搜索
第19讲┃全等三角形第19讲┃考点聚焦考点聚焦考点1全等图形及全等三角形全等图形能够完全重合的两个图形就是______全等图形的形状和________完全相同全等三角形能够完全重合的两个三角形就是全等三角形说明完全重合有两层含义：(1)图形的形状相同；(2)图形的大小相等全等图形大小第19讲┃考点聚焦考点2全等三角形的性质性质1全等三角形的对应边________性质2全等三角形的对应角________性质3全等三角形的对应边上的高________性质4全等三角形的对应边上的中线________性质5全等三角形的对应角平分线________相等相等相等相等相等考点3全等三角形的判定第19讲┃考点聚焦基本判定方法1.三条边对应相等的两个三角形全等(简记为SSS)2.两个角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等(简记为____)3.两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等(简记为____)4.两条边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(简记为____)5.斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(简记为____)ASAAASSASHL第19讲┃考点聚焦拓展延伸满足下列条件的三角形是全等三角形：(1)有两边和其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等；(2)有两边和第三边上的中线对应相等的两个三角形全等；(3)有两角和其中一角的平分线对应相等的两个三角形全等；(4)有两角和第三个角的平分线对应相等的两个三角形全等；(5)有两边和其中一边上的高对应相等的锐角(或钝角)三角形全等；(6)有两边和第三边上的高对应相等的锐角(或钝角)三角形全等总结判定三角形全等，无论哪种方法，都要有三组元素对应相等，且其中最少要有一组对应边相等考点4利用“尺规”作三角形的类型第19讲┃考点聚焦1已知三角形的三边，求作三角形2已知三角形的两边及其夹角，求作三角形3已知三角形的两角及其夹边，求作三角形4已知三角形的两角及其其中一角的对边，求作三角形5已知直角三角形一条直角边和斜边，求作三角形考点5角平分线的性质与判定第19讲┃考点聚焦性质角平分线上的点到角两边的______相等判定角的内部到角两边的距离相等的点在这个角的______上距离平分线第19讲┃归类示例归类示例►类型之一全等三角形性质与判定的综合应用命题角度：1.利用SSS、ASA、AAS、SAS、HL判定三角形全等；2.利用全等三角形的性质解决线段或角之间的关系与计算问题．例1[2012·重庆]已知：如图19－1，AB＝AE，∠1＝∠2，∠B＝∠E，求证：BC＝ED.图19－1第19讲┃归类示例[解析]由∠1＝∠2可得：∠EAD＝∠BAC，再有条件AB＝AE，∠B＝∠E可利用ASA证明△ABC≌△AED，再根据全等三角形对应边相等可得BC＝ED.证明：∵∠1＝∠2，∴∠1＋∠BAD＝∠2＋∠BAD，即∠BAC＝∠EAD.∴在△BAC与△EAD中，∠B＝∠E，AB＝AE，∠BAC＝∠EAD.∴△BAC≌△EAD，∴BC＝ED.第19讲┃归类示例1．解决全等三角形问题的一般思路：①先用全等三角形的性质及其他知识，寻求判定一对三角形全等的条件；②再用已判定的全等三角形的性质去解决其他问题．即由已知条件(包含全等三角形)判定新三角形全等、相应的线段或角的关系；2．轴对称、平移、旋转前后的两个图形全等；3．利用全等三角形性质求角的度数时注意挖掘条件，例如对顶角相等、互余、互补等．►类型之二全等三角形开放性问题命题角度：1.三角形全等的条件开放性问题；2.三角形全等的结论开放性问题．第19讲┃归类示例图19－2例2[2012·义乌]如图19－2，在△ABC中，点D是BC的中点，作射线AD，在线段AD及其延长线上分别取点E、F，连接CE、BF.添加一个条件，使得△BDF≌△CDE，并加以证明．你添加的条件是________．(不添加辅助线)DE＝DF第19讲┃归类示例[解析]由已知可证∠EDC＝∠BDF，又DC＝DB，因为三角形全等条件中必须是三个元素，并且一定有一组对应边相等．故添加的条件是：DE＝DF或(CE∥BF或∠ECD＝∠DBF或∠DEC＝∠DFB)；解：(1)添加的条件是：DE＝DF(或CE∥BF或∠ECD＝∠DBF或∠DEC＝∠DFB等)．(2)证明：在△BDF和△CDE中，∵BD＝CD，∠EDC＝∠FDB，DE＝DF，∴△BDF≌△CDE.第19讲┃归类示例由于判定全等三角形的方法很多，所以题目中常给出(有些是推出)两个条件，让同学们再添加一个条件，得出全等，再去解决其他问题．这种题型可充分考查学生对全等三角形的掌握的牢固与灵活程度．►类型之三利用全等三角形设计测量方案例3[2012·柳州]如图19－3，小强利用全等三角形的知识测量池塘两端M、N的距离，如果△PQO≌△NMO，则只需测出其长度的线段是()A．POB．PQC．MOD．MQ第19讲┃归类示例命题角度：全等三角形的判定．图19－3B第19讲┃归类示例[解析]要想利用△PQO≌△NMO求得MN的长，只需求得线段PQ的长，故选B.►类型之四角平分线例4(1)班同学上数学活动课，利用角尺平分一个角(如图19－4所示)．设计了如下方案：(Ⅰ)∠AOB是一个任意角，将角尺的直角顶点P介于射线OA、OB之间，移动角尺使角尺两边相同的刻度与M、N重合，即PM＝PN，过角尺顶点P的射线OP就是∠AOB的平分线．(Ⅱ)∠AOB是一个任意角，在边OA、OB上分别取OM＝ON，将角尺的直角顶点P介于射线OA、OB之间，移动角尺使角尺两边相同的刻度与M、N重合，即PM＝PN，过角尺顶点P的射线OP就是∠AOB的平分线．第19讲┃归类示例命题角度：(1)角平分线的性质；(2)角平分线的判定．第19讲┃归类示例(1)方案(Ⅰ)、方案(Ⅱ)是否可行？若可行，请证明；若不可行，请说明理由；(2)在方案(Ⅰ)PM＝PN的情况下，继续移动角尺，同时使PM⊥OA，PN⊥OB.此方案是否可行？请说明理由．图19－4第19讲┃归类示例解：(1)方案(Ⅰ)不可行．缺少证明三角形全等的条件，∵只有OP＝OP，PM＝PN不能判断△OPM≌△OPN；∴就不能判定OP就是∠AOB的平分线；方案(Ⅱ)可行．证明：在△OPM和△OPN中，∵OM＝ON，PM＝PN，OP＝OP.∴△OPM≌△OPN(SSS)．∴∠AOP＝∠BOP(全等三角形对应角相等)．∴OP就是∠AOB的平分线．第19讲┃归类示例(2)当∠AOB是直角时，方案(Ⅰ)可行．∵四边形内角和为360°，又若PM⊥OA，PN⊥OB，则∠OMP＝∠ONP＝90°，∠MPN＝90°，∴∠AOB＝90°.∵若PM⊥OA，PN⊥OB，且PM＝PN，∴OP为∠AOB的平分线．当∠AOB不为直角时，此方案不可行．因四边形内角和为360°，若∠AOB不为直角，则PM、PN不可能垂直OA、OB.