小学期数学建模大作业-西安交通大学

第一次作业一、问题的叙述，问题的分析叙述：对于由连续曲线所围成的平面区域能否做到以下几点:1用平行于某定直线的直线二等分该区域;2用垂直于某定直线的直线二等分该区域;3用相互垂直的两条直线四等分该区域分析:问题简化为对三个题目的证明已知平面上一条没有交叉点的封闭曲线（形状不定），设有一定直线L过某点P0且与x轴的正向夹角为a二、问题求解1:证明作一平行于L的直线l，l过点p且将曲线所围图形分为两部分，其面积分别记为𝑆1,𝑆2.若𝑆1=𝑆2（发生的概率较小），则得到直线a的斜率，即可得定直线L；若𝑆1≠𝑆2,设𝑆1𝑆2，且L的斜率为tanα将直线l按逆时针方向旋转，面积𝑆1，𝑆2连续地依赖斜率k=tanα变化而变化，记为𝑆1(k)，𝑆2(k)，设𝑓(k)=𝑆1(𝑘)−𝑆2(𝑘)，如图17-3，17-4所示。PS1(a)S2(a)a0xl图17-3旋转成a角l
aPS1（a0+180°）S2（a0+180°）a0xl图17-4旋转180°后a0+180°令k1=tanα，k2=tan（α+π）则有函数𝑓(k)在【k1，k2】上连续，且在端点异号：𝑓(k)=𝑆1(𝑘)−𝑆2(𝑘)0𝑓(k)=𝑆1(𝑘2)−𝑆2（𝑘2）=𝑆2(k1）-𝑆1(k1）0根据闭区间上连续函数的零点定理必存在一斜率ξ∈(k1,𝑘2）使𝑓(ξ)=0，即𝑆1(ξ)−𝑆2(ξ)=0。过曲线内p做直线l，取斜率为ξ。则直线L过定点P0且斜率为ξ，所以解得某定直线L与其平行的任意直线l平分改闭合区域。由上述知1得证2:证明同理有定直线L，垂直于L的直线为b,其斜率为K3=-1/tanα。同理可得存在这样的一条直线b，所以2得证。3:证明由1,2可知，对平面上任意的封闭区域，在任意方向上都存在直线将其面积等分如下图两种连续移动都可以满足介值定理，通过平移的方法很容易证明，在任意一个方向上都可以先找到一条直线a使其平分封闭区域的面积，然后可以作直线b，垂直于L且可以平分该封闭区域的面积此时Ⅰ+Ⅱ=Ⅲ+Ⅳ=Ⅰ+Ⅳ=Ⅱ+Ⅲ,从而Ⅰ=Ⅲ,Ⅱ=Ⅳ,若求得Ⅰ=Ⅱ,则命题得证；设ⅠⅡ逆时针调节直线a，b，直到a与b的初始位置重合如下图;在调整的过程中,Ⅰ=Ⅱ,Ⅱ=Ⅰ,于是根据介值定理，必然存在某一时刻Ⅰ=Ⅱ,所以3得证第二次作业1.题目：2.题目分析：(1)yk=Ck+ZK+g；(2)CK=byk-1；(3)ZK=α(Ck-Ck-1)；3.模型求解：有题目分析得CK=byk-1，ZK=α(Ck-Ck-1)=αb(yk-1-yk-2)将CK，ZK代入yk得yk+1=byk+αb(yk-yk-1)+g；一个特解为𝑔1−𝑏−2𝑎𝑏；特征方程为λ2-(αb+b)λ+αb=0；假设α=10，g=5，y1=12，y2=15.775讨论：(1)若方程有两个实根解的：λ1=b/2+(a*b)/2-(b*(b-4*a+2*a*b+a^2*b))^(1/2)/2λ2=b/2+(a*b)/2+(b*(b-4*a+2*a*b+a^2*b))^(1/2)/2所以yk=C1λ1k+C2λ2k+𝑔1−𝑏−2𝑎𝑏=C1[b/2+(a*b)/2-(b*(b-4*a+2*a*b+a^2*b))^(1/2)/2]k+C2[b/2+(a*b)/2-(b*(b-4*a+2*a*b+a^2*b))^(1/2)/2]k+𝑔1−𝑏−2𝑎𝑏取b=0.5有解得原方程的解为：(2)方程有一个解△=0；b=40121；λ=2011解的原方程为(3)△0原方程无解程序x=1:20;y1=10+4.3508.^x+1.4192.^x;y2=(12-3.3266.*x).*1.8182.^x;plot(x,y1,'g.','markersize',25)holdon;plot(x,y2,'r.','markersize',25)legend('Á½¸öʵ¸ù','Ò»¸öʵ¸ù')grid;第三次作业P.172实验二最短电缆长度问题设有九个节点，它们的坐标分别为a(0,15),b(5,20),c(16,24),d(20,20),e(33,25),f(23,11),g(35,7),h(25,0),i(10,3)任意两个节点之间的距离为：𝑤(𝑖,𝑗)=|𝑥𝑖−𝑥𝑗|+|𝑦𝑖−𝑦𝑗|问：怎样连接电缆，使每个节点都连通，且所用的总电缆的长度为最短.问题分析：本题研究的是一个最优化问题。问题中给出了9个节点坐标，需要从复杂的连接方案中选出最短的电缆连接路线。要设计方案求最短电缆长度，可先求出任意两点间的距离，然后在构造边权矩阵，用prim算法求电缆线的最优连通方案。符号说明：W：任意两点之间的距离矩阵X:节点的横坐标Y：节点的纵坐标解：先计算出任意两点间的距离；W=[];X=[0516203323352510];Y=[152024202511703];N=length(X);fori=1:Nforj=1:NW=[W;(abs(X(i)-X(j))+abs(Y(i)-Y(j)))]endendW'输出结果截图为：将结果整理列表如下：w(I,j)abcdefghia01025254327434340b015153327434022c081820363327d01812282527e024203321f0161329g01729h018i0用prim算法求电缆线的最优连通方案；运行结果截图为：分析结果可知：最小生成树的边集合为{（1,2），（2,3），(3,4),（4,6），（6,8），(6,7)，(3,5)，(8,9)}即用prime算法求出的最优电缆连接方案为：{（a,b），（b,c），（c,d），（d,f），（f,h），(f,g)，(c,e)，(h,i)}。第四次作业一、问题引入：假设某地人口总数保持不变，每年有A%的农村人口流入城镇，有B%的城镇人口流入农村，但人口的流动性始终保持在5%以下，并且农村人口流入城镇比例大于城镇流入农村人口，即(BA5)。试讨论至少四组不同的A、B值，得到该地的城镇人口与农村人口的分布的最终状态。二、问题分析：关于人口迁移问题：这个人口的变化可以由矩阵乘法来确定。假设初始时有30%生活在城市，70%生活在农村。令c=10011001001001BABA,0x=70.030.0则1年后，城市和农村人口比例可由011xcx表示，一般的，n年后，城市和农村人口比例可由0xcxnn表示。三、编辑程序运行：利用所建模型，用Matlab计算第i年人口的关系式假设A=4，B=2，令i的值逐渐增大，求得：6980.03020.01x，6846.03154.010x，6719.03281.030x，6682.03318.050x，6667.03333.0100x研究本问题中当时间无限长时农村人口以及城镇人口的极限状况．因为10011001001001BABA3231=3231，所以当n趋向于无穷时3231nx讨论A、B不同取值对最终结果的影响．AB城市人口所占比例农村人口所占比例11.50.51/43/422.50.51/65/632.51.53/85/843.50.51/87/853.51.53/107/1063.52.55/127/1274.50.51/109/1084.51.51/43/494.52.50.35710.6429104.53.57/169/16第五次作业一、问题的叙述，问题的分析叙述：房屋管理部门想在房顶的边檐安装一个檐槽，其目的是为了雨天出入方便。从屋脊到屋檐的房顶可看成是一个a米长，b米宽的矩形平面，房顶与水平方向的倾斜角度α一般在20~50ba现有一公司想承接这项业务，允诺：提供一种新型的檐槽，包括一个横截面为半圆形(半径为dcm)的水槽和一个竖直的排水管（直径为lcm），不论天气情况如何，这种檐槽都能排掉房顶的雨水。ba房管部门犹豫，考虑公司的承诺能否实现。请你建立数学模型，论证这个方案的可行性。也可结合实际中进行水槽的设计。分析：水槽的容量能否足以排出雨水的问题，简化为水箱的流入流出问题。从房项上流下的雨水量是流入量;顺垂直于房顶的排水管排出的是流出量。水槽能否在没有溢出的情况下将全部雨水排出，即就是要研究水槽中水的深度与时间的函数关系。假设：(1)雨水垂直下落并且直接落在房顶上；(2)落在房顶上的雨水全部迅速流入水槽中；(3)落在房顶上的雨没有溅到外面去；(4)在排水系统中不存在一些预料不到的障碍，象落在房顶上的杂物、树叶等；(5)假设在水槽中已有雨水深0.05m;模型建立：根据速度平衡原理，对于房顶排水系统水槽中水的容量的变化率=雨水的流入速度-排水管流出的速度。01,QQ分别是单位时间流入水槽和从水槽流出的雨水量的体积。雨tr表示单位时间里落在水平面上雨水的深度，房顶的面积bd水流b实际受雨的水平面积cosbd，房顶上雨水的流速cosbdtr流入水槽的速度应是在铅垂方向的分量排水管的流出速度应与水槽中水的深度有关。根据能量守恒原理水槽中水的体积为，01)(QQtVsincos)(1bdtrQ)(212tmghmv)(2tghv)(20tghAQahah22sinh求解与分析：将表中的数据代入（7）式，用matlab解得)()(15.0)(0.001449-1.374038)(15.09600)(6.194333.0)()()(22ththththvththvdttdh由假设05.0)0(h（1）若常数)(tv。先讨论水槽的深度趋于一个低于0.075m的稳定值，即0)('th时。将0)('th代入上述模型，得到h(t)=899209.148v^2当h(t)=0.075时，解得v=0.00028802由此得到，当v=0.00028802m/s时，水不溢出；当v0.00028802m/s时，水溢出。下面，用matlab对这一结论进一步分析。不妨取v=0.0002、0.000288分别代入方程（*）求其数值解，并作出图形：编写a.m文件：functionhp=a(t,h1)hp=(1.374038*0.0002-0.001449*sqrt(h1))/sqrt(0.15*h1-h1^2);functionhp=b(t,h2)hp=(1.374038*0.0003-0.001449*sqrt(h2))/sqrt(0.15*h2-h2^2);执行matlab程序：[t,h1]=ode45('a',[0,60],0.01);plot(t,h1))cossin()(2datVahacosahaa22sin)2)((cos)(2212ahahhaahadatV)()(2)(2)(2thtahthdtV)()(2)(22thtahthdsincos)(bdtr)(2tghA)()(22)(2cossin)(2thtahdtghAbdtrdtdh[t,h2]=ode45('b',[0,60],0.01);plot(t,h2)我国气象部门规定24h降水量在200mm以上（约0.000002m/s）的雨为特大暴雨。对于常数)(tv这种情形，v0.00028802m/s即24h降水量在24884.9mm以上的强降雨机率几乎为0，因此，这个公司的承诺是能兑现的。（2）若)(tv为周期函数，不妨设为正弦函数，即：60,0600,60sin0003.0)(ttttv这表明下雨过程是在60s内发生的一个短促的强阵雨过程，最大的降雨强度是0.00001m/s,由方程（*）得到如