于实际情况。况且这种标度方法不要求对被比较的事物有专门的知识，普通非专业人员也可使用。因此1～9标度在众多可采用的标度中，堪称一种最佳标度，这是选择1～9标度的第三个理由。(4)如果需要用比标度1～9更大的数，可用聚类分析方法将因素进一步分解聚类，在比较这些因素之前，先比较这些类，这样就可使所比较的因素间的差别落在1～9标度范围内。（四）层次排序原理层次排序原理包括：层次单排序、层次总排序和一致性检验理论。1、层次单排序原理：确定各层次中因素对相邻上一层次的各因素的优先次序称为层次单排序。为B的分量,即为相WBWmaxmaxBW，计算满足的特征根与特征向量，式中的最大特征根,为对应于B的正规化特征向量,W层次单排序可归结为计算判断矩阵的特征根和特征向量问题，即对判断矩阵应因素单排序的权值。最常见的求特征向量的计算方法有和积法(求和法)、方根法、正规化求和法及特征向量法。前三种方法是近似方法，使得人们可以在使用小型计算器并保证足够精确度的条件下应用层次分析法；而最后一种方法则是严格计算特征向量的方法。（1）求和法)n,,,i(Vbinjij211计算步骤是：①把判断矩阵的元素依行相加，即niV这样得到个值已经表示出该层要素的优劣程度了，但为了便于比较起见，我们在进行第二步；值加起来后去除iV得iV②进行正规化(或向量归一化)，即把各),,2,1(1niVVWnjjiiW于是得到向量。11niiW，这符合显然层次单排序原理。（2）正规化求和法具体步骤如下：①将判断矩阵每一列进行正规化正规化后，每列各元素之和为1；),,2,1,(1njibbbnkkjijij),,2,1(1nibWnjiji②每一列经过正规化后的判断矩阵按行相加),,2,1(1niWiW这样得出的向量中各分量就是各要素优先次序的系数，即层次单排序权重。Tn进行正规化③再对向量（3）方根法计算步骤如下：),,2,1(1nibMnjiji次方根niW②计算iM的niMWnii,,2,1iM①计算判断矩阵每一行元素的乘积),,2,1(1niWiW这样得出的向量中各分量就是各要素优先次序的系数，即层次单排序权重。Tn进行正规化③对向量Tn即为所求的特征向量。或（4）特征向量法WWBWmaxBmax严格的计算特征向量的方法是计算判断矩阵的最大特征根以及它所对应的特征向量W，它们满足，是判断矩阵,这个特征向量正是待求的系数向量。