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第20课时解直角三角形第20课时┃解直角三角形考情分析考向探究考情分析考题赏析考点聚焦考题赏析第20课时┃解直角三角形1．[2012·安徽]如图20－1，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝45°，AC＝23，求AB的长．图20－1考向探究考情分析考题赏析考点聚焦第20课时┃解直角三角形解：过点C作CD⊥AB于点D，在Rt△ACD中，∵∠A＝30°，∴CD＝12AC＝3，由勾股定理得AD＝（23）2－（3）2＝9＝3.在Rt△BCD中，∵tan45°＝CDBD，∴BD＝CD＝3，∴AB＝AD＋BD＝3＋3.即改造后的坡长AE为106m.考向探究考情分析考题赏析考点聚焦第20课时┃解直角三角形2．[2013·安徽]如图20－2，防洪大堤的横截面是梯形ABCD，其中AD∥BC，坡角α＝60°，汛期来临前对其进行了加固，改造后的背水面坡角β＝45°.若原坡长AB＝20m，求改造后的坡长AE.(结果保留根号)图20－2考向探究考情分析考题赏析考点聚焦第20课时┃解直角三角形解：如图，过点A作AF⊥CE于点F，在Rt△ABF中，AB＝20m，α＝60°，∵sinα＝AFAB，∴AF＝20×32＝103(m)．在Rt△AEF中，β＝45°，∵sinβ＝AFAE，∴AE＝10322＝106(m)．即改造后的坡长AE为106m.考向探究考情分析考题赏析考点聚焦第20课时┃解直角三角形3．[2014·安徽]如图20－3，在同一平面内，两平行高速公路l1和l2间有一条“z”型道路连通，其中AB段与高速公路l1成30°角，长为20km，BC段与AB，CD段都垂直，长为10km，CD段长为30km，求两高速公路间的距离．(结果保留根号)图20－3考向探究考情分析考题赏析考点聚焦第20课时┃解直角三角形解：如图，过点A作AB的垂线交DC的延长线于点E，过点E作l1的垂线与l1，l2分别交于点H，F，则HF⊥l2.由题意知AB⊥BC，BC⊥CD，又AE⊥AB，∴四边形ABCE为矩形，∴AE＝BC，AB＝EC，∴DE＝DC＋CE＝DC＋AB＝50.又∵AB与l1成30°的角，∴∠EDF＝30°，∠EAH＝60°.在Rt△DEF中，EF＝DE·sin30°＝50×12＝25.在Rt△AEH中，EH＝AE·sin60°＝10×32＝53.∴HF＝EF＋HE＝25＋53，即两高速公路间的距离为(25＋53)km.考向探究考情分析考题赏析考点聚焦第20课时┃解直角三角形4．[2011·安徽]如图20－4，平台AB高为12米，左点B处测得楼房CD顶部点D的仰角为45°，底部点C的俯角为30°，求楼房CD的高度．(3≈1.7)图20－4考向探究考情分析考题赏析考点聚焦第20课时┃解直角三角形解：作BE⊥CD于点E，则CE＝AB＝12.在Rt△BCE中，BE＝CEtan∠CBE＝12tan30°＝123.在Rt△BDE中，DE＝BE·tan∠DBE＝123·tan45°＝123.∴CD＝CE＋DE＝12＋123≈32.4.所以，楼房CD的高度约为32.4米.考向探究考情分析考题赏析考点聚焦第20课时┃解直角三角形考点聚焦考点●1锐角三角函数的定义在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝c，BC＝a，AC＝b正弦余弦正切sinA＝∠A的对边斜边＝accosA＝∠A的邻边斜边＝bctanA＝∠A的对边∠A的邻边＝ab它们统称为∠A的锐角三角函数考向探究考情分析考题赏析考点聚焦第20课时┃解直角三角形考点●2特殊角的三角函数值αsinαcosαtanα30°________________________45°________________________60°________________________1232332222132123考向探究考情分析考题赏析考点聚焦第20课时┃解直角三角形考点●3解直角三角形解直角三角形的常用关系在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c则：(1)三边关系：a2＋b2＝________；(2)两锐角关系：∠A＋∠B＝________；(3)边与角关系：sinA＝cosB＝________，cosA＝sinB＝________，tanA＝________；(4)sin2A＋cos2A＝1c290°acbcab考向探究考情分析考题赏析考点聚焦第20课时┃解直角三角形考点●4解直角三角形的实际问题1.仰角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角仰角和俯角2.俯角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线下方的角叫做俯角1.坡度：坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡面的坡度(或坡比)，记作i＝________2.坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，i＝tanα坡度和坡角坡度越大，α角越大，坡面________指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的角叫做方向角方向角(或方位角)越陡h∶l考向探究考情分析考题赏析考点聚焦考向探究第20课时┃解直角三角形探究1求三角函数值命题角度：求锐角的正弦、余弦、正切值．例1[2015·桂林]如图205，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，CD⊥AB，垂足为D，则tan∠BCD的值是________．图20－534[解析]根据题意，得∠BCD＝∠CAB，所以tan∠BCD＝tan∠CAB＝BCAC＝68＝34.考向探究考情分析考题赏析考点聚焦第20课时┃解直角三角形方法点析已知边长求锐角的三角函数值，需要在直角三角形中解决．若所求锐角不是直角三角形中的角，需要构造直角三角形或转化为直角三角形中的角．例2[2014·汕尾]在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sinA＝35，则cosB的值是()A.45B.35C.34D.43B考向探究考情分析考题赏析考点聚焦第20课时┃解直角三角形探究2特殊锐角的三角函数值命题角度：1．求30°，45°，60°角的三角函数值；2．已知特殊三角函数值，求角度．例3[2014·厦门]sin30°的值为()A.12B.22C.32D．1A[解析]根据特殊角的三角函数值知sin30°＝12，故选A.考向探究考情分析考题赏析考点聚焦第20课时┃解直角三角形例4[2015·平凉]已知α，β均为锐角，且满足sinα－12＋（tanβ－1）2＝0，则α＋β＝____________________.75°[解析]∵sinα－12＋（tanβ－1）2＝0，∴sinα＝12，tanβ＝1，∴α＝30°，β＝45°，则α＋β＝30°＋45°＝75°.考向探究考情分析考题赏析考点聚焦第20课时┃解直角三角形变式题[2015·合肥168中学二模]计算：12－2－2sin60°＋12.解：原式＝4－2×32＋23＝4＋3.考向探究考情分析考题赏析考点聚焦第20课时┃解直角三角形探究3解直角三角形命题角度：1．利用三角函数解直角三角形；2．将斜三角形或不规则图形化归为直角三角形．例5[2014·甘孜州]如图20－6，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝30°，D是边AB上一点，∠BDC＝45°，AD＝4.求BC的长(结果保留根号)．图20－6考向探究考情分析考题赏析考点聚焦第20课时┃解直角三角形[解析]因为△BDC是等腰直角三角形，所以BC＝BD，在Rt△ABC中，AB＝4＋BC，∠A＝30°，所以利用tanA可以构造一个关于BC的方程，然后解方程即可求出BC的长．解：设BC＝x，在Rt△BCD中，∵∠ABC＝90°，∠BDC＝45°，∴BD＝BC＝x.在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝30°，AB＝4＋x，∴tanA＝BCAB，即33＝x4＋x，解得x＝23＋2.所以BC的长为23＋2.考向探究考情分析考题赏析考点聚焦第20课时┃解直角三角形方法点析1．在一般三角形中已知一些边和角求另外的边长的问题，通常都是通过添作高线，构造直角三角形，运用解直角三角形的知识来解决问题．2．解直角三角形巧选三角函数：有斜．用弦．，无斜．用切．，宁乘勿除，取原避中．(已知条件中有斜边选择正弦或余弦，没有斜边用正切，尽量选用乘法和原始数据计算，尽量回避采用中途数据)考向探究考情分析考题赏析考点聚焦第20课时┃解直角三角形探究4解直角三角形的应用命题角度：利用直角三角形解决方位角、仰角、俯角、坡角、坡比等问题．例6[2015·宜宾]如图207，某市对位于笔直公路AC上两个小区A，B的供水路线进行优化改造，供水站M在笔直公路AD上，测得供水站M在小区A的南偏东60°方向，在小区B的西南方向，小区A，B之间的距离为300(3＋1)米，求供水站M分别到小区A，B的距离．(结果可保留根号)图20－7考向探究考情分析考题赏析考点聚焦第20课时┃解直角三角形【规范答题】解：如图，过点M作ME⊥AB于点E，设供水站M到公路AC的距离ME的长度为x米．在Rt△AEM中，由题意得∠EAM＝30°，ME＝x，则AM＝2x，AE＝3x.在Rt△BEM中，由题意得∠EBM＝45°，ME＝x，则BE＝x，BM＝2x.3分∵小区A，B之间的距离为300(3＋1)米，∴3x＋x＝300(3＋1)，解得x＝300(米)6分∴AM＝2x＝600(米)，BM＝2x＝3002(米)．7分答：供水站M分别到小区A，B的距离为600米和3002米.8分考向探究考情分析考题赏析考点聚焦第20课时┃解直角三角形方法点析在实际测量高度、宽度、距离等问题中，常需构造直角三角形，利用三角函数或相似三角形来解决．常见的构造的基本图形有如下几种：①不同地点看同一点．(如图20-8)图20－8图20－9②同一地点看不同点．(如图20-9)③利用反射构造相似．(如图20-10)图20－10图20－11④堤坝问题．(如图20-11)考向探究考情分析考题赏析考点聚焦