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三角形的内角知识回顾想一想三角形的三个内角和是多少?把三个角拼在一起试试看有什么办法可以验证呢?知识回顾三角形的三个内角和等于180°结论对任意三角形都成立吗？验证：三角形的三个内角和是180°图1图2图3ABCCBAABBCCBAB结论：三角形的内角和等于1800.证明：过点A作EF∥BC则∠B=∠2（两直线平行,内错角相等）同理∠C=∠1因为∠2+∠1+∠BAC=1800（平角定义）所以∠B+∠C+∠BAC=1800（等量代换）已知：△ABC.ABCEF求证：∠A+∠B+∠C=180°结论：三角形的内角和等于1800.所以∠B+∠BAC+∠C=180°（等量代换）已知：△ABC.求证：∠A+∠B+∠C=180°ABCL证明：过A作AE∥BC，则∠B=∠1(两直线平行,内错角相等)因为∠1+∠BAC+∠C=180°(两直线平行,同旁内角互补)定理：三角形的三个内角和是180°一个三角形中能有两个直角吗？一个三角形中能有两个钝角吗？三个内角都能小于600吗？讨论结论：三角形的内角和等于1800.ABCL想一想问题：有什么方法可以得到１８０°１．平角的度数是１８０°２．两直线平行，同旁内角的和是１８０°从刚才拼角的过程你能想出证明的办法吗?问题1已知：如图，△ABC．证明三角形三个内角的和等于180°.CBA求证：∠A+∠B+∠C=180°．证明思路：利用化归思想构造180°．证明步骤：1、画图、写出已知、求证；2、题设（已知）→结论（求证）．推出解题经验：平行线具有等角转换功能．21EDCBA三角形的内角和等于1800.已知：△ABC求证：∠B+∠A+∠BCA=180°证法1证明：延长BC到D，过C作CE∥BA，∴∠A=∠1(两直线平行，内错角相等)∠B=∠2(两直线平行，同位角相等)又∵∠1+∠2+∠ACB=180°∴∠A+∠B+∠ACB=180°21EDCBA三角形的内角和等于1800.已知：△ABC求证：∠B+∠A+∠BCA=180°证法2证明：过A作EF∥BC，∴∠B=∠2(两直线平行,内错角相等)∠C=∠1(两直线平行,内错角相等)又∵∠2+∠1+∠BAC=180°∴∠B+∠C+∠BAC=180°F21ECBA三角形的内角和等于1800.已知：△ABC求证：∠B+∠A+∠BCA=180°证法3证明：过A作AE∥BC，∴∠B=∠BAE(两直线平行,内错角相等)∠EAB+∠BAC+∠C=180°(两直线平行,同旁内角互补)∴∠B+∠C+∠BAC=180°CBEA三角形的内角和等于1800.已知：△ABC求证：∠B+∠A+∠BCA=180°证法4三角形内角和定理:三角形内角和等于180°.证明:过⊿ABC的两个锐角作BC的垂线BD和CE,过点A作BD的平行线AF.由图可知BD∥AF∥CE.∴∠BAF=∠ABD∠ECA=∠FAC(两条直线平行,内错角相等.)∴⊿ABC的三个内角∠A+∠B+∠C=∠ABC+∠ACB+∠BAF+∠FAC==∠DBA+∠ABC+∠ACB+∠ACE=90°+90°=180°ABCEFD方法四“行家”看“门道”根据下面的图形,写出相应的证明.试一试☞你还能想出其它证法吗?(1)ABCPQRTSN(3)ABCPQRMTSN(2)ABCPQRM思路总结为了证明三个角的和为180°,利用逆向思考的方法,把问题转化为一个平角,同旁内角互补,或者两个直角之和,或者其它方法.这种转化思想是数学中的常用方法.在这里，为了证明的需要，在原来的图形上添画的线叫做辅助线。在平面几何里，辅助线通常画成虚线。思路总结为了证明三个角的和为1800,转化为一个平角或同旁内角互补,这种转化思想是数学中的常用方法.三角形内角和定理:三角形的内角和等于1800.1、填空(1)在△ABC中，∠A=30°∠B=500，则∠C＝＿＿＿＿。(2)在△ABC中，∠C=90°∠B=500，则∠A＝＿＿＿＿。(3)在△ABC中,∠A=400，∠A=2∠B，则∠C＝＿＿＿＿。(4)在△ABC中,∠A等于直角的一半，∠B等于直角的，则∠C＝＿＿。32活动1：比一比，赛一赛你真行！看哪一组做得又对又快！2、如图，在△ABC中,∠ABC=70°,∠C=65°,BD⊥AC于D，求∠ABD,∠CBD的度数。BCAD活动2：学会应用例1：在△ABC中，∠A:∠B:∠C＝1:2:3，求∠ABC的度数。解：∵∠A:∠B:∠C＝1:2:3，∴∠B＝2∠A，∠C＝3∠A又∠A+∠B+∠C＝1800∴∠A+2∠A+3∠A＝1800∴∠A＝300，∠B＝600，∠C＝900。求出下列图中x的值:x°x°x°x=60比比谁最快x°x°x=452x°x°┐x°150°x=30x=60•1、一个三角形最多有个直角，最多有个钝角。•2、在△ABC中，若∠A+∠B=2∠C，则∠C=。•3、若一个三角形的三个内角之比为2：3：4，则•这三个内角的度数为。•4、如图：∠α=。11600400，600，800280480320α440我是最棒的例2：如图，C岛在A岛的北偏东50°方向，B岛在A岛的北偏东80°方向，C岛在B岛的北偏西40°方向，从C岛看A、B两岛的视角∠ACB是多少度？北ABC北5040DE解：∠CAB=∠DAB－∠DAC=800－500=300∵AD∥BE∴∠DAB+∠ABE=180°(两直线平行，同旁内角互补）∴∠ABE=1800－∠BAD=1800－800=1000，∴∠ABC=∠ABE－∠EBC=1000－400=600。在△ABC中,∠ACB=1800－∠ABC－∠CAB=1800－600－300=900答：从C岛看A.B两岛的俯角∠ACB是90°。动动脑：还有其他的解法吗？400500F400500活动3：指导实践1、一块模板如图所示，按规定AF、DE的延长线相交成850角，因交点不在板上，不便测量，工人师傅连结AD，测得∠FAD=340，ADE=630，这时就知道AF、DE的延长线相交所成的角是不是符合规定？为什么？ABCDEF(1)三角形内角和定理实践探究及其运用。回顾与小结本节课里你学到了什么？？？(2)学好数学方法及信心。必要：教材第3、4题。课后再探索1、一个三角形最多有几个直角？为什么？2、一个三角形最多有几个钝角？为什么？3、一个三角形最多有几个锐角？最少有几个锐角？4、你能否利用三角形的内角和，求出四边形、五边形的内角和？如图,C岛在A岛的北偏东50°方向,B岛在A岛的北偏东80°方向，C岛在B岛的北偏西40°方向.从C岛看A、B两岛的视角∠ACB是多少度？北北DECAB解：∠CAB＝∠BAD－∠CAD＝80°－50°＝30°．50°80°40°？由AD∥BE，可得∠BAD＋∠ABE＝180°．所以∠ABE＝180°－∠BAD＝180°－80°＝100°，∠ABC＝∠ABE－∠EBC＝100°－40°＝60°．在△ABC中，∠ACB＝180°－∠ABC－∠CAB＝180°－60°－30°＝90°．答：从C岛看A、B两岛的视角∠ACB是90°.还有其他方法解决这个问题吗？考考自己?1:在△ABC中,∠A=80°,∠B=∠C,求∠C的度数。解：在△ABC中,∠A+∠B+∠C=180°，∠A=80°∴∠B+∠C=100°∵∠B=∠C∴∠B=∠C=50°ABC考考自己?2:已知三角形三个内角的度数之比为1:3:5，求这三个内角的度数。解：设三个内角度数分别为：x、3x、5x.列出方程x+3x+5x=180°x=20°答：三个内角度数分别为20°,60°,100°。说说你的收获1、三角形的内角和为18002、应用三角形内角和求角及检验合格性3、认识了辅助线及其作用4、数学中的转化思想20°130°45°练习1.如图所示，求1的度数？练习2.如图，求A1+A2+A3+A4+A5的度数。A2A1A5A3A421已知：三角形三个内角的度数之比为1:3:5，求这三个内角的度数。解：设三个内角度数分别为：x、3x、5x,x+3x+5x=180°解得x=20°所以三个内角度数分别为20°,60°,100°。由三角形内角和为180°得求出下列图中x的值:xxxx=600比比谁最快xxx=4502xx┐x=3003、如图，直线AB∥CD,在AB、CD外有一点P，连结PB、PD，交CD于E点。则∠B、∠D、∠P之间是否存在一定的大小关系？随堂练习☞ABCPDE他们是怎样的，并加以证明？证明：因为AB∥CD12所以∠1+∠B=1800(两直线平行，同旁内角互补）因为∠2+∠P+∠D=1800（三角形内角和定理）∠1=∠2（对顶角相等）所以∠B=∠P+∠D(等量代换）（1）在△ABC中,∠A=35°,∠B=43°，则∠C=.（2）在△ABC中,∠C=90°,∠B=50°,则∠A=＿＿＿＿。（3）在△ABC中,∠A=40°,∠A=2∠B，则∠C=＿＿＿＿。10204001200你真棒！练习2.如图，求A1+A2+A3+A4+A5的度数。A2A1A5A3A421拓广探究回顾与小结本节课里你学到了什么？？？1、三角形内角和的定理：三角形三个内角的和等于180°2、通过思考、去探究、去总结三角形内角和的定理，并且发现要证明三角形三个内角的和等于180°需转化为：平角或两直线平行同旁内角和等于180°。3、三角形内角和的定理证明中，添加辅助线的实质是通过平行线来移动角。在这里，为了证明的需要，在原来的图形上自己加上的线叫做辅助线。在平面几何里，辅助线通常画成虚线。注意要说明所加辅助线的位置、名称和性质。思路总结：为了证明三角形三个内角的和为180°,通常应用转化思想。转化为：平角或两直线平行，同旁内角互补三角形内角和定理三角形内角和定理三角形三个内角的和等于1800.△ABC中,∠A+∠B+∠C=1800.∠A+∠B+∠C=1800的几种变形:∠A=1800–(∠B+∠C).∠B=1800–(∠A+∠C).∠C=1800–(∠A+∠B).∠A+∠B=1800-∠C.∠B+∠C=1800-∠A.∠A+∠C=1800-∠B.这里的结论,以后可以直接运用.三种语言☞ABC证明：在△ABC中∵∠A+∠B+∠C=180゜(三角形内角和定理）∠C=90゜（已知）∴∠A+∠B+90゜=180゜（等量代换）∴∠A+∠B=180゜－90゜=90゜（等式性质）即∠A+∠B=90゜ABC已知：在△ABC中，∠C＝90゜求证：∠A＋∠B＝90゜随堂练习☞想一想１．平角的度数是180°２．两直线平行，同旁内角的和是180°从刚才拼角的过程你能想出证明的方法吗?3.邻补角的和是180°问题：有什么方法可以得到180°CBA三角形的内角和等于1800.已知△ＡＢＣ，求证：∠A+∠B+∠C=180°证法１：过A作EF∥BA，∴∠B=∠2(两直线平行,内错角相等)∠C=∠1(两直线平行,内错角相等)又∵∠2+∠1+∠BAC=180°∴∠B+∠C+∠BAC=180°F21ECBA三角形的内角和等于1800.证法２：延长BC到D，过C作CE∥BA，∴∠A=∠1(两直线平行，内错角相等)∠B=∠2(两直线平行，同位角相等)又∵∠1+∠2+∠ACB=180°∴∠A+∠B+∠ACB=180°21EDCBA三角形的内角和等于1800.证法3：过A作AE∥BC，∴∠B=∠BAE(两直线平行,内错角相等)∠EAB+∠BAC+∠C=180°(两直线平行,同旁内角互补)∴∠B+∠C+∠BAC=180°CBEA三角形的内角和等于1800.在这里，为了证明的需要，在原来的图形上添画的线叫做辅助线。在平面几何里，辅助线通常画成虚线。思路总结为了证明三个角的和为1800,转化为一个平角或同旁内角互补,这种转化思想是数学中的常用方法。2、△ABC中，∠A=40°，∠B－∠C=30°，求∠A、∠B、∠C1、以下面的九个角的度数为三角形的内角，组三个三角形，看谁组合得快？120°40°90°55°70°60°35°20°50练习（1）回忆之前学过哪些与180°有关的结论？（2）平行线有什么性