19.1多边形内角和典型例题

例1(1)从n边形(n为不小于3的整数)的一个顶点出发,可以做条对角线,由此可知n边形共有条对角线。(2)已知一个多边形共有9条对角线,求多边形的边数。解:(1)(n-3)；23)n(n(2)设该多边形的边数为x,根据题意,得整理,得x2-3x-18=0.解得x1=6,x2=-3(舍去)所以该多边形的边数是6。92)3(xx例2十二边形的内角和等于。解析:根据n边形的内角和等于(n-2)·180°,可得十二边形的内角和等于(12-2)×180°=1800°.答案:1800°例3若一个多边形的内角和是900°,则这个多边形是()A五边形B.六边形C.七边形D.八边形解析:设这个多边形的边数为n,根据多边形内角和定理可得(n-2)×180°=900°,解得n=7.答案:C例如图19-1-5所示,一块实验田的形状是三角形(设其为△ABC)管理员从BC边上的一点D出发,沿DC→CA→AB→BD的方向走了一圈回到D处,则管理员从出发到回到原处的途中,他()A.转了90°B.转了180°C.转了270°D转了360°例5一个正多边形的每个外角都等于与它相邻的内角的2倍,求这个正多边形的边数。解法1:(直接设元法)设这个正多边形的边数为n,则它的每个外角为,每个内角为,所以解得n=7.答:这个正多边形的边数是7.n360on180)2(n52180)2(n360nn解法2:(间接设元法)设这个正多边形的每个内角为x°,则每个外角为(x)o由题意,得x+x=180,解得x=x=×=∴每个外角为()o,∴这个正多边形的边数为360÷()°=7.答:这个正多边形的边数为7.5252790052527900736073607360例6如图19-1-6所示的铁栅栏门是利用了四边形的性.解析:本题考查了四边形的不稳定性.答案:不稳定题型一应用多边形的内角和与与外角和求边数例1若一个多边形的内角和与外角和之和是1800°,则此多边形是（）A八边形B.十边形C.十二边形D.十四边形解析:设此多边形的边数为n,则(n-2)·180°+360°=1800°,解得：n=10,故选B.答案:B题型二关于多边形的应用创新题例2如图19-1-9所示,小亮从点A出发前进10m,向右转15°,再前进10m,又向右转15°,…,这样一直走下去,他第一次回到出发点A时,一共走了m.解析:任意多边形的外角和是360°,根据360°÷15°=24,可知他转了24次,每次所走的路程都相等,故第一次回到A点时,所走过的路程正好形成一个正二十四边形.故一共走了24×10=240(m)答案:240例3如图19-1-10所示,求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数.解法1：(∠A+∠B)+(∠C+∠D)+(∠E+∠F)=∠BKF+∠BHD+∠DGF=360,解法2:(∠A+∠B)+(∠C+∠D)+∠E+∠F=∠BKF+∠EHC+∠E+F=360°解法3:(∠A+∠B)+(∠C+∠D)+(∠E+∠F）=180°-∠1+180°-∠2+180°-∠3=540°-(∠1+∠2+∠3)=540°-180°=360°解法4:如图19-1-10所示,连接BE,则∠4+∠5=∠C+∠D.∠A+∠ABK+∠C+∠D+∠DEF+∠F∠A+∠ABK+∠4+∠5+∠DEF+∠FA+(∠ABK+∠4)+(∠5+∠DEF)+∠FA+∠ABE+∠BEF+∠F=360°例4小明想设计一个内角和为2016°的多边形图案,小明的想法能实现吗?并说明理由解:不能实现.理由:设多边形的边数为n,则(n-2)·180°=2016°,解得n=13.2.因为边数只能取整数,所以小明的想法不能实现例5一个多边形除一个内角外,其余内角的和为2750°,求这个多边形的边数。分析:本题中2750°是n边形中(n-1)个内角的度数和,2750°加上除去的那个内角的和应被180°整除,除去的这个内角大于0°且小于180°,由此可得出结论解:设多边形的边数为n,除去的一个内角为x°,则(n-2)·180=2750+x,解得x=(n-2)·180-2750因为0x180,所以0(n-2)·180-2750180,解得n，又因为n是整数,所以n=18.答:这个多边形的边数是18.1851718518例1若一个n边形的边数增加一倍,则内角和将增加.解析:n边形的内角和可以表示成(n-2)·180°,边数增加一倍,则新的多边形的内角和为(2n-2)·180°,所以内角和将增加(2n-2)·180°-(n-2)·180°=180°·n,答案:180°n易误点2考虑问题不全面导致漏解例2一个多边形截去一个角后,形成的另一个多边形的内角和是1620°,则原来多边形的边数是()A.10B.11C.12D以上都有可能设新多边形的边数为m,则(m-2)·180°=1620°,解得m=11.所以原多边形的边数为10或11或12.答案:D