第三节-格林公式及其应用

第九章曲线积分与曲面积分第三节格林公式及其应用一、格林公式设D为平面区域,如果D内任一闭曲线所围成的部分都属于D,则称D为平面单连通区域,否则称为复连通区域.复连通区域单连通区域DD区域连通性的分类连成与由21LLL组成与由21LLL边界曲线L的正向:当观察者沿边界行走时,区域D总在他的左边.2LD1L2L1LD设闭区域D由分段光滑的曲线L围成,函数),(),(yxQyxP及在D上具有一阶连续偏导数,则有LDQdyPdxdxdyyPxQ)((1)其中L是D的取正向的边界曲线,公式(1)叫做格林公式.格林公式定理1}),()(),{(21bxaxyxyxD证明(1)若区域D既是X型又是Y型,即平行于坐标轴的直线和L至多交于两点.}),()(),{(21dycyxyyxDyxoabDcd)(1xy)(2xyABCE)(2yx)(1yxdxxQdydxdyxQyydcD)()(21dcdcdyyyQdyyyQ)),(()),((12CAECBEdyyxQdyyxQ),(),(EACCBEdyyxQdyyxQ),(),(LdyyxQ),(同理可证LDdxyxPdxdyyP),(yxod)(2yxDcCE)(1yx若区域D由按段光滑的闭曲线围成.如图,证明(2)L1L2L3LD1D2D3D两式相加得LDQdyPdxdxdyyPxQ)(将D分成三个既是X型又是Y型的区域1D,2D,3D.321)()(DDDDdxdyyPxQdxdyyPxQ321)()()(DDDdxdyyPxQdxdyyPxQdxdyyPxQ321LLLQdyPdxQdyPdxQdyPdxLQdyPdx1D2D3DL1L2L3L),(32,1来说为正方向对DLLLGD3L2LFCE1LAB证明(3)若区域不止由一条闭曲线所围成.添加直线段AB,CE.则D的边界曲线由AB,2L,BA,AFC,CE,3L,EC及CGA构成.由(2)知DdxdyyPxQ)(CEAFCBALAB2{CGAECLQdyPdx)(}3LQdyPdx231))((LLLQdyPdx),(32,1来说为正方向对DLLL便于记忆形式:LDQdyPdxdxdyQPyx.格林公式的实质:沟通了沿闭曲线的积分与二重积分之间的联系.1.简化曲线积分简单应用例1计算曲线积分AnOxxymyxmyy.d)cose(d)sine(其中AnO为由点A(a,0)至点O(0,0)的上半圆周x2+y2=ax(a0).解如果添加有向线段OA，则AnO+OA=L是一条正向的封闭曲线.我们设由它围成的区域为D.因为P(x,y)=exsiny–my,Q(x,y)=excosy-m，所以,cosecosemmyyyPxQxxyxODnA(a,0)则由格林公式得Lxxymyxmyyd)cose(d)sine(.8π22πd22amammD而ymyxmyyxAnOxd)cose(d)sine(Lxxymyxmyyd)cose(d)sine(OAxxymyxmyyd)cose(d)sine(.8π0d08π202amxama例2计算Dydxdye2,其中D是以)1,0(),1,1(),0,0(BAO为顶点的三角形闭区域.解令2,0yxeQP,2.简化二重积分xyoAB11D则2yeyPxQ,应用格林公式,有BOABOAyDydyxedxdye221022dxxedyxexOAy).1(211e例3计算Lyxydxxdy22,其中L为一条无重点,分段光滑且不经过原点的连续闭曲线,L的方向为逆时针方向.则当022yx时,有yPyxxyxQ22222)(.记L所围成的闭区域为D,解令2222,yxxQyxyP,L(1)当D)0,0(时,(2)当D)0,0(时,1DrlxyoLD由格林公式知Lyxydxxdy022作位于D内圆周222:ryxl,记1D由L和l所围成,应用格林公式,得yxolLyxydxxdyyxydxxdy2222xyor1DlL02222lLyxydxxdyyxydxxdy(其中l的方向取逆时针方向).2(注意格林公式的条件)drrr22222sincos20格林公式:LDQdyPdxdxdyyPxQ)(取,,xQyP得LDydxxdydxdy2闭区域D的面积LydxxdyA21.取,,0xQP得LxdyA取,0,QyP得LydxA3.计算平面面积曲线AMO由函数],0[,axxaxy表示,例4计算抛物线)0()(2aaxyx与x轴所围成的面积.解ONA为直线0y.LydxxdyA21AMOONAydxxdyydxxdy2121)0,(aANMAMOydxxdy21dxxaxdxaxaxa)()12(210.61420adxxaa)0,(aANM二、平面上曲线积分与路径无关的条件设G是一个开区域，如果对G内任意指定的两点A与B，以及G内从点A到点B的任意两条不相同的分段光滑曲线L1、L2，等式21ddddLLyQxPyQxPyxOL1L2GBAyQxPLdd恒成立，则称曲线积分在G内与路径无关.这时，我们可将曲线积分记为.ddBAyQxP命题在区域G中，曲线积分与路径无关的充要条件是：对G内任意一条闭曲线C，有LyQxPddCyQxP.0dd下面给出一个曲线积分LQdyPdx与路径无关的等价命题.证先证必要性.设AnBmA是D内任意一条闭曲线.因为曲线积分在G内与路径无关，所以LyQxPddAnByQxPdd,ddAmByQxP因此AnBmAyQxPddBmAAnByQxPyQxPddddAmBAnByQxPyQxPdddd.0yxOBGmnA再证充分性.设A、B是G内的任意两点，AnB与AmB是G内的任意两条路径.因为对G内任意一条闭曲线C，所以由题设有恒有,0ddLyQxP,0ddAnBmAyQxP因此AnByQxPdd.ddAmByQxPyxOBDmnA这就说明了曲线积分与路径无关.LyQxPdd设开区域G是一个单连通域,函数),(),,(yxQyxP在G内具有一阶连续偏导数,则曲线积分LQdyPdx在G内与路径无关（或沿G内任意闭曲线的曲线积分为零）的充要条件是xQyP在G内恒成立.定理2(1)开区域G是一个单连通域.(2)函数),(),,(yxQyxP在G内具有一阶连续偏导数.两条件缺一不可有关定理的说明：证充分性：(x,y)G，所以对G内任意一条正向封闭曲线L1及其围成的区域D1，因为D1G，所以D1是单连域，由格林公式有因为,yPxQ1ddLyQxP.0d1DyPxQ于是由定理1知，曲线积分在G内与路径无关.LyQxPdd必要性：.0)(0MyPxQ不妨设.2yPxQ于是由格林公式知，,内连续在由于GyPxQ上有，使得在形闭区域为中心半径足够小的圆内必存在一个以因此在KKMG0yQxPdd.02dKyPxQ这结果与沿G内沿任意闭曲线的曲线积分为零的假设矛盾.例5计算,dsin31d)e3(32yyyxxxyxILx其中L是摆线x=t–sint,y=1-cost，从点A(2,0)到点O(0,0)的一段弧.解显然，用这段路径来计算是很复杂且困难.能否换一条路径呢？.,xQyP为此计算其中P(x,y)=x2y+3xex,得yyxyxQsin31),(3.2xQxyP再选一条路径L1：由A(2,0)沿x轴到原点.审查一下：由L与L1所围的平面域是否单连通域.P(x,y)与Q(x,y)偏导数是否连续，现在是连续的.所围的域是单连通域，这样可以换为在L1上求曲线积分，即xyOL1LAyyyxxxyxLxd)sin31(d)e3(32,d)sin31(d)e3(132yyyxxxyxLx因为L1上dy=0，y=0所以上式为yyyxxxyxLxd)sin31(d)e3(132,3)π21(e3de3π20π2xxx即yyyxxxyxLxdsin31d)e3(32.3)π21(e3π2例6计算解如果不换路径，计算非常困难，为了换路径，先要计算P、Q的偏导数.,dd22Lyxxyyx其中L由点A(-,-)经曲线y=cosx到点B(,-)(如图).,),(22yxyyxP22),(yxxyxQ则.)(22222xQyxxyyPyxLOAxycosπB再考虑换一条路径.以为半径的圆周，由A经大半圆到B为L1，π2如果换成由A经直线到B为L1，则L与L1所围的平面域内函数P(x,y)与Q(x,y)在原点处偏导数不存在.这就是说它们所围的域不是单连通域.所以不满足将L换为L1的条件，作一个以原点为圆心，则此时，L与L1所围的平面域内函数P(x,y)，Q(x,y)的偏导就连续了.即L与L1所围的平面域为单连通域.这就可以将L换为L1.L1的参数方程为代入，得Lyxxyyx22dd122ddLyxxyyxπ.23d4ππ45t,inπ2,cosπ2:1tsytxL从例5，例6中我们可以归纳一下换积分路径的步骤：则可进行下一步，否则就是积分与路径有关.1.计算是否相等.如果xQyP.xQyP2.选一条路径(与原路径同起、终点)L1，使与原路径L所围平面域上函数P(x,y)与Q(x,y)偏导数连续，即所围的区域为单连通域，则可将路径L换为L1.三、二元函数的全微分求积如果在区域G上存在函数u(x,y)，使得dyyxQdxyxPyxdu),(),(),(则称在G内为二元函数u(x,y)的全微分，也称u(x,y)为dyyxQdxyxP),(),(dyyxQdxyxP),(),(在区域G上的一个原函数.设开区域G是一个单连通域,函数),(),,(yxQyxP在G内具有一阶连续偏导数,则dyyxQdxyxP),(),(在G内为某一函数),(yxu的全微分的充要条件是等式xQyP在G内恒成立.定理3证明必要性：设存在函数u(x,y)使得yQxPuddd则),(),,(yxQyuyxPxuP,Q在D内具有连续的偏导数,所以从而在D内每一点都有xQyP充分性：在D内取定点因曲线积分),(),(yxuyxxuux则),(yxPxuxuxx0lim),(lim0yxxPx),(),(ddyxxyxyQxP),(),(dyxxyxxPxyxxP),(同理可证yu),,(yxQ因此有yQxPuddd和任一点B(x,y),与路径无关,),(yxxC),(yxB),(00yxA有函数由上述证明可看到，在定理的条件下，二元函数:yyxQxyxPyxuyxyxd),(d),(),(),(),(00具有性质：du=Pdx+Qdyu(x,